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第9讲 函数模型及其应用,最新考纲 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用,知 识 梳 理 几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型,(2)指数、对数、幂函数模型性质比较,递增,递增,y轴,x轴,诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”) (1)函数y2x的函数值比yx2的函数值大() (2)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻() (3)幂函数增长比直线增长更快() (4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)f(x)g(x)(),2小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是 ( ),解析 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，排除B.故选C. 答案 C,5(人教A必修1P104例5改编)某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示： 请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利润，定价应为_元,解析 设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元， 日均销售量为48040(x1)52040x(桶)， 则y(52040x)x20040x2520x200,0x13. 当x6.5时，y有最大值所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润 答案 11.5,考点一 二次函数模型 【例1】 A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度 (1)求x的取值范围； (2)把月供电总费用y表示成x的函数； (3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？,规律方法 在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解,【训练1】 (2014舟山高三检测)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y14.1x0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为 y22x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是 ( ) A10.5万元 B11万元 C43万元 D43.025万元,答案 C,考点二 指数函数、对数函数模型 【例2】 (2014青岛模拟)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 20.301 0,100.007 5 1.017) ( ) A1.5% B1.6% C1.7% D1.8%,答案 C,规律方法 在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示通常可以表示为yN(1p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解,【训练2】 某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为 ( ) A略有盈利 B略有亏损 C没有盈利也没有亏损 D无法判断盈亏情况,解析 设该股民购这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(110%)na1.1n元，经历n次跌停后的价格为a1.1n(110%)na1.1n0.9na(1.10.9)n0.99naa，故该股民这支股票略有亏损 答案 B,(1)当x200,300时，判断该项目能否获利如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？ (2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？,规律方法 (1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值.,【训练3】 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数 (1)当0x200时，求函数v(x)的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时),(1)认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础 (2)实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值 (3)解函数应用题的四个步骤：审题；建模；解模；还原,微型专题 函数应用的建模问题,【例4】 某人要做一批地砖，每块地砖(如图1所示)是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，CFE、ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成CFE、ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为321.若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.,(1)求证：四边形EFGH是正方形； (2)E、F在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用最省？ 点拨 (1)图2可看作由四块图1逆时针旋转90，180，270后得到，故可得四边形EFGH是正方形 (2)设CEx，求出每块地砖的费用，再求最值,(1)证明 题图2是由四块图1所示地砖组成，由图1依次逆时针旋转90，180，270后得到， EFFGGHHE，CEF为等腰直角三角形， 四边形EFGH是正方形 (2)解 设CEx，则BE0.4x， 每块地砖的费用为W， 制成CFE、ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a(元)，,思想方法 解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论；,(4)还原：将数学结论还原为实际问题的意义 以上过程用框图表示如下：,易错防范 1解应用题思路的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年后”)，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错，故建议复习时务必养成良好的审题习惯 2在解应用题建模后一定要注意定义域，建模的关键是注意寻找量与量之间的相互依赖关系 3解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案.,
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