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最新考纲 1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,第3讲 数学归纳法及其应用,1数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取_时命题成立； (2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当_时命题也成立 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立,知 识 梳 理,第一个值n0(n0N*),nk1,2数学归纳法的框图表示,1判断正误(请在括号中打“”或“”) 精彩PPT展示 (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立 ( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明 ( ) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用 ( ) (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项 ( ),诊 断 自 测,A1 B1a C1aa2 D1aa2a3 答案 C,解析 nk时，等式左边123k2，nk1时，等式左边123k2(k21)(k22)(k1)2.比较上述两个式子，nk1时，等式的左边是在假设nk时等式成立的基础上，等式的左边加上了(k21)(k22)(k1)2. 答案 D,4用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当第二步假设n2k1(kN)命题为真时，进而需证n_时，命题亦真 解析 因为n为正奇数，所以与2k1相邻的下一个奇数是2k1. 答案 2k1,答案 3 4 5 n1,考点一 用数学归纳法证明等式 【例1】 用数学归纳法证明：,所以当nk1时，等式也成立， 由(1)(2)可知，对于一切nN*等式都成立 规律方法 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由nk到nk1时等式的两边变化的项，然后正确写出归纳证明的步骤，使问题得以证明,【训练1】 求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*) 证明 (1)当n1时，等式左边2，右边2112，等式成立 (2)假设当nk(kN*)时，等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1) 当nk1时，左边(k2)(k3)2k(2k1)(2k2) 2(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1) 22k135(2k1)(2k1) 2k1135(2k1)(2k1) 这就是说当nk1时，等式成立 根据(1)(2)知，对nN*，原等式成立,考点二 用数学归纳法证明不等式 【例2】 等比数列an的前n项和为Sn.已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0，且b1，b，r均为常数)的图象上 (1)求r的值； (2)当b2时，记bn2(log2an1)(nN*),规律方法 用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时命题成立证nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化,考点三 归纳猜想证明 (1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式； (2)证明通项公式的正确性,规律方法 “归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性,【训练3】 设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1(nN*) (1)求a1，a2； (2)猜想数列Sn的通项公式，并给出证明,思想方法 1数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可，否则就会导致错误 有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础 2归纳假设的作用 在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：,(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证nk1时，必须用上归纳假设 3利用归纳假设的技巧 在推证nk1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设此时既要看准目标，又要掌握nk与nk1之间的关系在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用,易错防范 1数学归纳法证题时初始值n0不一定是1. 2推证nk1时一定要用上nk时的假设，否则不是数学归纳法 3解“归纳猜想证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础否则将会做大量无用功,
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