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第十章 计数原理、概率、 随机变量及其分布,第一节 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理,最新考纲展示 1理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理 2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题,两个计数原理,n类不同的,方案,分成n个不同,的步骤,mn,mn,独立,逐步,1分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的 2分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的,一、两个计数原理的理解 1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同( ) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事( ) (3)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成( ) (4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i1,2,3，n)，那么完成这件事共有m1m2m3mn种方法( ) 答案：(1) (2) (3) (4),2有不同颜色的4件上衣与不同颜色的3件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数是_ 解析：由分步乘法计数原理，一条长裤与一件上衣配成一套，分两步，第一步选上衣有4种选法，第二步选长裤有3种选法，所以有4312(种)选法 答案：12,二、两个计数原理的应用 3判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)(教材习题改编)三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有10种( ) (2)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有14个( ) 答案：(1) (2),4用0,1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A243 B252 C261 D279 解析：0,1,2，9共能组成91010900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有998648(个)， 有重复数字的三位数有900648252(个) 答案：B,例1 (1)(2015年浙江名校联考)如果正整数a的各位数字之和等于6，那么称a为“好数”(如：6,24,2 013等均为“好数”)，将所有“好数”从小到大排成一列a1，a2，a3，若an2 013，则n( ) A50 B51 C52 D53 (2)有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有( ) A8种 B9种 C10种 D11种,分类加法计数原理(自主探究),解析 (1)本题可以把数归为“四位数”(含0 006等)，因此比2 013小的“好数”为0，1，2 004，共三类数，其中第一类可分为：00，01，0 600，共7类，共有762128个数；第二类可分为：10，11，1 500，共6类，共有65432121个数，故2 013为第51个数，故 n51，选B. (2)解法一 设四位监考教师分别为A、B、C、D，所教班分别为a、b、c、d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c、d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理共有3339(种),解法二 班级按a、b、c、d的顺序依次排列，为避免重复或遗漏现象，教师的监考顺序可用“树形图”表示如下：,共有9种不同的监考方法 (3)因为椭圆的焦点在y轴上，nm. 当n2时，m1，有1个； 当n3时，m1,2，有2个； 当n4时，m1,2,3，有3个；,当n5时，m1,2,3,4，有4个； 当n6时，m1,2,3,4,5，有5个； 当n7时，m1,2,3,4,5，有5个 所以共有12345520个 答案 (1)B (2)B (3)20 规律方法 分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理,例2 (2015年本溪模拟)如图所示的几何体是由一个正三棱锥PABC与正三棱柱ABCA1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有_种,分步乘法计数原理(师生共研),答案 12 规律方法 利用分步乘法计数原理解决问题时应注意： (1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的 (2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事 (3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定,1(1)将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色，要求共端点的棱不能涂相同颜色，则不同的涂色方案有( ) A1种 B3种 C6种 D9种 (2)在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有( ) A24种 B48种 C96种 D144种,解析：(1)因为只有三种颜色，又要涂六条棱，所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色故有3216种涂色方案 (2)本题是一个分步计数问题，由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置中选一个位置把 排列，有 2种结果程序B和C在实施时必须相邻，把B和C看作一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有AA48种结果根据分步计数原理知共有24896种结果，故选C. 答案：(1)C (2)C,例3 (1)(2015年黄冈质检)设集合I1,2,3,4,5选择集合I的两个非空子集A和B，若集合B中最小的元素大于集合A中最大的元素，则不同的选择方法共有( ) A50种 B49种 C48种 D47种 (2)(2015年沈阳模拟)一生产过程有四道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有_种,两个原理的综合应用(师生共研),(2)按甲先分类，再分步 若甲在第一道工序，则第四道工序只能是丙，其余两道工序的安排方法有4312种， 若乙在第一道工序，则第四道工序从甲、丙两人中选一人，有2种方法，其余两道工序有4312种方法，所以共有12224种方法 综上可知，共有的安排方法有122436种 答案 (1)B (2)36,规律方法 用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步： (1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数 (2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成了任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数 (3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析,2(2015年济南质检)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有_,答案：96,
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