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第2讲 命题及充要条件,考试要求 1.命题的概念，命题的四种形式及相互关系，A级要求；2.充分条件、必要条件、充要条件的含义，B级要求,知 识 梳 理 1四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系,(2)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们具有 的真假性 两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假 性 ,相同,没有关系,2充分条件、必要条件与充要条件的概念,充分,必要,充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要,3(2013福建卷改编)已知集合A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的_条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) 解析 a3时，A1,3，显然AB. 但AB时，a2或3.所以“a3”是“AB”的充分不必要条件 答案 充分不必要,4(2014浙江卷改编)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的_条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”),答案 充分不必要,5(苏教版选修21P9T4改编)下列命题： x2是x24x40的必要不充分条件； 圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件； sin sin 是的充要条件； ab0是a0的充分不必要条件 其中为真命题的是_(填序号) 答案 ,答案 真，真，真,规律方法 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假(3)判断一个命题为假命题可举反例,【训练1】 已知：命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”，则下列结论正确的为_(填序号) 否命题是“若函数f(x)exmx在(0，)上是减函数，则m1”，是真命题； 逆命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是增函数”，是假命题； 逆否命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是减函数”，是真命题； 逆否命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”，是真命题,解析 由f(x)exmx在(0，)上是增函数，则f(x)exm0恒成立，m1.命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”是真命题，所以其逆否命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”是真命题 答案 ,考点二 充分、必要条件的判定与探求 【例2 】 (1)(2014新课标全国卷改编)函数f(x)在xx0处导数存在若p：f(x0)0；q：xx0是f(x)的极值点，则p是q的_条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) (2)ax22x10至少有一个负实根的充要条件是_,解析 (1)设f(x)x3，f(0)0，但是f(x)是单调增函数，在x0处不存在极值，故“若p，则q”是一个假命题，由极值点的定义可得“若q，则p”是一个真命题 (2)当a0时，原方程为一元一次方程2x10，有一个负实根 当a0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是44a0，即a1.,答案 (1)必要不充分 (2)a1,规律方法 判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题,【训练2】 (1)(2014北京卷改编)设a，b是实数，则“ab”是“a2b2”的_条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) (2)已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是x_.,解析 (1)令a1，b2，显然ab，但a2b2； “ab”不是“a2b2”的充分条件 令a2，b1，显然a2b2，但ab， “ab”不是“a2b2”的必要条件 “ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条件 (2)a(x1,2)，b(2,1)， ab2(x1)212x. 又abab0，2x0，x0. 答案 (1)既不充分也不必要 (2)0,答案 ,规律方法 解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象,【训练3】 若xm1是x22x30的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_,答案 0,2,思想方法 1写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定,(3)利用集合间的包含关系判断：若AB，则“xA”是“xB”的充分条件或“xB”是“xA”的必要条件；若AB，则“xA”是“xB”的充要条件,易错防范 对于命题正误的判断是高考的热点之一，理应引起大家的关注，命题正误的判断可涉及各章节的内容，覆盖面宽，也是学生的易失分点命题正误的判断的原则是正确的命题要有依据或者给以论证；不一定正确的命题要举出反例，绝对不要主观臆断，这也是最基本的数学逻辑思维方式.,
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