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第8讲 函数与方程,最新考纲 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解,知 识 梳 理 1函数的零点 (1)函数的零点的概念 对于函数yf(x)，把使 的实数x叫做函数yf(x)的零点 (2)函数的零点与方程的根的关系 方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与 有交点函数yf(x)有 (3)零点存在性定理,f(x)0,x轴,零点,如果函数yf(x)满足：在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线； ；则函数yf(x)在(a，b)上存在零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根,f(a)f(b)0,(3)零点存在性定理,2二分法 (1)定义：对于在区间a，b上连续不断且 的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 (2)给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下： 确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度； 求区间(a，b)的中点c； 计算f(c)；,f(a)f(b)0,一分,为二,零点,()若f(c)0，则c就是函数的零点； ()若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)； ()若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b) 判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复.,诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点 ( ) (2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0. ( ) (3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点 ( ) (4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值 ( ),3(2014湖北七市(州)联考)已知函数f(x)与g(x)的图象在R上连续不断，由下表知方程f(x)g(x)有实数解的区间是 ( ) A.(1,0) B(0,1) C(1,2) D(2,3),解析 记h(x)f(x)g(x)，依题意，注意到h(0)0，h(1)0，因此函数h(x)的零点属于(0,1)，即方程f(x)g(x)有实数解的区间是(0,1)，故选B. 答案 B,4(人教A必修1P92A1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是 ( ) 答案 A,考点一 函数零点的判断与求解 【例1】 (1)(2014唐山一模)设f(x)exx4，则函数f(x)的零点位于区间 ( ) A(1,0) B(0,1) C(1,2) D(2,3),规律方法 (1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点,图1,图2,规律方法 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用,(2)画出函数f(x)的图象如图所示， 观察图象可知，若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则函数yf(x)的图象与直线ya有3个不同的交点，此时需满足0a1，故选D. 答案 (1)C (2)D,规律方法 解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组,【训练4】 已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围 解 法一 设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0， x1x2(x1x2)10， 由根与系数的关系，得(a2)(a21)10， 即a2a20，2a1.,法二 函数图象大致如图，则有f(1)0， 即1(a21)a20，2a1. 故实数a的取值范围是(2,1).,思想方法 1判定函数零点的常用方法有： (1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)0. 2研究方程f(x)g(x)的解，实质就是研究G(x)f(x)g(x)的零点 3转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题,易错防范 1函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)0的根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标 2函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象,
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