资源描述
热点专题突破系列(三) 数列的综合应用,考点一 等差数列与等比数列的综合问题 【考情分析】等差、等比数列相结合的问题是高考考查的重点 (1)综合考查等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等差(比)中项、等差(比)数列的性质. (2)重点考查基本量(即“知三求二”,解方程(组)的计算以及灵活运用等差、等比数列的性质解决问题.,【典例1】(2014湖南高考)已知数列an满足a1=1,|an+1-an| =pn,nN*. (1)若an是递增数列,且a1,2a2,3a3成等差数列,求p的值. (2)若p= ,且a2n-1是递增数列,a2n是递减数列,求数列an的通项公式.,【解题提示】(1)由an是递增数列,去掉绝对值号,求出前三项,再利用a1,2a2,3a3成等差数列,得到关于p的方程即可求解. (2)a2n-1是递增数列,a2n是递减数列,可以去掉绝对值号,再利用叠加法求通项公式.,【规范解答】(1)因为an是递增数列,所以an+1-an=pn, 又a1=1,a2=p+1,a3=p2+p+1, 因为a1,2a2,3a3成等差数列,所以4a2=a1+3a3,4p+4=1+3p2+3p+3,3p2=p, 解得p= 或p=0,当p=0时,an+1-an=0,与an是递增数列矛盾,所以 p= .,(2)因为a2n-1是递增数列,所以a2n+1-a2n-10, 于是(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)0 , 由于 ,所以|a2n+1-a2n|0, 所以a2n-a2n-1= , 因为a2n是递减数列,所以同理可得a2n+1-a2n0,a2n+1-a2n= ,【规律方法】等差数列、等比数列综合问题的解题策略 (1)分析已知条件和求解目标,确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题,如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序.,(2)注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中,如果等比数列的公比不能确定,则要看其是否有等于1的可能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的. 提醒:在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论,分类解决问题后还要注意结论的整合.,【变式训练】(2015宁波模拟)已知数列an的首项a1= an+1= ,nN*. (1)求证：数列 -1为等比数列. (2)记Sn= 若Sn100，求最大正整数n. (3)是否存在互不相等的正整数m,s,n，使m,s,n成等差数列， 且am-1，as-1,an-1成等比数列？如果存在，请给出证明；如果 不存在，请说明理由.,【解析】(1)由an+1= 可得 所以 又 0，所以 -10(nN*) 所以数列 -1为首项为 ，公比为 的等比数列.,若Sn100，则n+1- 100， 所以满足条件的最大正整数n为99.,(3)假设存在满足条件的m,s,n,则m+n=2s,(am-1)(an-1)=(as-1)2, 因为an= 所以 化简,得3m+3n=23s. 因为3m+3n2 =23s, 当且仅当m=n时等号成立,这与m,s,n互不相等矛盾,所以假设不成立,即不存在满足条件的m,s,n.,【加固训练】(2015南昌模拟)已知an是单调递增的等差数列, 首项a1=3,前n项和为Sn,数列bn是等比数列,首项b1=1,且a2b2=12, S3+b2=20. (1)求an和bn的通项公式. (2)令cn=Sncos(an)(nN*),求cn的前n项和Tn.,【解析】(1)设数列an的公差为d,数列bn的公比为q, 则a2b2=(3+d)q=12, S3+b2=3a2+b2=3(3+d)+q=9+3d+q=20,3d+q=11,q=11-3d,则(3+d)(11-3d)=33+2d-3d2=12, 即3d2-2d-21=0,(3d+7)(d-3)=0. 因为an是单调递增的等差数列,所以d0, 所以d=3,q=2, an=3+(n-1)3=3n,bn=2n-1.,(2)由(1)知 当n是偶数时, Tn=c1+c2+c3+cn=-S1+S2-S3+S4-Sn-1+Sn=a2+a4+a6+an =6+12+18+3n=,当n是奇数时， Tn=Tn-1-Sn=,考点二 数列与函数的综合问题 【考情分析】数列与函数的特殊关系,决定了数列与函数交汇命题的自然性,是高考命题的易考点,主要考查方式有: (1)以函数为载体,考查函数解析式的求法,或者利用函数解析式给出数列的递推关系、数列前n项和的计算方法 (2)根据数列是一种特殊的函数这一特点命题,考查利用函数的单调性来确定数列的单调性、最值或解决某些恒成立问题,【典例2】(2015沈阳模拟)已知函数f(x)= ,数列an满足 a1=1,an+1=f( ),nN*. (1)求数列an的通项公式. (2)令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+-a2na2n+1,求Tn. (3)令bn= (n2),b1=3,Sn=b1+b2+bn,若Sn 对一切nN*成立,求最小正整数m.,【解题提示】(1)由已知得an+1与an的关系从而获解. (2)利用等差数列的性质及裂项相消法去求解. (3)利用裂项相消法先求出Sn,再把问题转化为不等式恒成立问题.,【规范解答】(1)因为 所以an是以 为公差的等差数列. 又a1=1,所以an= (2)Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+-a2na2n+1 =a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+a2n(a2n-1-a2n+1) =- (a2+a4+a2n),(3)当n2时，bn= 又b1=3= 所以Sn=b1+b2+bn 因为Sn= 对一切nN*成立且 所以 即m2 014. 所以最小正整数m=2 014.,【规律方法】 1.数列与函数的综合问题的常见类型及解题策略 (1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题. (2)已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.另外,解题时要注意数列与函数的内在联系,灵活运用函数的思想方法求解,在问题的求解过程中往往会遇到递推数列,因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决.,2.解决数列与函数综合问题的注意点 (1)数列是一类特殊的函数,其定义域是正整数集,而不是某个区间上的连续实数,所以它的图象是一群孤立的点. (2)转化以函数为背景的条件时,应注意题中的限制条件,如函数的定义域,这往往是非常容易忽视的问题. (3)利用函数的方法研究数列中相关问题时,应准确构造函数,注意数列中相关限制条件的转化.,【变式训练】(2015成都模拟)已知二次函数f(x)=x2-ax+a(a0, xR),不等式f(x)0的解集有且只有一个元素,设数列an的前n项和Sn=f(n)(nN*), (1)求数列an的通项公式. (2)设bn= ,求数列bn的前n项和Tn.,【解析】(1)由已知得x2-ax+a0的解集有且只有一个元素,所以=(-a)2-4a=0,即a2-4a=0,又因为a0,所以a=4, 所以f(x)=x2-4x+4, 从而Sn=f(n)=n2-4n+4, 当n=1时,a1=S1=1-4+4=1; 当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-5.,【加固训练】设函数f(x)的定义域为R,当x1,且对任意的实数x,yR,有f(x+y)=f(x)f(y). (1)求f(0),判断并证明函数f(x)的单调性. (2)数列an满足a1=f(0),且f(an+1)= (nN*),数列bn满足bn=an-8. 求数列an的通项公式; 求数列bn的前n项和Tn的最小值及相应的n的值.,【解析】(1)x,yR, f(x+y)=f(x)f(y),x1, 令x=-1,y=0,则f(-1)=f(-1)f(0), 因为f(-1)1,所以f(0)=1. 若x0,则f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x), 故f(x)= (0,1),故xR,f(x)0, 任取x10,所以0f(x2-x1)1, 所以f(x2)f(x1),故f(x)在R上是减函数.,(2)a1=f(0)=1,f(an+1)= =f(2+an), 由f(x)单调性an+1=an+2.故an是等差数列, 所以an=2n-1. bn=2n-9,Tn=n2-8n,当n=4时,(Tn)min=-16.,考点三 数列与不等式的综合问题 【考情分析】数列与不等式的综合问题是高考考查的热点.考查方式主要有三种: (1)判断数列问题中的一些不等关系,如比较数列中的项的大小关系等. (2)以数列为载体,考查不等式的恒成立问题,求不等式中的参数的取值范围等. (3)考查与数列问题有关的不等式的证明问题.,【典例3】(2014上海高考)已知数列an满足 anan+13an, nN*,a1=1. (1)若a2=2,a3=x,a4=9,求x的取值范围. (2)设an是公比为q的等比数列,Sn=a1+a2+an, SnSn+13Sn, nN*,求q的取值范围. (3)若a1,a2,成等差数列,且a1+a2+ak=1000,求正整数k的最大值,以及k取最大值时相应数列a1,a2,的公差.,【解题提示】(1)根据 a2a33a2, a3a43a3可求得x的范围. (2)需对q分类讨论,若q=1,易得符合题意,若q1时,再通过放缩法解不等式组即得结论. (3)k=1000,d=0是一组解时,kmax1000,根据 anan+13an,可得 d ,然后根据a1+a2+ak=1000,得到关于d的关系式,而 d ,从而得到关于k的不等式,解此不等式即得.,【规范解答】(1)依题意, a2a33a2,所以 x6; 又 a3a43a3,所以3x27;综上可得:3x6.,(2)由已知得，an=qn-1,又 a1a23a1， 所以 q3, 当q=1时，Sn=n, SnSn+13Sn,即 n+13n,成立. 当1q3时，Sn= , SnSn+13Sn,因为q1,故3qn+1-qn-2=qn(3q-1)-22qn-20, 对于不等式qn+1-3qn+20,令n=1, 得q2-3q+20,解得1q2, 又当1q2时,q-30, 所以qn+1-3qn+2=qn(q-3)+2q(q-3)+2=(q-1)(q-2)0成立, 所以1q2, 当 q1时，Sn= SnSn+13Sn,所以此不等式即 3q-10,q-30, 所以 q1时,不等式恒成立, 综上,q的取值范围为 q2.,(3)设公差为d,显然，当k=1 000,d=0时，是一组符合题意的解， 故kmax1 000,当k2时, 则由已知得 1+(k-1)d31+(k-2)d, 当k1 000时，不等式即 所以d的取值范围为d,a1+a2+ak=k+ =1 000, 所以k1 000时， 解得1 000k1 000+ 所以k1 999, 所以k的最大值为1 999， 此时公差,【规律方法】数列中不等式的处理方法 (1)函数方法:即构造函数,通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式,通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式. (2)放缩方法:数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到. (3)比较方法:作差或者作商比较. (4)数学归纳法:使用数学归纳法进行证明.,【变式训练】(2014广东高考)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,且Sn满足 -(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,nN*. (1)求a1的值. (2)求数列an的通项公式. (3)证明:对一切正整数n,有,【解题提示】(1)可直接令n=1. (2)用n表示出Sn,利用an=Sn-Sn-1(n2)求解. (3)先对每一项进行放缩再裂项相消整理求和.,【解析】(1)令n=1,则S1=a1, -(12+1-3)S1-3(12+1)=0, 即 +a1-6=0,解得a1=2或a1=-3(舍去). (2) -(n2+ n-3)Sn-3(n2+n)=0, 可以整理为(Sn+3)Sn-(n2+n)=0, 因为数列an中,an0, 所以Sn-3,只有Sn=n2+n. 当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n, 而a1=2,符合an=2n, 所以数列an的通项公式为an=2n(nN*).,【加固训练】1.(2015贵阳模拟)已知数列an的前n项和为Sn, 满足Sn= an-n(nN*). (1)求证:数列an+1是等比数列. (2)令bn=log3(a1+1)+log3(a2+1)+log3(an+1),对任意nN*,是否 存在正整数m,使 恒成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.,【解析】(1)当n=1时,S1=a1= a1-1,解得a1=2, 当n2时,由Sn= an-n得Sn-1= an-1-n+1. 两式相减得,Sn-Sn-1= an- an-1-1, 即an=3an-1+2(n2), 则an+1=3(an-1+1). 又a1+1=2+1=3,故数列an+1是首项为3,公比为3的等比数列.,(2)由(1)知an+1=33n-1=3n. 所以bn=log3(a1+1)+log3(a2+1)+log3(an+1)=1+2+n=,由 对任意nN*恒成立，得 2(1- ) ，即m 对任意nN*恒成立, 因为 ，所以m4. 又因为mN*，所以m=1,2,3,4.,2.已知数列an为等比数列,其前n项和为Sn,已知a1+a4=- ,且对 于任意的nN+,有Sn,Sn+2,Sn+1成等差数列. (1)求数列an的通项公式. (2)已知bn=n(nN+),记Tn= 若(n-1)2 m(Tn-n-1)对于n2恒成立,求实数m的最小值.,【解析】(1)设公比为q, 因为S1,S3,S2成等差数列, 所以2S3=S1+S2, 所以2a1(1+q+q2)=a1(2+q),得q=- 又a1+a4=a1(1+q3)= 所以a1= 所以an=a1qn-1=,(2)因为bn=n,an= 所以 =n2n, 所以Tn=12+222+323+n2n, 2Tn=122+223+324+(n-1)2n+n2n+1, -得-Tn=2+22+23+2n-n2n+1, 所以Tn=-( -n2n+1)=(n-1)2n+1+2.,若(n-1)2m(Tn-n-1)对于n2恒成立, 则(n-1)2m(n-1)2n+1+2-n-1, (n-1)2m(n-1)(2n+1-1), 所以m 令f(n)= ,f(n+1)-f(n)= 所以f(n)为减函数, 所以f(n)f(2)= . 所以m .,考点四 数列的实际应用问题 【考情分析】此类试题一般围绕着现实生活中的人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款等客观背景进行设置,它不仅涉及数列中的基本知识和方法,还往往涉及其他学科的知识和常识,【典例4】(2015苏州模拟)某商店投入81万元经销某种纪念品, 经销时间共60天,市场调研表明,该商店在经销这一产品期间第n天 的利润an= (单位:万元,nN*).为了获得更多的利润, 商店将每天获得的利润投入到次日的经营中,记第n天的利润率 bn= (1)求b1,b2的值. (2)求第n天的利润率bn. (3)该商店在经销此纪念品期间,哪一天的利润率最大?并求该日的利润率.,【解题提示】(1)根据利润an和利润率bn的定义求值. (2)分1n20和21n60两种情况求解. (3)根据(2)的结论,利用单调性或基本不等式求解.,【规范解答】(1)当n=1时，b1= ;当n=2时，b2= (2)当1n20时，a1=a2=a3=an-1=an=1， 所以bn= 当21n60时， 所以第n天的利润率,(3)当1n20时，bn= 是递减数列，此时bn的最大值为b1= 当21n60时,bn= (当且仅当n= ，即n=40时，“=”成立). 又因为 所以当n=40时，(bn)max= 所以该商店在经销此纪念品期间，第40天的利润率最大，且该日的 利润率为,【规律方法】解答数列实际应用问题的步骤 (1)确定模型类型:理解题意,看是哪类数列模型,一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型.基本特征见下表:,(2)准确解决模型:解模就是根据数列的知识,求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等,在解模时要注意运算准确. (3)给出问题的回答:实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案,在解题中不要忽视了这点.,【变式训练】从经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并 以此发展旅游产业.根据规划,2015年度投入800万元,以后每年投入 将比上年减少 ,2015年度当地旅游业估计收入400万元,由于该项 建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增 加 . (1)设n年内(2015年为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出表达式. (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?,【解析】(1)第一年投入为800万元, 第二年投入为800(1- )万元, 第n年的投入为800(1- )n-1万元, 所以,n年内的总投入为: an=800+800(1- )+800(1- )n-1 =4000-4000( )n.,第一年旅游业收入为400万元,第二年旅游业收入为400(1+ )万 元,第n年旅游业收入为400(1+ )n-1万元, 所以,n年内的旅游业总收入为 bn=400+400(1+ )+400(1+ )n-1 =1600( )n-1600.,(2)设经过n年旅游业的总收入超过总投入,由此bn-an0, 即1600( )n-1600-4000+4000( )n0, 化简得2( )n+5( )n-70, 设( )n=x,代入上式,得5x2-7x+20, 解此不等式,得x1(舍去), 即( )n ,由此得n5. 故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入.,【加固训练】1.某软件公司新开发一款学习软件,该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏.为了激发闯关热情,每闯过一关都奖励若干慧币(一种网络虚拟币).该软件提供了三种奖励方案:第一种,每闯过一关奖励40慧币;第二种,闯过第一关奖励4慧币,以后每一关比前一关多奖励4慧币;第三种,闯过第一关奖励0.5慧币,以后每一关比前一关奖励翻一番(即增加1倍).游戏规定:闯关者须于闯关前任选一种奖励方案.,(1)设闯过n(nN,且n12)关后三种奖励方案获得的慧币依次为An,Bn,Cn,试求出An,Bn,Cn的表达式. (2)如果你是一名闯关者,为了得到更多的慧币,你应如何选择奖励方案?,【解析】(1)第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列, 所以An=40n, 第二种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是4,公差也为4的等差数列, 所以Bn=4n+ 4=2n2+2n, 第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是0.5,公比为2的等比数列,(2)令AnBn,即40n2n2+2n,解得0Bn恒成立. 令AnCn,即40n (2n-1),可得nAn, 综上,若你是一名闯关者,当你能冲过的关数小于10时,应选用第一种 奖励方案;当你能冲过的关数大于等于10时,应选用第三种奖励方案.,2.一企业的某产品每件利润100元,在未做电视广告时,日销售量为b件. 当对产品做电视广告后,记每日播n次时的日销售量为an(nN*)件,调 查发现:每日播一次则日销售量a1件在b件的基础上增加 件,每日播 二次则日销售量a2件在每日播一次时日销售量a1件的基础上增加 件,每日播n次,该产品的日销售an件在每日播n-1次时的日销售量 an-1件的基础上增加 件.合同约定:每播一次企业需支付广告费2b元. (1)试求出an与n的关系式. (2)该企业为了获得扣除广告费后的日利润最大,求每日电视广告需播 多少次.,【解析】(1)由题意，电视广告日播k次时，该产品的日销售量ak 满足ak=ak-1+ (kN*,a0=b), 所以，该产品每日销售量an(件)与电视广告播放量n(次/日)的关系 式为an=b(2- )(nN*).,(2)该企业每日播放电视广告n次时获利为 Cn=100b(2- )-2bn=100b(2-0.02n- )(nN*). 因为Cn-Cn-1=100b( -0.02)0即2n50,nN*, 所以n5(nN*), 因为Cn+1-Cn=100b( -0.02)02n25n5, 所以n=5. 所以要使该产品每日获得的利润最大，则每日电视广告需播5次.,
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