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第六节 直接证明与间接证明,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)直接证明:,推理论证,成立,证明的结论,充分条件,(2)间接证明: 反证法:假设原命题_(即在原命题的条件下,结论不成立), 经过正确的推理,最后得出_因此说明假设错误,从而证明了 原命题成立的证明方法.,不成立,矛盾.,2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)综合法证明问题是由因导果,分析法证明问题是执果索因. (2)分析法与综合法相辅相成,对较复杂的问题,常常先从结论进行分析,寻求结论与条件、基础知识之间的关系,找到解决问题的思路,再运用综合法证明,或者在证明时将两种方法交叉使用. 3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:求差法,分析法、综合法、反证法、放缩法. (2)数学思想:正难则反的思想.,(3)记忆口诀: 证不等式的方法, 实数性质威力大. 求差与0比大小, 作商和1争高下. 直接困难分析好, 思路清晰综合法. 非负常用基本式, 正面难则反证法.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)综合法的思维过程是由因导果,逐步寻找已知的必要条件.( ) (2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.( ) (3)用反证法证明时,推出的矛盾不能与假设矛盾.( ) (4)在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程.( ),【解析】(1)正确;因为综合法的思维过程是由因导果,就是寻找已知的必要条件,因此(1)正确. (2)错误,分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充分条件,不是充要条件. (3)错误,用反证法证明时,推出的矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾. (4)正确,在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程. 答案:(1) (2) (3) (4),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(选修2-2P91练习T1改编)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60”时,应假设( ) A.三个内角都不大于60 B.三个内角都大于60 C.三个内角至多有一个大于60 D.三个内角至多有两个大于60 【解析】选B.因为“至少有一个不大于”的反面是“都大于”,因此选B.,(2)(选修2-2P91习题2.2A组T2改编)已知A,B都是锐角,且A+B , (1+tanA)(1+tanB)=2,则A+B= . 【解析】由已知得tanA+tanB=1-tanAtanB,所以tan(A+B)= 因为A+B ,且A,B都是锐角,所以A+B= . 答案:,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2014山东高考)用反证法证明命题:“已知a,b为实数,则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( ) A.方程x2+ax+b=0没有实根 B.方程x2+ax+b=0至多有一个实根 C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根 D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根 【解析】选A.“方程x2+ax+b=0至少有一个实根”的反面是“方程x2+ax+b=0没有实根”.故选A.,(2)(2015长春模拟)设a，b，c都是正数，则 三个数( ) A都大于2 B都小于2 C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2,【解析】选D.因为 当且仅当abc时取等号， 所以三个数中至少有一个不小于2.,考点1 分析法 【典例1】ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,c. 求证: 【解题提示】本题从条件不易寻求证题思路,考虑使用分析法.,【规范解答】要证 即证 只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 需证c2+a2=ac+b2, 又ABC三内角A,B,C成等差数列,故B=60, 由余弦定理,得b2=c2+a2-2accos 60,即b2=c2+a2-ac, 故c2+a2=ac+b2成立. 于是原等式成立.,【规律方法】 1.分析法的思路 “执果索因”,逐步寻找结论成立的充分条件,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等,通常采用“欲证只需证已知”的格式,在表达中要注意叙述形式的规范性.,2.分析法证明问题的适用范围 当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,常考虑用分析法.,【变式训练】已知c0，用分析法证明: 【证明】要证原不等式成立,只需证明 即证:2c+ 4c, 即证: c, 而c0，故只需证明c2-1c2, 而此式一定成立, 故原不等式得证.,【加固训练】已知非零向量ab,求证: 【证明】因为ab,所以ab=0. 要证 只需证|a|+|b| |a-b|, 平方得|a|2+|b|2+2|a|b|2(|a|2+|b|2-2ab), 只需证|a|2+|b|2-2|a|b|0成立, 即(|a|-|b|)20,显然成立. 故原不等式得证.,考点2 综合法 知考情 综合法证明问题是历年高考的热点问题,也是必考问题之一,通常在解答题中出现,考查立体几何、数列、函数、不等式及一些新型定义问题,因而掌握好综合法是突破此类问题的关键.,明角度 命题角度1:与立体几何有关的证明题 【典例2】(2014湖北高考)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证: (1)直线BC1平面EFPQ. (2)直线AC1平面PQMN.,【解题提示】(1)通过证明FPAD1,得到BC1FP,根据线面平行的判定定理即可得证. (2)证明BD平面ACC1,得出BDAC1,进而得MNAC1,同理可证PNAC1,根据线面垂直的判定定理即可得出直线AC1平面PQMN.,【规范解答】(1)连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1BC1, 因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FPAD1. 从而BC1FP. 而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ, 故直线BC1平面EFPQ.,(2)连接AC,BD,则ACBD.,由CC1平面ABCD,BD平面ABCD,可得CC1BD. 又ACCC1=C, 所以BD平面ACC1. 而AC1平面ACC1, 所以BDAC1. 因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点, 所以MNBD,从而MNAC1. 同理可证PNAC1. 又PNMN=N,所以直线AC1平面PQMN.,命题角度2:与数列有关的证明题 【典例3】(2013北京高考)给定数列a1,a2,an.对i=1,2,n-1,该数列前i项的最大值记为Ai,后n-i项ai+1,ai+2,an的最小值记为Bi,di=Ai-Bi. (1)设数列an为3,4,7,1,写出d1,d2,d3的值. (2)设a1,a2,an(n4)是公比大于1的等比数列,且a10,证明:d1,d2,dn-1是等比数列. 【解题提示】先根据已知条件写出d1,d2,d3的值,再利用等比数列的定义证明d1,d2,dn-1是等比数列.,【规范解答】(1)d1=A1-B1=3-1=2,d2=A2-B2=4-1=3,d3=A3-B3=7-1=6. (2)由a1,a2,an(n4)是公比大于1的等比数列,且a10,可得an的通项为an=a1qn-1且为单调递增数列. 于是当k=2,3,n-1时, 因此d1,d2,dn-1构成首项d1=a1-a2,公比为q的等比数列.,悟技法 综合法证明问题的常见类型及方法: (1)数列证明题:充分利用等差、等比数列的通项及前n项和公式转化证明. (2)几何证明题:首先利用点线面位置关系的判定或性质,也可利用向量法证明,其次要进行必要的转化.,通一类 1.(2015潍坊模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)单调递减,若x1+x20,则f(x1)+f(x2)的值( ) A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负 【解析】选A.由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)单调 递减,可知f(x)是R上的单调递减函数,由x1+x20,可知x1-x2, f(x1)f(-x2)=-f(x2),则f(x1)+f(x2)0,故选A.,2.(2015福州模拟)在数列an中,已知 (1)求数列an的通项公式. (2)求证:数列bn是等差数列.,【解析】(1)因为 所以数列an是首项为 ,公比为 的等比数列, 所以an= (nN*). (2)因为bn= 所以bn= 所以b1=1,公差d=3, 所以数列bn是首项b1=1,公差d=3的等差数列.,3.(2015中山模拟)定义在x0,1上的函数f(x).若x10,x20且x1+x21,都有f(x1+x2)f(x1)+f(x2)成立,则称函数f(x)为理想函数.g(x)=2x-1(x0,1)是否为理想函数,如果是,请予以证明;如果不是,请说明理由. 【解题提示】根据理想函数的定义加以判定证明.,【解析】g(x)2x1(x0,1)是理想函数 当x10，x20，且x1x21时， f(x1x2) f(x1)f(x2) 所以f(x1x2)f(x1)f(x2),因为x10，x20， 所以 10, 10， 所以f(x1x2)f(x1)f(x2)0， 则f(x1x2)f(x1)f(x2) 故函数g(x)2x1(x0,1)是理想函数,考点3 反证法 【典例4】(2013陕西高考)设an是公比为q的等比数列. (1)推导an的前n项和公式. (2)设q1,证明数列an+1不是等比数列. 【解题提示】推导数列an的前n项和公式要注意分情况讨论;证明数列an+1不是等比数列,一般要用反证法.,【规范解答】(1)分两种情况讨论. 当q=1时,数列an是首项为a1的常数数列,所以Sn=a1+a1+a1=na1. 当q1时,Sn=a1+a2+an-1+anqSn=qa1+qa2+qan-1+qan. 上面两式错位相减: (1-q)Sn=a1+(a2-qa1)+(a3-qa2)+(an-qan-1)-qan=a1-qan Sn=,(2)使用反证法. 设an是公比q1的等比数列,假设数列an+1是等比数列,则 (a2+1)2=(a1+1)(a3+1),即(a1q+1)2 =(a1+1)(a1q2+1), 整理得a1(q-1)2=0得a1=0或q=1均与题设矛盾,故数列an+1不是等比数列.,【规律方法】反证法的适用范围及证题的关键 (1)适用范围:当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时,宜用反证法来证. (2)关键:在正确的推理下得出矛盾,矛盾可以是与已知条件矛盾,与假设矛盾,与定义、公理、定理矛盾,与事实矛盾等.推导出的矛盾必须是明显的.,【变式训练】已知a,b,c是互不相等的实数.求证:由y=ax2+2bx+c, y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.,【证明】假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点), 由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b, 得1=(2b)2-4ac0, 2=(2c)2-4ab0, 3=(2a)2-4bc0.,上述三个同向不等式相加得, 4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc0, 所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca0, 所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20, 所以a=b=c,这与题设a,b,c互不相等矛盾, 因此假设不成立,从而原命题得证.,规范解答9 综合法与分析法的综合应用 【典例】(12分)(2015黄山模拟)(1)设x1,y1,证明 (2)设1abc,证明logab+logbc+logcalogba+logcb+logac.,解题导思 研读信息 快速破题,规范解答 阅卷标准 体会规范 (1)由于x1,y1,所以x+y+ +xyxy(x+y)+1y+x+ (xy)2,2分 将上式中的右式减左式,得y+x+(xy)2-xy(x+y) +1=(xy)2-1-xy(x+y)-(x+y)=(xy+1)(xy-1) -(x+y)(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1) =(xy-1)(x-1)(y-1) 5分 既然x1,y1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)0,从而所要证明的不等式成立. 6分,(2)设logab=x,logbc=y,由对数的换底公式得 8分 于是,所要证明的不等式即为x+y+ 10分 其中x=logab1,y=logbc1. 故由(1)可知所要证明的不等式成立. 12分,高考状元 满分心得 把握规则 争取满分 1.证明问题的常用思路: 在解题时,常常把分析法和综合法结合起来运用,先以分析法寻求解题思路,再用综合法表述解答或证明过程. 2.关键步骤要全面: 证明数学问题时,一些关键的步骤必不可少,如果写不全,会扣掉相应的步骤分,如本例(1)中作差化简后的变形要彻底,(2)中要注明x1,y1.,
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