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第二节 等差数列及其前n项和,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)等差数列的概念: 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于_, 那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的_,一般 用字母d表示;定义的表达式为:_.,同一个常数,公差,an+1-an=d(nN*),(2)等差中项: 如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a,b的等差中项,且A=_. (3)等差数列的通项公式: 若等差数列an的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=_.,a1+(n-1)d,(4)等差数列的前n项和公式:,2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)通项公式的推广:an=am+_(n,mN*). (2)等差数列的性质: 若an是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则_; k+l=2m_(k,l,mN*). 若an,bn是等差数列,则pan+qbn(nN*)是等差数列. Sm,S2m,S3m分别为an的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm, _成等差数列.,(n-m)d,ak+al=am+an,ak+al=2am,S3m-S2m,两个等差数列an,bn的前n项和Sn,Tn之间的关系为 数列an的前n项和Sn=An2+Bn(A0)是an成等差数列的_条件. (3)等差数列的增减性:d0时为_数列,且当a10时前n项和Sn有最大值.,充分,递增,递减,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:整体代入法、待定系数法,等差数列的判定方法,求等差数列前n项和的最大(小)值的方法等. (2)数学思想:函数与方程、分类讨论、化归与转化.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个 数列是等差数列.( ) (2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*,都有2an+1=an+an+2. ( ) (3)等差数列an的单调性是由公差d决定的.( ),(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数. ( ) (5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( ),【解析】(1)错误.若这些常数都相等,则这个数列是等差数列;若这些常数不全相等,这个数列就不是等差数列. (2)正确.如果数列an为等差数列,根据定义an+2-an+1=an+1-an,即2an+1=an+an+2;反之,若对任意nN*,都有2an+1=an+an+2,则an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=a2-a1,根据定义数列an为等差数列. (3)正确.当d0时为递增数列;d=0时为常数列;d0时为递减数列. (4)错误.根据等差数列的通项公式,an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),只有当d0时,等差数列的通项公式才是n的一次函数,否则不是.,(5)错误根据等差数列的前n项和公式 显然只有公差d0时才是关于n的常数项为0的二次函数， 否则不是(甚至也不是n的一次函数，即a1=d=0时) 答案：(1) (2) (3) (4) (5),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(必修5P38例1(1)改编)已知等差数列-5,-2,1,则该数列的第20项为 . 【解析】依题意得,该等差数列的首项为-5,公差为3, 所以a20=-5+193=52,故第20项为52. 答案:52,(2)(必修5P46T5改编)在100以内的正整数中有 个能被6整除 的数. 【解析】由题意知,能被6整除的数构成一个等差数列an, 则a1=6,d=6,得an=6+(n-1)6=6n. 由an=6n100,即n 则在100以内有16个能被6整除的数. 答案:16,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2014重庆高考)在等差数列an中,a1=2,a3+a5=10,则a7=( ) A.5 B.8 C.10 D.14 【解析】选B.因为a1+a7=a3+a5,所以a7=(a3+a5)-a1=10-2=8.,(2)(2014辽宁高考)设等差数列an的公差为d,若数列 为 递减数列,则( ) A.d0 C.a1d0,【解析】选C.由数列 为递减数列，得 又由指数函数性质得a1an-1a1an. 由等差数列的公差为d知,an-an-1=d, 所以a1an-1a1ana1an-a1an-10a1(an-an-1)0a1d0.,(3)(2015长春模拟)等差数列an的前n项和为Sn,若S17为一确定常数,则下列各式也为确定常数的是( ) A.a2+a15 B.a2a15 C.a2+a9+a16 D.a2a9a16 【解析】选C.因为S17为一确定常数, 根据公式可知a1+a17为一确定常数, 又a1+a17=a2+a16=2a9, 所以a2+a9+a16为一确定常数,故选C.,(4)(2015福州模拟)在等差数列an中,满足3a4=7a7,且a10,Sn是数列an前n项的和,若Sn取得最大值,则n=( ) A.7 B.8 C.9 D.10,【解析】选C.设公差为d,由题设得3(a1+3d)=7(a1+6d), 所以 解不等式an0,即 所以 则n9, 当n9时，an0，同理可得n10时，an0. 故当n=9时，Sn取得最大值.,考点1 等差数列的基本运算 【典例1】(1)(2014福建高考改编)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a3=6,S3=12,则a6=( ) A.8 B.10 C.12 D.14 (2)(2015杭州模拟)已知等差数列an,a10=30,a20=50. 求通项an;若数列an的前n项和Sn=242,求n的值.,【解题提示】(1)利用等差数列的前n项和公式及通项公式,求出首项及公差,再利用通项公式求出a6. (2)先求出基本量a1和d,再利用通项公式求解;利用前n项和公式解方程即可.,【规范解答】(1)选C.设公差为d,由题意知 解得 所以a6=a1+5d=12. (2)设公差为d,由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50, 得方程组 解得a1=12,d=2.所以an=2n+10； 由 得方程 解得n=11或n=-22(舍去).,【互动探究】若例题(1)中的已知条件不变，求Sn. 【解析】由本例(1)可知 所以,【规律方法】 1.等差数列运算问题的通性通法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解. (2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想.,2.等差数列设项技巧 若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设中间三项为a-d,a,a+d;若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设中间两项为a-d,a+d,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.,【变式训练】(2014浙江高考)已知等差数列an的公差d0,设an的前n项和为Sn,a1=1,S2S3=36. (1)求d及Sn. (2)求m,k(m,kN*)的值,使得am+am+1+am+2+am+k=65.,【解析】(1)由题意知，(2a1+d)(3a1+3d)=36, 解得d=2或d=5(舍去). 所以 (2)由(1)知，am+am+1+am+2+am+k=(2m+k1)(k+1)， 所以(2m+k1)(k+1)=65， 由m,kN*知，2m+k1k+11，故 所以,【加固训练】1.(2013新课标全国卷)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=( ) A.3 B.4 C.5 D.6,【解析】选C.方法一：由已知得，am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3，因为 数列an为等差数列，所以d=am+1-am=1，又因为 所以m(a1+2)=0，因为m0，所以a1=-2，又am=a1+(m-1)d=2，解得m=5. 方法二：因为Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，所以am=Sm-Sm-1=2，am+1=Sm+1-Sm= 3，所以公差d=am+1-am=1,由 由得 代入可得m=5.,方法三：因为数列an为等差数列，且前n项和为Sn, 所以数列 也为等差数列. 所以 解得m=5.经检验为原方程的解.故选C.,2.数列an满足an+1+an=4n-3(nN*). (1)若an是等差数列,求其通项公式. (2)若an满足a1=2,Sn为an的前n项和,求S2n+1.,【解析】(1)因为an+1+an=4n-3, 所以an+2+an+1=4n+1, 两式相减得an+2-an=4. 因为an是等差数列, 设公差为d,所以d=2. 又因为a1+a2=1,即a1+a1+d=1, 所以 所以,(2)因为a1=2,a1+a2=1,所以a2=-1. 又因为an+2-an=4, 所以该数列的奇数项与偶数项分别成等差数列,公差均为4, 所以a2n-1=4n-2,a2n=4n-5. 所以S2n+1=(a1+a3+a2n+1)+(a2+a4+a2n),考点2 等差数列的判定与证明 【典例2】(1)设an=(n+1)2,bn=n2-n(nN*),则下列命题中不正确的 是( ) A.an+1-an是等差数列 B.bn+1-bn是等差数列 C.an-bn是等差数列 D.an+bn是等差数列,(2)(2015上海模拟)已知数列an,对于任意n2,在an-1与an之间插入n个数,构成的新数列bn成等差数列,并记在an-1与an之间插入的这n个数的算术平均值为cn-1. 若an= 求c1,c2,c3的值; 在的条件下是否存在常数,使cn+1-cn是等差数列?如果存在,求出满足条件的;如果不存在,请说明理由.,【解题提示】(1)根据等差数列的定义,逐一验证答案后作出判断. (2)先分别求出a1,a2,a3,a4的值,再由已知分别解出c1,c2,c3的值; 根据的结论,求出cn-1,再根据(cn+1-cn)-(cn-cn-1)为常数,求的值,视的值是否存在则得结论.,【规范解答】(1)选D.等差数列的通项公式是关于n的一次式形式的函数(一次项系数可以为0).而an+1-an=2n+3,bn+1-bn=2n,an-bn=3n+1,故A、B、C均正确. (2)由题意知a1=-2,a2=1,a3=5,a4=10,在-2,1之间插入两个数,使之成为等差数列,则可得公差为1. 故在a1与a2之间插入-1,0,得c1= 在a2与a3之间插入2,3,4,得c2=3; 在a3与a4之间插入6,7,8,9,得c3=,在an-1与an之间插入n个数构成等差数列， 则 假设存在使得cn+1-cn是等差数列， 则(cn+1-cn)-(cn-cn-1)=cn+1-cn-(cn-cn-1)= 为常数， 所以=1.即当=1时，cn+1-cn是等差数列.,【规律方法】等差数列的四个判定方法 (1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数. (2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2后,可递推得出an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=a2-a1,根据定义得出数列an为等差数列. (3)通项公式法:得出an=pn+q后,得an+1-an=p对任意正整数n恒成立,根据定义判定数列an为等差数列.,(4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,根据Sn,an的关系,得出an,再使用定义法证明数列an为等差数列. 提醒:等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法,而对于通项公式和前n项和公式的方法主要适合在选择题或填空题中简单判断.,【变式训练】(2015南昌模拟)设等差数列an的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9. (1)求数列an的通项及前n项和公式. (2)设数列bn的通项公式为bn= 问:是否存在正整数t,使得b1,b2,bm(m3,mN)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.,【解析】(1)设公差为d,由题意得 解得a1=1,d=2，故an=2n-1,Sn=n2. (2)由(1)知 要使b1,b2,bm成等差数列，必须2b2=b1+bm, 即 整理得,因为m,t为正整数,所以t只能取2,3,5. 当t=2时,m=7; 当t=3时,m=5; 当t=5时,m=4. 所以存在正整数t,使得b1,b2,bm成等差数列.,【加固训练】已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn, 且Sk=110. (1)求a及k的值. (2)设数列bn的通项bn= 证明数列bn是等差数列,并求其前n 项和Tn.,【解析】(1)设该等差数列为an, 则a1=a,a2=4,a3=3a, 由已知有a+3a=8, 得a1=a=2,公差d=4-2=2, 所以 由Sk=110,得k2+k-110=0, 解得k=10或k=-11(舍去)， 故a=2,k=10.,(2)由(1)得 则 故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1, 即数列bn是首项为2，公差为1的等差数列, 所以,考点3 等差数列性质的应用 知考情 对等差数列性质的考查几乎每年都有涉及,有时以选择题、填空题出现,难度中等偏下,有时在解答题中出现,常与求通项an及前n项和Sn结合命题,题目难度中等.,明角度 命题角度1:根据等差数列的性质求基本量 【典例3】(2015广州模拟)等差数列an前17项和S17=51, 则a5-a7+a9-a11+a13等于( ) A.3 B.6 C.17 D.51 【解题提示】利用等差数列的前n项和公式及性质求解.,【规范解答】选A.由于S17= 17=17a9=51, 所以a9=3. 根据等差数列的性质a5+a13=a7+a11, 所以a5-a7+a9-a11+a13=a9=3.,命题角度2:根据等差数列的性质求前n项和的最值 【典例4】(2015乌鲁木齐模拟)设等差数列an的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S130,S130,S130,确定出正负变化的相邻的两项,从而确定最值.,【规范解答】(1)因为S120,S130, 所以 即 又a3=a1+2d=12, 所以解得,(2)由题意及等差数列的性质可得 所以a70. 所以在数列an中，前6项为正，从第7项起，以后各项为负， 故S6最大.,【一题多解】解答本题，你知道几种解法？ 解答本题还有以下解法. (n=1,2,3,12). 所以 = 因为 所以 所以当n=6时，Sn有最大值，所以S1,S2,S12中值最大的为S6.,悟技法 求等差数列的前n项和Sn最大(小)值的常用方法 1.邻项变号法：(1)当a10，d0时，满足 的项数m使得Sn取得最小值为Sm.,2.函数法：利用等差数列的前n项和 (d0), Sn可看成关于n的二次函数式且常数项为0,借助二次函数的 图象或配方法解决最值问题，注意nN*.,通一类 1.(2015济南模拟)在等差数列an中，a2+a6= 则 =( ) 【解析】选D.因为a2+a6= 所以 所以,2.(2015成都模拟)设等差数列an的前n项和为Sn,且满足S150, S160,则 中最大的项为( ),【解析】选D.由 得a80. 由 得a9+a80,则 又S8S7S6,a8a7a6, 则 所以最大的项为 故选D.,3.(2015吉林模拟)设等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,若 对任意正整数n都有 则 的值为_. 【解析】因为an,bn为等差数列， 所以 因为 所以 答案：,4.(2015咸阳模拟)已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn,且满足a3a4=117,a2+a5=22. (1)求通项an. (2)求Sn的最小值. (3)若数列bn是等差数列,且 求非零常数c,【解析】(1)因为数列an为等差数列, 所以a3+a4=a2+a5=22. 又a3a4=117, 所以a3,a4是方程x2-22x+117=0的两实根, 又公差d0,所以a3a4, 所以a3=9,a4=13, 所以 所以 所以通项an=4n-3.,(2)由(1)知a1=1,d=4, 所以 = 所以当n=1时，Sn最小， 最小值为S1=a1=1.,(3)由(2)知Sn=2n2-n, 所以 所以 因为数列bn是等差数列， 所以2b2=b1+b3,即 所以2c2+c=0, 所以 或c=0(舍去)， 故,巧思妙解7 巧用等差数列的性质求前n项和 【典例】(2015日照模拟)等差数列an的前m项和为30,前3m项和为90,则它的前2m项和为 .,【常规解法】记等差数列an的前n项和为Sn,公差为d, 由已知得 根据等差数列的前n项和公式得 由可得 把代入得,化简得d=0, 再由得 所以 答案：60,【巧妙解法一】 由Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列， 可得2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m, 即 答案：60,【巧妙解法二】由 得 所以 是以a1为首项， 为公差的等差数列, 从而 成等差数列， 所以 所以 答案：60,【方法指导】 1.熟练掌握等差数列性质的实质 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形,熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.,2.应用等差数列的性质解答问题的关键 寻找项数之间的关系,但要注意性质运用的条件,如若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,qN*),需要当序号之和相等、项数相同时才成立,再比如只有当等差数列an的前n项和Sn中的n为奇数时,才有Sn=na中成立.,【类题试解】在等差数列an中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=( ) A.58 B.88 C.143 D.176,【常规解法】选B.设等差数列an的公差为d，由题意可得a1+3d+a1+7d=16,所以a1=8-5d, 所以 【巧妙解法】选B.在等差数列an中，已知a4+a8=16, 所以a1+a11=a4+a8=16, 所以,
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