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第五章 数 列 第一节 数列的概念与简单表示法,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)数列的有关概念:,一定顺序,每一个数,an=f(n),a1+a2+an,(2)数列的表示方法:,(n,an),公式,(3)an与Sn的关系: 若数列an的前n项和为Sn, _,n=1, _,n2.,则an=,S1,Sn-Sn-1,(4)数列的分类:,an+1an,an+1an,2.必备结论 教材提炼 记一记 常见数列的通项公式: 自然数列:(1,2,3,4,)an=n; 奇数列:(1,3,5,7,)an=2n-1; 偶数列:(2,4,6,8,)an=2n; 平方数列:(1,4,9,16,)an=n2; 2的乘方数列:(2,4,8,16,)an=2n;,倒数列: 乘积数列:(2,6,12,20,) 可化为(12,23,34,45,)an=n(n+1); 重复数串列:(9,99,999,9999,)an=10n-1; (0.9,0.99,0.999,0.9999,)an=1-10-n; 符号调整数列:(-1,1,-1,1,)an=(-1)n.,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:由数列的前n项归纳通项公式的方法,递推数列转化的方法,判断数列的单调性的方法以及求最大(小)项的方法. (2)数学思想:函数与方程、分类讨论、等价转化. (3)记忆口诀: 数列函数同族类,函数性质帮你忙;通项递推关系式,等价转化解析式;an与Sn关系式,分类讨论来合并.归纳思想非常好,猜测证明不可少.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)数列an和集合a1,a2,a3,an表达的意义相同.( ) (2)所有数列的第n项都能使用公式表达.( ) (3)如果数列an的前n项和为Sn,则对nN*,都有an+1=Sn+1-Sn.( ) (4)在数列an中,对于任意正整数m,n,am+n=amn+1,若a1=1,则a2=2. ( ) (5)若已知数列an的递推公式为an+1= 且a2=1,则可以写出数 列an的任何一项.( ),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(必修5P31例3改编)在数列an中，a1=1, 则a5=( ) 【解析】选D.由已知得，,(2)(必修5P29例1(2)改编)已知数列an的前四项分别为1，0，1，0，给出下列各式： 其中可以作为数列an的通项公式的有_.(写出所有正确结论的序号),【解析】根据各个数列的通项公式分别写出其前四项,只有符合. 答案:,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2015石家庄模拟)把1,3,6,10,15,21,这些数叫做三角形数,这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图). 则第7个三角形数是( ) A.27 B.28 C.29 D.30 【解析】选B.由图可知,第7个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28.,(2)(2015兰州模拟)已知数列an的前n项和Sn=n2an(n2),且a1=1,通过计算a2,a3,猜想an等于( ) 【解析】选B.a1=1= 因为Sn=n2an(n2), 所以S2=4a2,即a1+a2=4a2,所以 当n=3时,S3=9a3,即a1+a2+a3=9a3, 解得 因此猜想,(3)(2015广州模拟)数列an满足an+an+1= (nN*),a2=2,Sn是数列an的前n项和，则S21为( ) 【解析】选B.因为an+an+1= (nN*), 所以 故a2n=2,a2n-1= 所以,(4)(2014新课标全国卷)数列an满足an+1= a8=2，则 a1=_. 【解析】由an+1= 可得 又a8=2，故 答案：,考点1 由数列的前几项归纳数列的通项公式 【典例1】(1)(2015深圳模拟)数列 的一个通项公式 为( ),(2)写出下列数列的一个通项公式. a,b,a,b,a,b,(其中a,b为实数). 3,33,333,3 333,. ,【解题提示】(1)根据a1=0, 验证答案，用排除法求解. (2)通过分析各数列已知项的数字特征的共性写出各数列的通项公式. 【规范解答】(1)选C.因为a1=0，排除选项D.因为 排除选项 A，B，只有选项C符合. (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数， 且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an=,这是一个摆动数列，奇数项是a,偶数项是b,所以此数列的一个通项 公式为 将数列各项改写为: ,分母都是3，而分子分别 是10-1,102-1,103-1,104-1,. 所以 将该数列的前4项改写成分数的形式: 可得通项公式,【规律方法】由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略 (1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法. (2)具体策略:分式中分子、分母的特征; 相邻项的变化特征; 拆项后的特征;,各项的符号特征和绝对值特征; 化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系; 对于符号交替出现的情况,可用(-1)k或(-1)k+1,kN*处理.,【变式训练】根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项 公式： (1) ； (2) ； (3) ； (4)5，55，555，5 555，.,【解析】(1)将数列统一为 ，对于分子3，5，7，9， ，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn=2n+1，对于分母 2，5，10，17，联想到数列1，4，9，16，即数列n2， 可得分母的通项公式为cn=n2+1，因此可得数列的一个通项公式为 an= (2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分子可分解为13, 35,57,79,911,，每一项都是两个相邻奇数的乘积.知所 求数列的一个通项公式为,(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一 成分数再观察.即 ，从而可得数列的一个通项公式 为 (4)将原数列改写为 ，易知数列9，99，999， 的通项为10n-1，故所求的数列的一个通项公式为,【加固训练】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)-1,7,-13,19,. (2)0.8,0.88,0.888,. (3) .,【解析】(1)符号可通过(-1)n表示，后面的数的绝对值总比前一个数 的绝对值大6，故通项公式为an=(-1)n(6n-5). (2)数列变为 所以其通项公式为 (3)各项的分母分别为21，22，23，24，易看出第2，3，4项的分 子分别比分母少3.因此把第1项变为 原数列化为 ， 所以,考点2 an与Sn关系式的应用 【典例2】(1)(2015临沂模拟)已知数列an的前n项和 则a4等于( ) (2)已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则Sn=( ),【解题提示】(1)直接根据a4=S4-S3求出即可. (2)根据nN*,都有an+1=Sn+1-Sn,把Sn=2an+1化为Sn+1与Sn之间的关系,求出数列Sn的通项,另外也可根据Sn=2an+1得出Sn-1=2an,进而得出an+1与an的关系,从而求出Sn.,【规范解答】(1)选A. (2)选B方法一：因为an+1=Sn+1-Sn,所以由Sn=2an+1得，Sn=2(Sn+1- Sn)，整理得3Sn=2Sn+1，所以 所以数列Sn是以S1=a1=1为首 项， 为公比的等比数列，所以 故选B 方法二:因为Sn=2an+1, 所以Sn-1=2an(n2), 两式相减得:an=2an+1-2an, 所以,所以数列an从第2项起为等比数列. 又n=1时，S1=2a2, 所以 所以,【互动探究】若本例题(2)中，结论改为求an，应如何求解？ 【解析】根据原题的结果 当n=1时，a1=1；当n2时， an=Sn-Sn-1= n=1时不适合这个公式所以,【规律方法】已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用a1=S1求出a1. (2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n2)便可求出当n2时an的表达式. (3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n2时an的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n=1与n2两段来写.,【变式训练】已知下面数列an的前n项和Sn,求an的通项公式. (1)Sn=2n2-3n. (2)Sn=3n+b. 【解析】(1)a1=S1=2-3=-1, 当n2时,an=Sn-Sn-1 =(2n2-3n)-2(n-1)2-3(n-1)=4n-5, 由于当n=1时也适合此等式,所以an=4n-5.,(2)a1=S1=3+b. 当n2时,an=Sn-Sn-1 =(3n+b)-(3n-1+b)=23n-1, 当b=-1时,a1适合此等式. 当b-1时,a1不适合此等式. 所以当b=-1时,an=23n-1. 当b-1时,【加固训练】1.已知数列an的前n项和Sn=-n2+3n,若an+1an+2=80,则n的值为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【解析】选A.因为Sn=-n2+3n,所以a1=S1=2, 当n2时,an=Sn-Sn-1=4-2n, 因此an=4-2n(nN*). 又因为an+1an+2=80,即4-2(n+1)4-2(n+2)=80, n(n-1)=20,解得n=5或n=-4(舍去).,2.(2015重庆模拟)设数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n-1.数列bn满足b1=2,bn+1-2bn=8an. (1)求数列an的通项公式. (2)证明:数列 为等差数列,并求bn的通项公式.,【解析】(1)当n=1时,a1=S1=21-1=1; 当n2时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1. 因为a1=1适合通项公式an=2n-1, 所以an=2n-1(nN*). (2)因为bn+1-2bn=8an,所以bn+1-2bn=2n+2, 即 所以 是首项为1，公差为2的等差数列, 所以 =1+2(n-1)=2n-1, 所以bn=(2n-1)2n.,考点3 由数列的递推关系求通项公式 【典例3】(1)在数列an中,a1=2,an+1= 则an等于( ) A.2+ln n B.2+(n-1)ln n C.2+nln n D.1+n+ln n (2)设an是首项为1的正项数列，且(n+1)an+12-nan2+an+1an =0(n=1,2,3,)，则它的通项公式an=_.,【解题提示】(1)把已知转化为 采用叠加的方法 求an. (2)把已知转化为 采用叠乘的方法求an.,【规范解答】(1)选A.由已知， 所以 ,将以上n-1个式子叠加，得 =ln n. 所以an=2+ln n(n2), 经检验n=1时也适合.故选A.,(2)因为(n+1)an+12+an+1an-nan2=0， 所以(an+1+an)(n+1)an+1-nan=0, 又an+1+an0,所以(n+1)an+1-nan=0, 即 所以 所以 答案：,【规律方法】典型的递推数列及处理方法,其中(1)an+1=pan+q(p0,1,q0)的求解方法是：设an+1+=p(an+ )，即an+1=pan+p-，与an+1=pan+q比较即可知只要 (2)an+1=pan+qpn+1(p0,1,q0)的求解方法是两端同时除以pn+1， 即得 数列 为等差数列 提醒：对于有些递推公式要注意参数的限制条件.,【变式训练】根据下列条件,确定数列an的通项公式: (1)a1=1,an+1=3an+2. (2)a1=2,an+1=an+3n+2. 【解析】(1)因为an+1=3an+2, 所以an+1+1=3(an+1),所以 所以数列an+1为等比数列,公比q=3, 又a1+1=2,所以an+1=23n-1, 所以an=23n-1-1.,(2)因为an+1-an=3n+2, 所以an-an-1=3n-1(n2), 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1= 当n=1时，a1=2符合上式，所以,【加固训练】1.设数列an的前n项和为Sn,已知2an-2n=Sn,则数列an 的通项公式an= . 【解析】令n=1得a1=2.由2an-2n=Sn得2an+1-2n+1=Sn+1,-整理得 an+1=2an+2n,即 即数列 是首项为1，公差为 的等差 数列，故 故an=(n+1)2n-1 答案：(n+1)2n-1,2.已知数列an中，a1=1, 则数列bn的通项 公式bn=_ 【解析】由于an+1-2= 即bn+1=4bn+2， 又a1=1，故 所以 是首项为 公比为4的等比数列 答案：,考点4 数列的性质 知考情 因为数列可以看作是一类特殊的函数,所以数列也具备函数应具备的性质,因此,高考命题往往以数列作载体,用选择题、填空题的形式考查单调性、周期性等问题.,明角度 命题角度1：数列的单调性问题 【典例4】已知 那么数列an是( ) A.递减数列 B.递增数列 C.常数列 D.摆动数列 【解题提示】利用比较法判断.,【规范解答】选B.因为 所以 所以 所以an+1an,所以数列an是递增数列. 【一题多解】解答本题，你知道几种解法？解答本题，还有以下解法. 因为 根据函数 为减函数.知 (x0)为增函数.即 为增函数，则an为递增数列.,命题角度2：数列的周期性问题 【典例5】(2015哈尔滨模拟)数列an满足 则数列的第2 015项为_. 【解题提示】先根据已知推理得出数列的周期，再利用周期性求解.,【规范解答】因为 所以a2=2a1-1= 所以a3=2a2= 所以a4=2a3= a5=2a4-1= a6=2a5-1= , 所以该数列的周期T=4.而2 015=4503+3, 所以a2 015=a3= 答案：,悟技法 1.解决数列的单调性问题可用以下三种方法 (1)用作差比较法,根据an+1-an的符号判断数列an是递增数列、递减数列或是常数列. (2)用作商比较法，根据 (an0或an0)与1的大小关系进行判断. (3)结合相应函数的图象直观判断.,2.解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.,通一类 1.(2015武汉模拟)已知数列xn满足xn+3=xn,xn+2=|xn+1-xn|(nN*),若x1=1,x2=a(a1且a0),则数列xn的前2015项的和S2015为( ) A.671 B.670 C.1342 D.1344 【解题提示】推算出xn的周期,利用周期性简化计算.,【解析】选D.由题意x1=1,x2=a,x3=|x2-x1|=|a-1|=1-a,x4 =|1-a-a|=|1-2a|,又x4=x1,所以|1-2a|=1,又因为a0, 所以a=1. 所以此数列为:1,1,0,1,1,0,其周期为3. 所以S2015=S6713+2=6712+2=1344.,2.(2015西安模拟)已知数列an满足a1=33,an+1-an=2n,则 的最小值为( ),【解析】选B.因为an+1-an=2n,所以an-an-1=2(n-1), 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=(2n-2)+(2n-4)+ 2+33=n2-n+33(n2), 又a1=33适合上式,所以an=n2-n+33, 所以 令f(x)= 则f(x)= 令f(x)=0得 所以当0x 时，f(x)0,当 时，f(x)0, 即f(x)在区间 上递减；在区间 上递增， 又 且 所以f(5)f(6),所以当n=6时, 有最小值,创新体验5 数列的新定义问题 【创新点拨】 1.高考考情:以数列为背景的新定义问题是高考命题创新型试题的一个热点,考查频次较高. 2.命题形式:常见的有新定义、新规则等.,【新题快递】 1.(2015石家庄模拟)将石子摆成如图所示的梯形形状,称数列5,9,14,20,为“梯形数”.根据图形的构成,此数列的第2014项与5的差,即a2014-5=( ) A.20182012 B.20202013 C.10092012 D.10102013,【解析】选D.因为an-an-1=n+2(n2),a1=5, 所以a2014=(a2014-a2013)+(a2013-a2012)+(a2-a1)+a1 =2016+2015+4+5= =10102013+5, 所以a2014-5=10102013,故选D.,2.(2015武汉模拟)在一个数列中,如果nN*,都有anan+1an+2=k(k为常数),那么这个数列叫做等积数列,k叫做这个数列的公积.已知数列an是等积数列,且a1=1,a2=2,公积为8,则a1+a2+a3+a12= . 【解析】依题意得数列an是周期为3的数列,且a1=1,a2=2,a3=4,因此a1+a2+a3+a12=4(a1+a2+a3)=4(1+2+4)=28. 答案:28,3.(2015烟台模拟)对于E=a1，a2,，a100的子集X= 定义X的“特征数列”为x1,x2,x100,其中 其余 项均为0，例如:子集a2,a3的“特征数列”为0,1,1,0,0,0. (1)子集a1,a3,a5的“特征数列”的前3项和等于 . (2)若E的子集P的“特征数列”为p1,p2,p100满足p1=1,pi+pi+1=1, 1i99. E的子集Q的“特征数列”为q1,q2,q100满足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1, 1j98, 则PQ的元素个数为 .,【解析】(1)子集a1,a3,a5的“特征数列”的前三项是1,0,1, 故和为2. (2)根据题设条件,子集P的“特征数列”是1,0,1,0,1,0,1, 0,1,0,1,0,1, 子集Q的“特征数列”是1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1, 发现p1=q1=1,p7=q7=1,p6i-5=q6i-5=1,于是令6n-5=97, 得n=17,所以PQ的元素个数为17. 答案:(1)2 (2)17,【备考指导】 1.准确转化:解决数列新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,将题目所给定义转化成题目要求的形式,切忌同已有概念或定义相混淆. 2.方法选取:对于数列新定义问题,搞清定义是关键,仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意,从而找到恰当的解决方法.,
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