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第四章 平面向量、数系的扩充与复数 的引入 第一节 平面向量的概念及其线性运算,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)向量的有关概念: 向量:既有_,又有_的量叫向量; 模:向量的_叫做向量的模,记作|a|或| |; 零向量:长度等于0的向量,其方向是_,记作0; 单位向量:长度等于_的向量;,大小,方向,长度,任意的,1个单位,平行向量:方向_的非零向量,又叫共线向量,规定:0与 任一向量共线; 相等向量:长度相等且方向_的向量; 相反向量:长度相等且方向_的向量.,相同或相反,相同,相反,(2)向量的加法与减法:,相反向量,三角形,平行四边形,b+a,a+(b+c),(3)向量的数乘运算及其几何意义: 定义:实数与向量a的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作 a,它的长度与方向规定如下: ()|a|= _; ()当0时,a与a的方向_;当0时,a与a的方向_; 当=0时,a=0.,|a|,相同,相反,运算律:设,是两个实数,则 ()_=()a; ()(+)a=_; ()(a+b)=_. (4)共线向量定理: 向量a(a0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使_.,(a),a+a,a+b,b=a,2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)若存在非零实数,使得 或 则_三点共线. (2)若存在非零实数,使得 = ,则,A,B,C,(3)三个重要结论: 相等向量具有传递性,非零向量的平行具有传递性; 向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量; 平行向量与起点无关. 3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:数形结合法,待定系数法. (2)常用思想:数形结合,函数与方程.,(3)记忆口诀: 向量的有关概念: 大小相等同方向,就是相等的向量.大小相等反方向,称其互为负向量. 向量大小叫做模,模零向量零向量.零向量仍有方向,方向不定好商量. 向量的加法: 向量可加亦可减,减即加上负向量.首尾衔接向量组,初始末终和向量. 起点公共两向量,平行四边形帮忙;公共起点是起点,对角线乃和向量.,差向量: 起点公共两向量,终点构成差向量. 向量求和: 非平行的两向量,求和平行四边形.平行向量要求和,需用法则三角形.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)单位向量只与模有关,与方向无关.( ) (2)零向量的模等于0,没有方向.( ) (3)若两个向量共线,则其方向必定相同.( ) (4)若ab,bc,则必有ac.( ) (5) =0.( ),【解析】(1)正确.由定义可知只要模为1的向量,就叫单位向量,与方 向无关.(2)错误.零向量的方向是任意的.(3)错误.可能相同,也可能 相反,若有零向量,则两向量方向不定.(4)错误.若b为0,则a不一定与c 共线.(5)正确. =0. 答案:(1) (2) (3) (4) (5),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(必修4P78A组T5改编)已知三角形ABC,用 与 表示BC边上 的中线向量 ,则 = . 【解析】 答案:,(2)(必修4P92B组T2改编)已知a,b是非零向量,若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边构成的四边形的形状为 . 【解析】如图,在以a与b为邻边的四边形中, |a+b|与|a-b|分别为四边形的两条对角线, 故由对角线长相等的平行四边形是矩形可知, 以a,b为邻边的四边形是矩形. 答案:矩形,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2013四川高考)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于 点O, 则= .,【解析】在平行四边形ABCD中, 而 所以 故=2. 答案:2,(2)(2013江苏高考)设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,AD= AB, BE= BC,若 (1,2为实数),则1+2的值为 . 【解析】由 则1+2的值为 . 答案:,(3)(2015威海模拟)判断下列四个命题: 若ab,则a=b;若|a|=|b|,则a=b; 若|a|=|b|,则ab;若a=b,则|a|=|b|.其中正确的是 .,【解析】中两向量共线,但这两向量的方向、模均不一定相同,故不一定相等;中两向量的模相等,但方向不一定相同,故这两向量不一定相等;中两向量的模相等,但两向量不一定共线;中两向量相等,则模一定相等,故正确. 答案:,考点1 平面向量的概念 【典例1】(1)(2015滨州模拟)设a,b都是非零向量,下列四个条件 中,使 成立的充分条件是( ) A.a=-b B.ab C.a=2b D.ab且|a|=|b|,(2)(2015洛阳模拟)给出下列命题: 非零向量a与b同向是a=b的必要不充分条件; 若 与 共线,则A,B,C三点在同一条直线上; 若a与b同向,则a与-b反向; ,为实数,若a=b,则a与b共线. 其中错误命题的序号为 .,【解题提示】(1)利用向量相等与单位向量的概念求解. (2)利用共线向量定理逐一判断.,【规范解答】(1)选C.由 表示与a同向的单位向量, 表示与b同 向的单位向量,故只要a与b同向即可,观察可知C满足题意. (2)对于,因为向量a与b都是非零向量,所以该命题是正确的;对于 ,因为向量 与 共线,且有公共点B,所以该结论是正确的;对 于,因为b与-b反向,所以该结论正确;对于,当=0时,a与b可 为任意向量,不一定共线,所以不正确. 答案:,【易错警示】解答本例题(1)有两点容易出错. (1)不清楚 , 表示何种向量,不知道 是a方向上的单位向量. (2)求解时易忽视两向量是同向还是反向,是共线还是相等.,【互动探究】若本例(2)中的,都为非零实数,该结论是否正确? 【解析】因为,都为非零实数,则由a=b,得a= b,由共线向 量定理知该结论成立.,【规律方法】向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度. (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制. (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等. (4)单位向量的关键是方向没有限制,但长度都是一个单位长度. (5)零向量的关键是方向没有限制,长度是0,规定零向量与任何向量共线.,【变式训练】下列命题中正确的个数为( ) 有向线段就是向量,向量就是有向线段; 向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反; 向量 与 向量共线,则A,B,C,D四点共线; 如果a=b,b=c,那么a=c. A.1 B.2 C.3 D.0,【解析】选A.不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段,有向线段也不是向量;不正确,若a与b中有一个为零向量,零向量的方向是不确定的,故两向量方向不一定相同或相反;不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行;正确,因为a=b,b=c,由相等向量的概念可知a与c方向相同,大小相等,故a=c.,【加固训练】1.设a0为单位向量,若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;若a与a0平行,则a=|a|a0;若a与a0平行且|a|=1,则a=a0,上述命题中,假命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选D.向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.,2.(2015南昌模拟)下列关于向量的叙述不正确的是( ) A.向量 的相反向量是 B.模长为1的向量是单位向量,其方向是任意的 C.若A,B,C,D四点在同一条直线上,且AB=CD,则 = D.若向量a与b满足关系a+b=0,则a与b共线,【解析】选C.A,B显然正确;对于C,如图, A,B,C,D四点 满足条件,但 ,所以C不正确;对于D,由a+b=0,得b=-a,由共 线向量定理知,a与b共线,所以D正确.,考点2 平面向量的线性运算 知考情 平面向量的线性运算是高考考查的热点内容.常以选择题、填空题的形式出现.考查向量加法的平行四边形法则和三角形法则,向量减法的三角形法则及向量的相等.,明角度 命题角度1:利用向量加减运算的几何意义求解向量问题 【典例2】(2014浙江高考)记 设a,b为平面向量,则( ) A.min|a+b|,|a-b|min|a|,|b| B.min|a+b|,|a-b|min|a|,|b| C.max|a+b|2,|a-b|2|a|2+|b|2 D.max|a+b|2,|a-b|2|a|2+|b|2,【解题提示】利用向量的平行四边形法则,再比较模的大小. 【规范解答】选D.作出a,b,a+b,a-b, 由于|a+b|,|a-b|与|a|,|b|的大小关系与夹角大小有关,故A,B错,当a,b夹角为锐角时,|a+b|a-b|, 此时|a+b|2|a|2+|b|2,当a,b夹角为钝角时,|a+b|a|2+|b|2,当ab时,|a+b|2=|a-b|2=|a|2+|b|2,故选D.,命题角度2:利用平面向量线性运算求解向量问题 【典例3】(2015临沂模拟)在ABC中,若D是AB边上一点且 则+=( ) A. B.1 C.-1 D.- 【解题提示】作出图形利用向量线性运算求解.,【规范解答】选B.如图所示,由三角形法则可知 故= ,= ,+= + =1.,悟技法 平面向量线性运算的一般思路 (1)准确作出图形,确定每一个点的位置. (2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化,转化为要求的向量形式. (3)比较,观察可知所求结果.,通一类 1.(2015厦门模拟)如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则 =( ),【解析】选C.设a= 以OP,OQ为邻边作平行四边形,则夹在OP, OQ之间的对角线对应的向量即为向量a= 因为a和 长度相 等,方向相同,所以a= ,故选C.,2.(2015九江模拟)已知P,A,B,C是平面内四点,且 那么一定有( ) 【解析】选D.由题意得 即,3.(2015扬州模拟)在ABC中,N是AC边上一点且 P是BN 上一点,若 则实数m的值是 .,【解析】如图所示.设 则 = 因为 所以= , 所以1-= ,所以m= . 答案:,4.(2015兰州模拟)任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,若 则+= . 【解析】如图所示,因为E,F分别是AD与BC的中点, 所以 又因为 所以 同理 ,由+得, 所以 所以= ,= . 所以+=1. 答案:1,考点3 共线向量定理及其应用 【典例4】(1)(2015沈阳模拟)已知向量a,b,c中任意两个都不共线,并且a+b与c共线,b+c与a共线,那么a+b+c等于( ) A.a B.b C.c D.0,(2)如图,在ABC中,D,F分别是BC,AC的中点, 用a,b表示向量 求证:B,E,F三点共线.,【解题提示】(1)利用共线向量定理及向量相等的概念求解. (2)利用线性运算几何意义求解.利用共线向量定理得出.,【规范解答】(1)选D.因为a+b与c共线, 所以a+b=1c. 又因为b+c与a共线, 所以b+c=2a. 由得:b=1c-a.,所以b+c=(1+1)c-a=2a, 所以 即 所以a+b+c=-c+c=0.,(2)由已知可得: 因为 所以 = (a+b)= (a+b), = b, = (a+b)-a = b- a, = b-a.,由 = b- a, = b-a,得 = , 又 , 有公共点B,故B,E,F三点共线.,【规律方法】共线向量定理的应用 (1)证明向量共线:对于向量a,b,若存在实数,使a=b,则a与b共线. (2)证明三点共线:若存在实数,使 则A,B,C三点共线. (3)求参数的值:利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参 数的值. 提醒:证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点.,【变式训练】设e1,e2是两个不共线向量,已知 =2e1-8e2, =e1+3e2, =2e1-e2. (1)求证:A,B,D三点共线. (2)若 =3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.,【解析】(1)由已知得 =(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2, 因为 =2e1-8e2,所以 =2 , 又有公共点B,所以A,B,D三点共线.,(2)由(1)可知 =e1-4e2,且 =3e1-ke2, 又因为B,D,F三点共线,所以存在实数,使得 = , 即3e1-ke2=e1-4e2,得 解得k=12,所以k=12.,【加固训练】1.a=b(R)是a与b共线的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.当a=b(R)时,若b=0,则a=0,显然a与b共线;若b0,则由共线向量定理知a与b共线. 反之,若a与b共线,当b=0,而a0时,a=b(R)不成立.故选A.,2.设两个非零向量a与b不共线. (1)若 =a+b, =2a+8b, =3(a-b). 求证:A,B,D三点共线; (2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.,【解析】(1)因为 =a+b, =2a+8b, =3(a-b), 所以 =2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5 , 所以 , 共线.又 与 有公共点B, 所以A,B,D三点共线.,(2)因为ka+b与a+kb共线, 所以存在实数,使ka+b=(a+kb), 所以 所以k=1.,自我纠错11 利用共线向量定理求参数 【典例】(2015郑州模拟)已知向量a,b不共线,且c=a+b,d=a+ (2-1)b,若c与d同向,则实数的值为_.,【解题过程】,【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:上述解题过程忽视了c与d同向的条件,漏掉k的范围限制从而忽略了的范围限制导致错解.,【规避策略】 1.准确理解向量共线的概念 两个向量共线,是指两个向量的方向相同或相反,因此共线包含两种情况:同向共线或反向共线.在求解相关问题时要注意区分.一般地,若a=b,那么a与b共线;当0时,a与b同向;当0时,a与b反向. 2.找清关系 利用向量共线往往需要引入参数,要搞清引入的参数与已知条件中的参数关系,准确理解,从而确定要求的参数.,【自我矫正】由于c与d同向,所以c=kd(k0), 于是a+b=ka+(2-1)b,整理得a+b=ka+(2k-k)b. 由于a,b不共线,所以有 整理得22-1=0,所以=1或=- . 又因为k0,所以0,故=1. 答案:1,
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