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第七节 正弦定理和余弦定理,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)正弦定理: =_=_=2R(R是ABC外接圆的半径),(2)余弦定理: 在ABC中,有a2=_; b2=_; c2=_. 在ABC中,有:cosA=_; cosB=_; cosC=_.,b2+c2-2bccosA,c2+a2-2cacosB,a2+b2-2abcosC,(3)在ABC中,已知a,b和A时,三角形解的情况:,一解,两解,一解,一解,无解,2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)三角形的内角和定理:在ABC中,A+B+C=_,其变式有: A+B=_, =_等. (2)三角形中的三角函数关系:sin(A+B)=_; cos(A+B)=_; sin =_; cos =_.,-C,sinC,-cosC,(3)正弦定理的公式变形: a=_, b=_,c=_; sinAsinBsinC=_; sinA= ,sinB=_,sinC=_; ,2RsinA,2RsinB,2RsinC,abc,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法：代入法、边角转化法. (2)数学思想:数形结合、分类讨论.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立.( ) (2)三角形中各边和它所对角的弧度数之比相等.( ) (3)已知两边及其夹角求第三边,用余弦定理.( ) (4)在ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.( ) (5)在ABC中,若sinAsinB,则AB.( ),【解析】(1)正确.由正弦定理和余弦定理的证明过程可知,它们对任意三角形都成立. (2)错误.由正弦定理可知该结论错误. (3)正确.由余弦定理可知该结论正确. (4)错误.当已知三个角时不能求三边. (5)正确.由正弦定理知sinA= ,sinB= ,由sinAsinB得ab,即AB. 答案:(1) (2) (3) (4) (5),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(必修5P8T2(1)改编)在ABC中,已知a=5,b=7,c=8,则A+C=( ) A.90 B.120 C.135 D.150 【解析】选B.先求B. cosB= 因为0B180,所以B=60,故A+C=120.,(2)(必修5P4T1(2)改编)在ABC中,已知A=60,B=75,c=20,则a= . 【解析】C=180-(A+B)=180-(60+75)=45. 由正弦定理,得 答案:10,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2014湖北高考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 已知A= ,a=1,b= ,则B= . 【解析】依题意,由正弦定理知 得出sinB= 由于0B,所以B= 答案:,(2)(2014福建高考)在ABC中,A=60,AC=2,BC= ,则AB等于 . 【解析】由余弦定理BC2=AB2+AC2-2ABACcosA,得3=AB2+4-22ABcos60,即AB2-2AB+1=0,解得AB=1. 答案:1,考点1 正弦定理的应用 【典例1】(1)在ABC中,已知a=2,b= ,A=45,则满足条件的三角形有( ) A.一个 B.两个 C.0个 D.无法确定 (2)(2014广东高考)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 bcosC+ccosB=2b,则 = .,(3)(2015吉林模拟)如图,在ABC中,AB=AC=2,BC=2 ,点D在BC边上,ADC=75,则AD的长为 .,【解题提示】(1)利用正弦定理计算. (2)利用正弦定理化边为角,利用三角恒等变换进行化简. (3)根据等腰三角形三线合一的性质求出角B,再利用正弦定理求解.,【规范解答】(1)选B.由正弦定理,得sinB= 因为ba,所以B=60或120. 故满足条件的三角形有两个. (2)由正弦定理得, sinBcosC+sinCcosB=2sinB, 所以sin(B+C)=2sinB,sin(-A)=2sinB, 即sinA=2sinB, 再由正弦定理得a=2b,所以 =2. 答案:2,(3)过点A作AEBC，垂足为E，则在RtABE中， 在ABD中，ADB=180-ADC=180-75=105. 由正弦定理得AD= 答案：,【一题多解】解答本例(1),(2)你还有其他方法吗? (1)选B.数形结合法:如图,CD= sin45= , 又a=2,b= , 所以CDab, 故满足条件的三角形有两个. (2)如图,作ADBC于点D,则a=BC=BD+DC=ccosB+bcosC=2b,即 =2. 答案:2,【规律方法】 1.正弦定理的应用技巧 (1)求边：利用公式 或其他相应变形 公式求解. (2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A= 或其他相应变形公式求解. (3)相同的元素归到等号的一边：即 可应用这些公式解决边或角的比例关系问题.,2.判断三角形解的个数的两种方法 (1)代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断. (2)几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数.,【变式训练】(2015三门峡模拟)已知在ABC中，a=x，b=2，B=45，若三角形有两解，则x的取值范围是( ) A.x2 B.x2且xsin 452， 所以2x2 .,【加固训练】1.在ABC中，a=10，B=60,C=45,则c等于( ) A.10+ B.10( 1) C. +1 D.10,【解析】选B.A=180(BC)=180(60+45)=75. 由正弦定理，得,2.(2015绵阳模拟)在锐角ABC中,角A,B所对的边分别为a,b, 若2asinB= b,则角A= . 【解析】由正弦定理得2sinAsinB= sinB,又sinB0, 故sinA= ,又0A90,所以A=60. 答案:60,3.(2015黄山模拟)若ABC的三内角A,B,C满足A+C=2B,且最大边为最小边的2倍,则三角形三内角之比为 .,【解析】因为A+C=2B，不妨设A=B-,C=B+. 因为A+B+C=,所以B-+B+B+=,所以B= 再设最小边为a,则最大边为2a. 由正弦定理得 即sin cos +cos sin =2(sin cos -cos sin ), 所以tan = ,= 所以三内角分别为 它们的比为123. 答案：123,考点2 余弦定理的应用 【典例2】(1)(2015青岛模拟)已知锐角三角形的边长分别为1,3,x,则x的取值范围是( ) A.8x10 B.2 x C.2 x10 D. x8,(2)(2015咸阳模拟)在ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a+b+c)(a-b-c)+bc=0,则A= . (3)(2014辽宁高考)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且ac,已知 =2,cosB= ,b=3,求:a和c的值;cos(B-C)的值.,【解题提示】(1)使大边的对角是锐角,其余弦值大于0,列不等式组求解. (2)已知三边的关系求角用余弦定理. (3)利用向量运算及余弦定理找等量关系求解; 利用已知条件求sinB,cosC,sinC,代入公式求值.,【规范解答】(1)选B.因为31, 所以只需使边长为3及x的对角都为锐角即可,故 又因为x0,所以,(2)因为(a+b+c)(a-b-c)+bc=a2-(b+c)2+bc =a2-b2-c2-bc=0, 所以a2=b2+c2+bc, cosA= 又A(0,),所以A= . 答案: ,(3)由 =cacos B=2，所以ac=6. 又由b=3及余弦定理得b2=a2+c2-2accos B， 所以a2+c2=13，因为ac，解得a=3,c=2. 由a=3,b=3,c=2得cos C= sin C= 由cos B= 得sin B= 所以cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=,【互动探究】对于本例(2),若ABC的三边a,b,c满足a2=b2+c2- 则A=_. 【解析】由余弦定理，得cos A= 因为A(0,),所以A= . 答案：,【规律方法】 1.利用余弦定理解三角形的步骤,2.利用余弦定理判断三角形的形状 在ABC中,c是最大的边, 若c2a2+b2,则ABC是钝角三角形. 提醒:已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形,可用正弦定理,也可用余弦定理,用正弦定理时,需判断其解的个数,用余弦定理时,可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.,【变式训练】(2015合肥模拟)设ABC的内角A,B,C所对边的长分 别为a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C=( ) 【解析】选B.因为3sinA=5sinB,所以由正弦定理可得3a=5b,所以a= 因为b+c=2a,所以c= 所以cosC= 因为C(0,),所以C=,【加固训练】1.在ABC中,若abc=357,则这个三角形中最大内角为( ) A.60 B.90 C.120 D.150 【解析】选C.令a=3x,b=5x,c=7x(x0),则c为最大边,角C为三角形中最大内角, 由余弦定理,得cosC= 所以C=120.,2.在ABC中,C=60,a,b,c分别为角A,B,C的对边, 则 = . 【解析】因为C=60,所以a2+b2-c2=ab, 所以a2+b2=ab+c2, 等式两边都加上ac+bc,整理得 (a2+ac)+(b2+bc)=(b+c)(a+c), 所以 答案:1,考点3 正、余弦定理的综合应用 知考情 利用正、余弦定理求三角形中的边和角、判断三角形的形状是高考的重要考向,常与三角恒等变换相结合,以选择题、填空题、解答题的形式出现,以后两种题型为主.,明角度 命题角度1:综合利用正、余弦定理求角(或其正、余弦值) 【典例3】(2014天津高考)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是 a,b,c.已知b-c= a,2sinB=3sinC,则cosA的值为 . 【解题提示】利用正弦定理化角为边,解方程组得边的关系,然后利用余弦定理求cosA的值.,【规范解答】因为2sin B=3sin C，所以2b=3c， 又b-c= a,解得b= a=2c. 所以cos A= 答案：,命题角度2:判断三角形的形状 【典例4】(2013陕西高考改编)设ABC的内角A,B,C所对的边 分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,且sin2B=sin2C,则ABC的形 状为( ) A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【解题提示】由正弦定理对题中的两个等式分别变形判断.,【规范解答】选D.因为bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A,sinA=sin2A, sinA=1,即A= ,又因为sin2B=sin2C, 所以由正弦定理得b2=c2,即b=c, 故ABC为等腰直角三角形.,命题角度3:综合利用正、余弦定理求边长 【典例5】(2014湖南高考)如图,在平面四边形 ABCD中,AD=1,CD=2,AC= . (1)求cosCAD的值. (2)若cosBAD= ,sinCBA= 求BC的长. 【解题提示】利用余弦定理和正弦定理求解.,【规范解答】(1)在ADC中，由余弦定理， 得cosCAD= (2)设BAC=,则=BADCAD. 因为cosCAD= ,cosBAD= 所以sinCAD=,悟技法 1.综合利用正、余弦定理求边和角的步骤 (1)根据已知的边和角画出相应的图形,并在图中标出. (2)结合图形选择用正弦定理或余弦定理求解. 提醒:在运算和求解过程中注意三角恒等变换和三角形内角和定理的运用.,2.判断三角形形状的方法 若已知条件中有边又有角,则 (1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状. (2)化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=这个结论.,通一类 1.(2013山东高考)ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c, 若B=2A,a=1,b= ,则c=( ) A.2 B.2 C. D.1 【解析】选B.由B=2A,则sinB=sin2A,由正弦定理知 即 所以cosA= 所以A= B=2A= 所以C=-B-A= ,所以c2=a2+b2=1+3=4,故c=2.,2.(2015锦州模拟)在ABC中,cos2 (a,b,c分别为角A,B, C的对边),则ABC的形状为( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 【解析】选B.因为cos2 , 所以2cos2 所以cosB= , 所以 所以c2=a2+b2. 所以ABC为直角三角形.,3.(2015开封模拟)如图ABC中，已知点 D在BC边上，满足 =0，sinBAC= AB=3 ,BD= (1)求AD的长. (2)求cos C.,【解析】(1)因为 所以ADAC, 所以sinBAC=sin( +BAD)=cosBAD, 因为sinBAC= 所以cosBAD= 在ABD中，由余弦定理可知BD2=AB2+AD2-2ABADcosBAD, 即AD2-8AD+15=0, 解之得AD=5或AD=3. 由于ABAD,所以AD=3.,(2)在ABD中，由正弦定理可知 又由cosBAD= 可知sinBAD= 所以sinADB= 因为ADB=DAC+C,DAC= ,所以cos C=,规范解答4 正、余弦定理在三角形计算中的应用 【典例】(12分)(2014天津高考)在ABC中，内角A，B，C所对 的边分别为a,b,c，已知ac= b，sin B= sin C. (1)求cos A的值. (2)求cos(2A )的值.,解题导思 研读信息 快速破题,规范解答 阅卷标准 体会规范 (1)在ABC中，由 及sin B= sin C,可得b= c, 2分 又由a-c= b,有a=2c. 4分 所以cos A= 7分,(2)在ABC中，由cos A= 可得sin A= 8分 于是，cos 2A=2cos2A-1= 9分 sin 2A=2sin Acos A= 10分 所以，,高考状元 满分心得 把握规则 争取满分 1.认真审题,把握变形的方向 认真审题,弄清已知条件和要求的值的关系,确定条件的变形方向是解答三角函数、解三角形问题的关键,如本题第(1)问求cosA的值,自然想到用余弦定理,由此确定化角为边,找出边的关系.,2.大胆书写,争取多得分 解答题不同于选择、填空题,它是按步给分,故要善于把已知条件变形,在变形中探究解题思路,即使不能把问题全部解答完整,也要争取多得几分. 3.计算准确,争取得满分 (1)公式运用要准确,这是算对的前提. (2)算数要准确无误,尤其注意正、负号的选择,计算时要尽量利用学过的公式简化计算过程,简单了就不易算错,要是算错了结果,扣分是很重的.,
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