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第六节 简单的三角恒等变换,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填,2sin2,2cos2,2,2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)辅助角公式 asinx+bcosx=_sin(x+), 其中sin= ,cos= . (2)tan =,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:整体代入法、数形结合法. (2)数学思想:转化化归,函数与方程.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)当是第一象限角时, ( ) (2)对任意角, 都成立.( ) (3)半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来 的.( ) (4)公式 中的取值与a,b的值有关.( ),【解析】(1)错误.在第一象限时, 在第一或第三象限. 当 在第一象限时, ,当 在第三象限时, (2)错误.此式子必须使tan 有意义且1+cos0.即 k+ 且2k+,即(2k+1)(kZ). (3)正确.由半角公式推导过程可知正确. (4)正确.由 可知的取值与a,b的值有关. 答案:(1) (2) (3) (4),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(必修4P142 T4(2)改编)函数y=2cos2 +1的最小正周期为 . 【解析】因为y=2 +1=cos x+2, 所以函数的最小正周期T= =4. 答案:4,(2)(必修4 P143B组T2改编)若sin80=m,则用含m的式子表示cos5= . 【解析】由题意,得sin80=cos10=m, 又cos10=2cos25-1, 所以2cos25-1=m,cos25= 所以cos5= 答案:,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2015合肥模拟)已知cos ，(，2)，则cos 等于( ) 【解析】选B.因为cos ，(，2)，所以 ( ，)，所以,(2)(2014山东高考)函数y= sin 2x+cos2x的最小正周期为_. 【解析】因为y= sin 2x+cos2x= sin 2x+ cos 2x+ =sin(2x+ )+ ，所以T= =. 答案：,考点1 利用三角恒等变换化简与证明 【典例1】(1)(2015枣庄模拟)化简:sin2sin2+cos2 cos2- cos2cos2= . (2)证明:cos-cos= 【解题提示】(1)可以从统一角入手进行化简. (2)联想两角和与差的余弦公式,进行整体变换证明.,【规范解答】(1)方法一:(从“角”入手,倍角单角) 原式=sin2sin2+cos2cos2- (2cos2-1) (2cos2-1) =sin2sin2+cos2cos2- (4cos2cos2- 2cos2-2cos2+1) =sin2sin2-cos2cos2+cos2+cos2- =sin2sin2+cos2sin2+cos2- =sin2+cos2- =1- = .,方法二(从“角”入手,单角倍角) 原式= - cos2cos2 = (1+cos2cos2-cos2-cos2)+ (1+cos2cos2+ cos2+cos2)- cos2cos2 = . 答案:,(2)因为cos(+)=coscos-sinsin, cos(-)=coscos+sinsin, 所以两式相减,得cos(+)-cos(-)=-2sinsin, 令+=,-=, 则 所以cos-cos=,【一题多解】解答本例(1),(2),还有其他方法吗? 解答本题(1),还可以从统一名称和式子的形式的变化入手进行化简. 方法一:(从“名”入手,异名化同名) 原式=sin2sin2+(1-sin2)cos2- cos2cos2 =cos2-sin2(cos2-sin2)- cos2cos2 =cos2-sin2cos2- cos2cos2 =cos2-cos2（sin2+ cos2）,方法二:(从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方) 原式=(sinsin-coscos)2+2sinsincos cos- cos2cos2 =cos2(+)+ sin2sin2- cos2cos2 =cos2(+)- cos(2+2) =cos2(+)- 2cos2(+)-1= . 答案:,解答本例(2),还可从式子的变形入手进行证明. 证明:因为原式右=,=- (1+cos -cos -cos cos )-(1-cos +cos - cos cos )=- (2cos -2cos ) =cos -cos =左， 所以原等式成立，即cos -cos =,【规律方法】 1.三角函数式的化简遵循的三个原则 (1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式. (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”. (3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”等.,2.三角函数式化简的方法 弦切互化,异名化同名,异角化同角;降幂或升幂. 在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.,【变式训练】化简: (0)=_.,【解析】原式= 因为00, 所以原式=-cos . 答案：-cos ,【加固训练】1.化简 =( ) A.sin B.cos C.tan D. 【解析】选C.原式=,2.化简： _.,【解析】原式 答案： cos 2x,考点2 三角恒等变换在实际问题中的应用 【典例2】(2015西安模拟)如图,现要在一块 半径为1 m,圆心角为 的扇形白铁片AOB上剪 出一个平行四边形MNPQ,使点P在弧AB上,点Q 在OA上,点M,N在OB上,设BOP=,平行四边形MNPQ的面积为S. (1)求S关于的函数关系式. (2)求S的最大值及相应的角.,【解题提示】(1)虽然P点变化但OP不变,通过构造 与角所在的直角三角形,将平行四边形的底和高用角表示,从而求出S关于的函数关系式.(2)利用三角恒等变换先化简,再求S的最大值及相应的角.,【规范解答】(1)分别过P,Q作PDOB于D,QEOB于E,则四边形QEDP为矩形. 由扇形半径为1m,得PD=sin,OD=cos. 在RtOEQ中, OE= QE= PD, MN=QP=DE=OD-OE=cos- sin, S=MNPD=(cos- sin)sin =sincos- sin2,(0, ).,【互动探究】在本例中若点M与O重合,图形变为如图,记平行四边形ONPQ的面积为S.求S的最大值.,【解析】如图,过P作PDOB于D,则 由扇形半径为1m,得PD=sin,OD=cos, 在RtPND中,因为PND=AOB= , 所以ND= PD= sin, ON=OD-ND=cos- sin, S=ONPD=(cos- sin)sin,【易错警示】解答本题有三点容易出错: (1)不知平行四边形的面积公式,无从下手,导致不会解答. (2)不会化简所求关系式致误. (3)忽视的取值范围致误.,【规律方法】三角函数应用题的处理方法 (1)结合具体图形引进角为参数,利用三角函数的有关公式进行化简,解决最优化问题. (2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样,先建模,再讨论变量的范围,最后作出结论并回答问题.,【加固训练】1.(2015吉林模拟)已知直线l1l2,A是l1,l2之间的一定点,并且A点到l1,l2的距离分别为h1,h2,B是直线l2上一动点,作ACAB,且使AC与直线l1交于点C,则ABC面积的最小值为 .,【解析】如图,设ABD=,则CAE=,AB= ,AC= . 所以SABC= ABAC= 当2= ,即= 时,SABC的最小值为h1h2. 答案:h1h2,2.(2015海口模拟)如图所示,已知OPQ是半径为1,圆心角为 的扇形,ABCD是扇形的内接矩形,B,C两点在圆弧上,OE是POQ的平分线,连接OC,记COE=,问:角为何值时矩形ABCD面积最大,并求最大面积.,【解析】设OE交AD于M,交BC于N,显然矩形ABCD关于OE对称,而M,N均为AD,BC的中点, 在RtONC中,CN=sin,ON=cos. = sin, 所以MN=ON-OM=cos- sin, 即AB=cos- sin,又BC=2CN=2sin,故S矩形=ABBC=(cos- sin)2sin =2sincos-2 sin2=sin2- (1-cos2) =sin2+ cos2- = 因为0 ,所以02 , 2+ ,故当2+ = , 即= 时,S矩形取得最大值,此时S矩形=2- .,考点3 三角恒等变换在研究三角函数图象与性质中的应用 知考情 利用三角恒等变换将三角函数式化简后研究其图象及性质是高考的热点.在高考中常以解答题的形式出现,重点考查三角函数的值域、最值、单调性、周期、奇偶性、对称性等问题.,明角度 命题角度1:利用三角恒等变换研究函数的图象变换 【典例3】(2014浙江高考)为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象, 可以将函数y= sin3x的图象( ) A.向右平移 个单位 B.向左平移 个单位 C.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位 【解题提示】由函数y=Asin(x+)的图象平移与变换解决.,【规范解答】选D.因为y=sin 3x+cos 3x 故只需将y= sin 3x的图象向左平移 个单位即可.,命题角度2：利用三角恒等变换研究三角函数的性质 【典例4】(2014福建高考)已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x) . (1)若0 ，且sin = ，求f()的值. (2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间. 【解题提示】(1)先由平方关系式求出cos ,再代入求f(x)的值. (2)运用降幂公式，辅助角公式进行化简，再利用正弦型函数的性质求解,【规范解答】方法一：(1)因为0 ,sin = , 所以cos = . 所以f()=,(2)因为f(x)=sin xcos x+cos2x-,方法二：f(x)=sin xcos x+cos2x-,悟技法 求函数周期、最值、单调区间的方法步骤 (1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y=Asin(x+)+t或y=Acos(x+)+t的形式. (2)利用公式T= (0)求周期.,(3)根据自变量的范围确定x+的范围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值,另外求最值时,根据所给关系式的特点,也可换元转化为二次函数的最值. (4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(x+)+t或y=Acos(x+)+t的单调区间.,通一类 1.(2013湖北高考)将函数y= cosx+sinx(xR)的图象向左平 移m(m0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值 是( ) 【解析】选B.由已知 当m= 时,平移后函数为y=2sin(x+ )=2cosx,其图象关于y轴对称,且此时m最小.,2.(2013江西高考)函数y=sin2x+2 sin2x的最小正周期T 为 . 【解析】因为y=sin2x+ (1-cos 2x)=sin2x- cos 2x+ =2sin(2x- )+ ,所以最小正周期T= =. 答案:,3.(2014天津高考)已知函数f(x)=cosxsin(x+ )- cos2x+ xR. (1)求f(x)的最小正周期. (2)求f(x)在闭区间 上的最大值和最小值. 【解题提示】(1)利用三角恒等变换把函数f(x)的解析式化为Asin(x+)+t的形式,从而求最小正周期. (2)根据x的取值范围求最值.,【解析】(1)由已知，有f(x)=cos x,规范解答3 三角恒等变换在研究函数中的应用 【典例】(12分)(2013陕西高考)已知向量a=(cos x,- ), b=( sin x,cos 2x),xR,设函数f(x)=ab. (1)求f(x)的最小正周期. (2)求f(x)在0, 上的最大值和最小值.,解题导思 研读信息 快速破题,规范解答 阅卷标准 体会规范 (1)f(x)=ab=cos x sin x cos 2x 2分 4分 最小正周期T= =. 所以f(x)= 的最小正周期为. 6分,8分 由正弦曲线y=sin x在 上的图象知， 当2x- ,即x= 时，f(x)取得最大值1; 当2x- ,即x=0时，f(x)取得最小值- . 10分 所以，f(x)在 上的最大值和 最小值分别为1, . 12分,高考状元 满分心得 把握规则 争取满分 1.化简函数关系式 由已知条件列出函数关系式后(或对已知的函数关系式)常先由三角恒等变换化简函数关系式. 2.注意解题步骤的规范性 (1)求最值、单调区间或由值求角时一定要注意限定角的取值范围； (2)涉及k或2k时要注意k的范围，规范步骤，减少出错； (3)注意题目最后的总结，保证步骤的完整性.,
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