资源描述
第三节 三角函数的图象与性质,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)周期函数: 周期函数:对于函数f(x),如果存在一个_,使得当x取_ _内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期 函数,_叫做这个函数的周期. 最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_ _,那么这个_就叫做f(x)的最小正周期.,非零常数T,定,义域,非零常数T,最小的正,数,最小正数,(2)正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质:,R,R,-1，1,-1，1,R,x|xR且x + k，kZ,(kZ),(kZ),2k-，,2k(kZ),2k，2k+,(kZ),(kZ),2k(kZ),+2k(kZ),(k，0)，,kZ,x=k，kZ,2.必备结论 教材提炼 记一记 对称与周期 正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 周期. 正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:数形结合法. (2)数学思想:函数与方程、数形结合. (3)记忆口诀:正(余)弦曲线,都是一条波浪线 波峰取得最大值,波谷处见最小值 波峰、波谷相连间,要么递增要么减 两条曲线很完美,中心对称轴对称,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)正弦函数y=sin x在其任一周期内都只有一个增区间,一个减区间.( ) (2)余弦函数y=cos x的对称轴是y轴.( ) (3)正切函数y=tan x在定义域内是增函数.( ) (4)若非零实数T是函数f(x)的周期,则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期.( ),【解析】(1)错误.如正弦函数y=sin x在0,2)上有两个增区间 0, 和 ,2)(2)错误余弦函数y=cos x的对称轴有无穷多 条，y轴只是其中的一条.(3)错误正切函数y=tan x在每一个区间 (k- ,k+ )(kZ)上都是增函数，但在定义域内不是单调函 数，故不是增函数.(4)正确.周期函数的周期不只一个，其某一周期 的非零整数倍全是其周期 答案：(1) (2) (3) (4),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(必修4P40T3(2)改编)函数f(x)=4-2cos x的最小值是_，取得最小值时，x的取值集合为_. 【解析】f(x)min=4-2=2,此时， x=2k(kZ),x=6k(kZ),所以x的取值集合为x|x=6k,kZ 答案：2 x|x=6k,kZ,(2)(必修4P44例6改编)函数y=tan( )的最小正周期是_,单调增区间是_. 【解析】 由 ,得 x ,即函数的增区间是 答案：,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2014陕西高考)函数f(x)=cos(2x+ )的最小正周期是( ) 【解析】选B.由 ,故B正确.,(2)(2014福建高考)将函数y=sin x的图象向左平移 个单位，得到函数y=f(x)的函数图象，则下列说法正确的是( ) A.y=f(x)是奇函数 B.y=f(x)的周期是 C.y=f(x)的图象关于直线x= 对称 D.y=f(x)的图象关于点(- ，0)对称,【解析】选D.将函数y=sin x的图象向左平移 个单位, 得到函数 y=sin(x+ )=cos x的图象该函数是偶函数，故A错；周期为2， 故B错；该函数图象的对称轴为x=k(kZ)，故C错；对称中心为 ( +k,0)(kZ)，故D正确,(3)(2015长春模拟)已知0,0，直线x= 和x= 是函数f(x)=sin(x)图象的两条相邻的对称轴，则=( ) 【解析】选A.由于直线x= 和x= 是函数f(x)=sin(x)图象的两条相邻的对称轴，所以函数f(x)的最小正周期T=2，所以=1，所以 =k (kZ).又0，所以=,考点1 三角函数的定义域及简单的三角不等式 【典例1】(1)函数f(x)=-2tan(2x+ )的定义域是( ) (2)不等式 +2cos x0的解集是_. (3)函数f(x)= +log2(2sin x-1)的定义域是_.,【解题提示】(1)利用正切函数的定义域求解. (2)利用余弦函数的图象求解. (3)由题意列不等式组求解.,【规范解答】(1)选D.由正切函数的定义域，得 即 (kZ)，故选D. (2)由 +2cos x0, 得cos x 由余弦函数的图象，得 在一个周期-,上，不等式cos x 的解集为x|- x 故原不等式的解集为 答案：,(3)由题意，得 由得-8x8,由得sin x ,由正弦曲线得 +2kx +2k(kZ). 所以不等式组的解集为 答案：,【易错警示】解答本例(3)有三点容易出错： (1)考虑问题不全面致错. (2)列错不等式2sin x-10,或解错不等式2sin x-10. (3)不知道辨析大小而取错交集，导致答案错误.,【互动探究】本例(2)改为求不等式 +2cos x0的解集，如何求？ 【解析】由 +2cos x0,得cos x 由余弦函数的图象得，其解集为,【规律方法】 1.三角函数定义域的求法 (1)应用正切函数y=tan x的定义域求函数y=Atan (x+)的定义域. (2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域. 2.简单三角不等式的解法 (1)利用三角函数线求解. (2)利用三角函数的图象求解.,【变式训练】(2015深圳模拟)函数 的定义域为_. 【解析】要使函数有意义，必须使sin x-cos x0. 利用图象.在同一坐标系中画出0,2上y=sin x和y=cos x的图象，如图所示.,在0,2内，满足sin x=cos x的x为 再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以定义域为 答案：,【加固训练】函数 的定义域是_. 【解析】由1-tan2x0得tan2x1,即-1tan x1,由正切函数的图象得不等式的解集为 答案：,考点2 三角函数的最值与值域 【典例2】(1)函数y=-2sin x-1,x )的值域是( ) A.-3,1 B.-2,1 C.(-3,1 D.(-2,1 (2)(2015成都模拟)函数y=cos2x-2sin x的最大值与最小值分别 为( ) A.3,-1 B.3,-2 C.2,-1 D.2,-2,【解题提示】(1)弄清角x的取值范围，结合正弦曲线求解. (2)换元转化为二次函数的最值. 【规范解答】(1)选D.由正弦曲线知y=sin x在 )上，-1 sin x ,所以函数y=-2sin x-1,x )的值域是(-2,1.,(2)选D.y=cos2x-2sin x=1-sin2x-2sin x =-sin2x-2sin x+1, 令t=sin x,则t-1,1, y=-t2-2t+1 =-(t+1)2+2, 所以ymax=2,ymin=-2.,【互动探究】本例(2)中，若x ，试求函数的值域. 【解析】因为y=cos2x-2sin x =-sin2x-2sin x+1. 令t=sin x,则t , y=-t2-2t+1 =-(t+1)2+2, 所以ymax= ,ymin= 故函数的值域是 .,【规律方法】三角函数最值或值域的三种求法 (1)直接法：利用sin x，cos x的值域. (2)化一法：化为y=Asin(x)k的形式，确定x的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域. (3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题.,【变式训练】1.(2015青岛模拟)函数y=2sin( )(0x9)的最大值与最小值之和为( ) 【解析】选A.利用三角函数的性质先求出函数的最值. 因为0x9，所以 所以 所以y- ，2，所以ymaxymin=2- .,2.函数y=-2cos( )+1的最大值是_,此时x的取值集合为_. 【解析】ymax=-2(-1)+1=3， 此时， =2k+,即x=4k+ (kZ). 答案：,【加固训练】1.函数y=sin x-cos xsin xcos x，x0，的最小值是_. 【解析】设sin x-cos x=t， 因为x0，所以 所以t-1， ，sin xcos x= 所以 当t=-1时，ymin=-1. 答案：-1,2.函数 的值域为_. 【解析】由 ，得 因为-1cos x1，所以-1 1，解得 因此，原函数的值域为 答案：,【一题多解】本题还可如下求解： 因为-1cos x1,所以12-cos x3. 即原函数的值域为 答案：,考点3 三角函数的性质 知考情 求三角函数的单调区间，或已知函数在某区间上单调求参数的取值范围，以及对三角函数奇偶性的考查是高考的重点，每年必考，常以选择题、填空题的形式出现.,明角度 命题角度1：三角函数的奇偶性与周期性 【典例3】(2015吉林模拟)函数 是( ) A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数 C.最小正周期为 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数 【解题提示】利用二倍角公式降幂化简再判断.,【规范解答】选A. 则函数为最小正周期为的奇函数.,命题角度2：三角函数的单调性 【典例4】(2015石家庄模拟)若f(x)=2sin x+1(0)在区间 上是增函数，则的取值范围是_. 【解题提示】根据 是相应增区间的子集构造不等式求解.,【规范解答】由 得f(x)的增区间是 因为f(x)在 上是增函数， 所以 所以 且 ，所以 答案：,【一题多解】解答本题，还有以下两种解法: 方法一：因为x ,0. 所以x , 又f(x)在区间 上是增函数， 所以 则 又0， 得0,方法二：因为f(x)在区间 上是增函数，故原点到 的距离不超过 ，即 得T ,即 ,又0， 得0 答案：(0, ,悟技法 1.奇偶性与周期性的判断方法 (1)奇偶性：由正、余弦函数的奇偶性可判断y=Asin x和 y=Acos x分别为奇函数和偶函数. (2)周期性：利用函数y=Asin(x+)，y=Acos(x+)(0)的周 期为 ,函数y=Atan(x+)(0)的周期为 求解.,2.求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解. (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间. 提醒：求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域.,3.已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法 (1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解. (2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解. (3)周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超 过 周期列不等式(组)求解.,通一类 1.(2015临沂模拟)已知函数f(x)=4sin( -2x),x-,0,则f(x)的单调递减区间是( ),【解析】选C.f(x)= 由 (kZ)，得 所以函数f(x)的减区间是 (kZ). 因为x-,0, 所以函数f(x)的减区间是,2.(2015福州模拟)函数f(x)=sin(x- )的图象的一条对称轴是( ) 【解析】选C.方法一：(图象特征) 因为正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点， 故令x- =k ，kZ，所以x=k ，kZ. 取k=-1，则,方法二：(验证法) x= 时，sin( - )=0，不合题意，排除A；x= 时， sin( - )= ，不合题意，排除B；x=- 时，sin(- - )=-1，符合题意，C项正确；而x=- 时，sin(- - )= 不合题意，故D项也不正确.,3.(2015银川模拟)已知函数f(x)=sin( )(xR),下面结论错误的是( ) A.函数f(x)的最小正周期为 B.函数f(x)是偶函数 C.函数f(x)的图象关于直线x= 对称 D.函数f(x)在区间0, 上是增函数,【解析】选C.f(x)=sin(2x+ )=-cos 2x,故其最小正周期为,故A 正确；易知函数f(x)是偶函数，B正确；由函数f(x)=-cos 2x的图象 可知，函数f(x)的图象不关于直线x= 对称，C错误；由函数f(x)的 图象易知，函数f(x)在0, 上是增函数，D正确.,4.(2015承德模拟)若函数f(x)=sin x(0)在0, 上单调递增，在区间 上单调递减，则=_. 【解析】方法一：由于函数f(x)=sin x(0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知， 为函数f(x)的 周期， 故 ,解得 方法二：由题意，得f(x)max=f( )=sin =1. 由已知并结合正弦函数图象可知， 解得 答案：,巧思妙解6 巧用诱导公式解决奇偶性问题 【典例】(2015合肥模拟)把函数f(x)=sin(2x+)(0)的图象向右平移 个单位，所得图象对应的函数是偶函数，则的值 为( ),【常规解法】选D.平移后，所得图象对应的函数是g(x)= sin2(x- )+=sin(2x+- ),由题意得，g(x)是偶函数，所以对xR,g(-x)=g(x)恒成立， 因此sin(-2x+- )=sin(2x+- ), 即-sin 2xcos(- )+cos 2xsin(- ) =sin 2xcos(- )+cos 2xsin(- )， 整理得sin 2xcos(- )=0.,因为xR,所以cos(- )=0.又因为0, 故- = .所以=,【巧妙解法】选D.平移后，所得图象对应的函数是g(x)= sin2(x- )+=sin(2x+- )， 由题意，g(x)是偶函数. 所以- = +k(kZ) 即= +k(kZ)， 因为0， 所以= .,【方法指导】 1.诱导公式的应用 (1)应用诱导公式把正弦化为余弦，如sin( +x)=cos x,sin( -x)=cos x,sin( +k+x)= (2)应用诱导公式把余弦化为正弦，如cos( +x)=-sin x, cos( -x)=sin x,cos( +k+x)=,2.正、余弦型函数奇偶性的判断技巧 函数y=sin(x+)，当=k+ 时是偶函数. 函数y=cos(x+),当=k+ 时是奇函数.,【类题试解】(2015昆明模拟)若函数f(x)=cos(2x+- ) (0)是奇函数，则=_. 【常规解法】因为f(x)为奇函数， 所以对xR,f(-x)=-f(x)恒成立， 因此cos(-2x+- )=-cos(2x+- ). 即cos 2xcos(- )sin 2xsin(- )= -cos 2x cos(- )+sin 2xsin(- ),整理得cos 2xcos(- )=0. 因为xR,所以cos(- )=0. 又因为0，故- = ，所以= 答案：,【巧妙解法】因为f(x)为奇函数, 所以- = +k,= +k,kZ. 又因为0,故= . 答案：,
展开阅读全文