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第三章 三角函数、解三角形 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)角的有关概念:,正角,负角,零角,象限角,+k360,+k2,(2)弧度的概念: 1弧度的角:长度等于_的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 角的弧度数公式:|=_. 角度与弧度的换算:360=_rad,1=_rad,1rad=(_) 5718.,半径长,2,(3)任意角的三角函数: 定义:设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin=_,cos=_,tan=_.,y,x,几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起 点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0). 如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角的_,_和_.,正弦线,余弦线,正切线,(4)终边相同的角的三角函数: sin(+k2)=_, cos(+k2)=_, tan(+k2)=_(其中kZ), 即终边相同的角的同一三角函数的值相等. (5)扇形的弧长与面积公式: 扇形的弧长l=_;扇形的面积S=_=_.,sin,cos,tan,r,2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)象限角与轴线角 象限角:,轴线角:,(2)任意角三角函数的定义 设P(x,y)是角终边上异于顶点的任一点,其到原点O的距离为r,则sin=_,cos=_,tan=_. 3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:数形结合法. (2)数学思想:分类讨论、数形结合. (3)记忆口诀:各象限角三角函数值符号的记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)顺时针旋转得到的角是正角.( ) (2)钝角是第二象限的角.( ) (3)若两个角的终边相同,则这两个角相等.( ) (4)1弧度的角就是长度为1的弧所对的圆心角.( ) (5)终边在y轴上的角的正切值不存在.( ),【解析】(1)错误.顺时针旋转得到的角是负角.(2)正确.钝角的范围 是( ,),显然是第二象限的角.(3)错误.角180的终边与角 -180的终边相同,显然它们不相同.(4)错误.1弧度的角是单位圆中 长度为1的弧所对的圆心角.(5)正确.终边在y轴上的角与单位圆的交 点坐标为(0,1),(0,-1).由三角函数的定义知,角的正切值不存在. 答案:(1) (2) (3) (4) (5),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(必修4P10T10改编)单位圆中,200的圆心角所对的弧长为( ) A.10 B.9 C. D. 【解析】选D.单位圆的半径r=1,200的弧度数是200 = ,由弧度数的定义得 ,所以l= .,(2)(必修4P15T6改编)若角满足tan0,sin0知,是一、三象限角,由sin0知,是三、四象限角,故是第三象限角.,3.真题小试感悟考题试一试 (1)(2015兰州模拟)下列各角与 终边相同的角是( ) 【解析】选D.与 终边相同的角可以写成 +k2,kZ， 当k=-1时，为,(2)(2015石家庄模拟)已知角的终边在直线y=-x上，且cos 0，则tan =( ) 【解析】选D.如图，由题意知，角的终边在第二 象限，在其上任取一点P(x,y)则y=-x，由三角函数 的定义得tan = =-1.,(3)(2014新课标全国卷)若tan0,则( ) A.sin0 B.cos0 C.sin20 D.cos20 【解析】选C.由tan0可得:k0.,考点1 象限角及终边相同的角 【典例1】(1)终边在直线y= x上,且在-2,2)内的角的集合为 . (2)如果是第三象限的角,试确定-,2的终边所在位置. 【解题提示】(1)数形结合,先写出0,2)内的角,再写出-2,0)内的角,最后写出集合. (2)由的范围写出-与2的范围,再由终边相同角的关系判断.,【规范解答】(1)如图，在坐标系中画出直线y= x， 可以发现它与x轴的夹角是 ，在0，2)内，终 边在直线y= x上的角有两个： ;在-2，0) 内满足条件的角有两个： 故满足条件的角构成的集合为 答案：,(2)由是第三象限的角得 所以 即 所以角-的终边在第二象限. 由+2k +2k(kZ)，得2+4k23+ 4k(kZ).所以角2的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴.,【易错警示】解答本题(2)有两点容易出错： (1)由的象限表达式得到-的不等式时，不能正确地运用不等式的性质化为终边相同的角的形式，导致判断出错. (2)由的象限表达式得到2的表达式后，容易漏掉y轴的非负半轴这一情况，导致不全而判断失误.,【互动探究】在本例题(2)的条件下，判断 的终边所在的位置. 【解析】因为+2k +2k(kZ), 所以 当k=3n(nZ)时， 当k=3n+1(nZ)时，,当k=3n+2(nZ)时， 所以 的终边在第一、三、四象限.,【规律方法】 1.终边在某直线上角的求法步骤 (1)数形结合,在平面直角坐标系中画出该直线. (2)按逆时针方向写出0,2)内的角. (3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合. (4)求并集化简集合.,2.确定k, (kN*)的终边位置的方法 先用终边相同角的形式表示出角的范围,再写出k或 的范围,然后根据k的可能取值讨论确定k或 的终边所在位置.,【变式训练】设角是第二象限的角，且 则角 属于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,【解析】选C.因为是第二象限角，所以90+k360180+k360(kZ), 45+k180 90+k180(kZ), 当k是偶数时， 是第一象限角; 当k是奇数时， 是第三象限角. 又由|cos |=-cos 得 是第三象限角.,【加固训练】1.(2015济南模拟)若=k360+,=m360-(k,mZ)，则角与的终边的位置关系是( ) A.重合 B.关于原点对称 C.关于x轴对称 D.关于y轴对称 【解析】选C.显然角与角的终边相同，角与角-的终边相同，而与-的终边关于x轴对称，故选C.,2.如图所示： 则终边在图中所示直线上的角的集合为_.,【解析】由题干图易知,在0360范围内,终边在直线y=-x上的角有两个,即135和315,因此,终边在直线y=-x上的角的集合为S=|=135+k360,kZ|=315+k360,kZ=|=135+n180,nZ. 答案:|=135+n180,nZ,考点2 弧度制及扇形面积公式的应用 【典例2】(1)时间经过8小时,钟表中时针转过的角的弧度数为_. (2)已知扇形的圆心角是,半径是r,弧长为l, 若=100,r=2,求扇形的面积; 若扇形的周长为20,求扇形面积的最大值,并求此时扇形圆心角的弧度数.,【解题提示】(1)明确时针旋转的方向是解题的关键. (2)先把角度数化成弧度数,再利用扇形的面积公式求解; 利用扇形的面积公式建立函数关系,利用函数的最值求解.,【规范解答】(1)时针是顺时针方向旋转的，所以经过8小时，时针转过的角度数为-360 =-240，其弧度数为 答案： (2)=100=100 所以l= 2= 故S扇= lr=,由题意，得l+2r=20,l=20-2r, 所以S扇= lr= (20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25, 所以，当r=5时,S扇最大=25，此时扇形圆心角的弧度数为,【规律方法】弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)明确弧度制下弧长公式l=r，扇形的面积公式是S= lr= (其中l是扇形的弧长，是扇形的圆心角). (2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.,【变式训练】(2015太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A.2 B.sin 2 C. D.2 sin 1 【解析】选C.如图:AOB=2弧度，过O点作OCAB于C，并延长OC交弧AB于D.则AOD=BOD=1弧度，且AC= AB=1， 在RtAOC中，AO= 即 从而弧AB的长为l=|r=,【加固训练】1.已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A1 B4 C1或4 D2或4 【解析】选C.设此扇形的半径为r，弧长为l， 则 解得 或 从而 或,2.已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10， (1)求弦AB所对的圆心角的大小. (2)求所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.,【解析】(1)在AOB中，AB=OA=OB=10， 所以AOB为等边三角形. 因此弦AB所对的圆心角 (2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得 l=r= 10= ,S扇形= rl= 又SAOB= OAOBsin = 所以弓形的面积S=S扇形-SAOB=,考点3 三角函数的定义及其应用 知考情 任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容.在高考中以选择题、填空题的形式出现,考查利用定义求三角函数值或已知角求点的坐标等问题.,明角度 命题角度1：利用三角函数的定义求三角函数值 【典例3】(2015广州模拟) 若角的终边经过点P( ，m)(m0)且sin = 则cos 的值为_. 【解题提示】由三角函数的定义及sin = 列方程求m，再求cos .,【规范解答】由题意得，r= ，所以 因为m0，所以 当m= 时， 点P的坐标为( )， 所以 当m=- 时， 点P的坐标为( )， 所以 答案：,命题角度2:利用三角函数的定义求点的坐标 【典例4】(2015临沂模拟)顶点在原点,始边在x轴的正半轴上的角,的终边与圆心在原点的单位圆交于A,B两点,若=30, =60,则弦AB的长为 . 【解题提示】根据三角函数的定义求A,B两点的坐标,由两点间的距离公式求解.,【规范解答】由三角函数的定义得A(cos 30,sin 30), B(cos 60,sin 60)，即 所以|AB|= 答案：,悟技法 三角函数定义的应用方法 (1)已知角终边上一点P的坐标,可求角的三角函数值.先求P到原点的距离,再用三角函数的定义求解. (2)已知角的某三角函数值,可求角终边上一点P的坐标中的参数值,可根据定义中的两个量列方程求参数值. (3)已知角的终边所在的直线方程或角的大小,根据三角函数的定义可求角终边上某特定点的坐标.,通一类 1.(2015青岛模拟)已知角的终边与单位圆的交点P(- ，y),则 sin tan =( ),【解析】选C.由|OP|2= 得 当y= 时，sin = ,tan = 此时，sin tan = 当y=- 时，sin =- ,tan = 此时，sin tan =,2.(2015铜川模拟)已知角的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角终边上的一点P到原点的距离为 ，若= ，则点P的坐标为( ) A.(1， ) B.( ，1) C.( ， ) D.(1，1),【解析】选D.设点P的坐标为(x,y)，则由三角函数的定义得 即 故点P的坐标为(1，1).,3.(2015合肥模拟)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos 2=( ) 【解析】选B. 由题意知，tan =2，即sin =2cos ，将其代入sin2+cos2=1中可得cos2= ，故cos 2=2cos2-1=,自我纠错8 利用定义求三角函数值 【典例】(2015杭州模拟)已知角的终边在直线3x+4y=0上，则5sin +5cos +4tan =_.,【解题过程】,【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗? 提示: 解题过程错在求r时开方没加绝对值,误以为t0而导致漏解.,【规避策略】 1.准确利用三角函数的定义 利用定义来求任意角的三角函数,关键是求出角的终边上点P的横、纵坐标及点P到原点的距离,再利用定义求解. 2.区分角的终边和角的终边所在的直线 角的终边是射线,若角的终边落在某条直线上,这时终边位置实际上有两个,对应的三角函数值有两组,应分别求解.,【自我矫正】因为角的终边在直线3x4y=0上， 所以在角的终边上任取一点P(4t，-3t)(t0)， 则 当t0时，r=5t，sin = cos = tan = 所以5sin 5cos 4tan =-3+4-3=-2; 当t0时，r=-5t，sin = cos =,tan = 所以5sin 5cos 4tan =3-4-3=-4. 综上，所求值为-2或-4. 答案：-2或-4,
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