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第三节 函数的奇偶性与周期性,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)函数的奇偶性:,f(-x)=f(x),y轴,f(-x)=-f(x),原点,(2)周期性: 周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定 义域内的任何值时,都有_,那么就称函数y=f(x)为周期 函数,称T为这个函数的周期. 最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_的 正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.,f(x+T)=f(x),最小,2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)函数奇偶性常用结论: 如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 在公共定义内有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.,(2)函数周期性常用结论: 对f(x)定义域内任一自变量的值x: 若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a0); 若f(x+a)= ,则T=2a(a0); 若f(x+a)= ,则T=2a(a0).,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:判断函数奇偶性的方法,应用函数奇偶性、周期性的方法. (2)数学思想:数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上是关于坐标原点对称的.( ) (2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.( ) (3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.( ) (4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.( ),【解析】(1)正确.根据函数奇偶性的定义,f(x),f(-x)必须同时有意 义,故具备奇偶性的函数首先其定义域关于坐标原点对称,但定义域 关于坐标原点对称的函数未必具有奇偶性. (2)错误.若函数f(x)在点x=0处没有定义,如f(x)= ,则f(0)不存在.,(3)正确.函数y=f(x+a)关于直线x=0对称,则函数y=f(x)关于直线x=a对称. (4)正确.函数y=f(x+b)关于点(0,0)中心对称,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称. 答案:(1) (2) (3) (4),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(必修1P39B组T3改编)若f(x)是偶函数且在(0,+)上为增函数,则函数f(x)在(-,0)上为 . 【解析】因为f(x)是偶函数,所以f(x)关于y轴对称,又因为f(x)在(0,+)上为增函数,结合图象可知,函数f(x)在(-,0)上为减函数. 答案:减函数,(2)(必修1P39A组T6改编)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x(0,+)时,f(x)=lg x,则满足f(x)0的x的取值范围是 . 【解析】如图所示, 由f(x)为奇函数知:f(x)0的x的取值范围为(-1,0)(1,+). 答案:(-1,0)(1,+),(3)(必修1P39A组T6改编)设f(x)是周期为2的奇函数,当0x1时, f(x)=2x(1-x),则 = . 【解析】依题意,得 答案:,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2014湖南高考)下列函数中,既是偶函数又在区间(-,0) 上单调递增的是( ) A.f(x)= B.f(x)=x2+1 C.f(x)=x3 D.f(x)=2-x,【解析】选A.,(2)(2015石家庄模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意xR都有f(x+4)=f(x)+f(2),则f(2014)等于( ) A.0 B.3 C.4 D.6,【解析】选A.因为f(x)是定义在R上的偶函数, 所以f(-2)=f(2). 所以f(-2+4)=f(2)=f(-2)+f(2)=2f(2), 所以f(2)=0. f(2014)=f(4503+2)=f(2)=0.,(3)(2014新课标全国卷)已知偶函数f(x)在0,+)上单调递减,f(2)=0,若f(x-1)0,则x的取值范围是 . 【解析】由题可知,当-20,f(x-1)的图象是由f(x)的图象向右平移一个单位得到的,若f(x-1)0,则-1x3. 答案:(-1,3),考点1 函数奇偶性的判断 【典例1】(1)(2014广东高考)下列函数为奇函数的是( ) (本题源于教材必修1P35例5) A.2x- B.x3sin x C.2cos x+1 D.x2+2x,(2)判断下列函数的奇偶性 f(x)=|x+1|-|x-1|； f(x)= f(x)= f(x)=(x-1) ，x(-1,1).,【解题提示】(1)奇函数满足函数关系式f(-x)=-f(x).当在原点处有定义时,f(0)=0. (2)先求出定义域,看定义域是否关于原点对称,在定义域内,解析式带绝对值号的先化简,计算f(-x),再判断f(-x)与f(x)之间的关系.,【规范解答】(1)选A.几个函数的定义域都关于原点对称,在原点处有 定义,故应满足f(0)=0,此时2cos x+1和x2+2x不符合题意;又2x- 满 足f(-x)=-f(x),但x3sin x满足f(-x)=f(x),所以只有f(x)=2x- 是 奇函数.,(2)函数的定义域x(-,+),关于原点对称. 因为f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x), 所以f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数. 由 得x=3. 所以f(x)的定义域为-3,3,关于原点对称. 又f(3)+f(-3)=0,f(3)-f(-3)=0. 即f(x)=f(-x). 所以f(x)既是奇函数,又是偶函数.,去掉绝对值符号,根据定义判断. 由 得 故f(x)的定义域为-1,0)(0,1,关于原点对称,且有x+20.从而有 f(x)= 这时有f(-x)= =-f(x), 故f(x)是奇函数.,已知f(x)的定义域为(-1,1), 其定义域关于原点对称. 因为f(x)= 所以f(-x)= =f(x). 即f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.,【易错警示】解答本题(2)有三点容易出错: (1)忽视函数的定义域. (2)对函数奇偶性概念把握不准. (3)存在既是奇函数,又是偶函数的情形,对不知如何判断.,【互动探究】本例(2)题中若将条件“x(-1,1)”去掉,函数的奇 偶性如何? 【解析】要使f(x)有意义,则 0,解得-1x1,显然f(x)的定 义域不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.,【规律方法】判断函数的奇偶性的两种重要方法 (1)定义法: (2)图象法:函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称.,【变式训练】下列函数: f(x)=x3-x; f(x)=ln(x+ ); f(x)= (a0且a1); f(x)= f(x)= 其中有 个奇函数.,【解析】f(x)=x3-x的定义域为R, 又f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x), 所以f(x)=x3-x是奇函数. 由x+ x+|x|0知f(x)=ln(x+ )的定义域为R, 又f(-x)= =-ln(x+ )=-f(x),所以f(x)为奇函数.,f(x)定义域为R,且f(-x)= =-f(x), 所以f(x)为奇函数. 由 0得-1x1, f(x)=lg 的定义域为(-1,1), 又f(-x)= 所以f(x)为奇函数.,函数f(x)的定义域为(-,0)(0,+),其关于原点对称,并且有当x0时,-x0, f(-x)=(-x)1-(-x)=-x(1+x)=f(x), 所以函数f(x)为偶函数.所以中共有4个奇函数. 答案:4,【加固训练】1.设Q为有理数集,函数f(x)= g(x)= ,则函数h(x)=f(x)g(x)( ) A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数也是偶函数 D.既不是偶函数也不是奇函数,【解析】选A.因为当xQ时,-xQ, 所以f(-x)=f(x)=1;当xRQ时,-xRQ, 所以f(-x)=f(x)=-1. 综上,对任意xR,都有f(-x)=f(x), 故函数f(x)为偶函数. 因为g(-x)= 所以函数g(x)为奇函数.,所以h(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)-g(x) =-f(x)g(x)=-h(x), 所以函数h(x)=f(x)g(x)是奇函数. 所以h(1)=f(1)g(1)= ,h(-1)=f(-1)g(-1)= 1 h(-1)h(1), 所以函数h(x)不是偶函数.,2.函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则( ) A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数,【解析】选D.f(x+1)是奇函数,则有f(-x+1)=-f(x+1); f(x-1)是奇函数,则有f(-x-1)=-f(x-1); 在式中用x+1代替x,则有f-(x+1)+1=-f(x+1)+1, 即f(-x)=-f(x+2); 在式中用x-1代替x,则有f-(x-1)-1=-f(x-1)-1, 即f(-x)=-f(x-2),则f(x-2)=f(x+2),可知周期为4, 则f(x-1)=f(x+3),f(-x-1)=f(-x+3). 由式:f(-x-1)=-f(x-1),可得f(-x+3)=-f(x+3), 所以f(x+3)是奇函数.,考点2 函数周期性及其应用 【典例2】(1)(2015南阳模拟)函数f(x)是周期为4的偶函数,当 x0,2时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)0在-1,3上的解集为( ) A.(1,3) B.(-1,1) C.(-1,0)(1,3) D.(-1,0)(0,1) (2)(2014四川高考)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x -1,1)时,f(x)= 则 = .,【解题提示】(1)根据函数的周期性、奇偶性及在x0,2上的解析 式画出函数的图象,结合函数图象求解. (2)利用周期得 再求值即得.,【规范解答】(1)选C.f(x)的图象如图. 当x-1,0)时,由xf(x)0得x(-1,0); 当x0,1)时,由xf(x)0得x. 当x1,3时,由xf(x)0得x(1,3). 故x(-1,0)(1,3).,(2)因为函数f(x)是定义在R上的周期为2的函数， 所以 答案：1,【规律方法】函数周期性的判定与应用 (1)判定:判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T0)便可证明函数是周期函数,且周期为T. (2)应用:根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(kZ且k0)也是函数的周期.,【变式训练】(2015南京模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,并 且f(x+2)= ,当2x3时,f(x)=x,则f(105.5)= . 【解析】由已知,可得f(x+4)=f(x+2)+2) 故函数的周期为4. 所以f(105.5)=f(427-2.5)=f(-2.5)=f(2.5).,因为2.52,3,由题意,得f(2.5)=2.5. 所以f(105.5)=2.5. 答案:2.5,【加固训练】1.若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)等于( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 【解析】选A.由f(x)是R上周期为5的奇函数知 f(3)=f(-2)=-f(2)=-2, f(4)=f(-1)=-f(1)=-1, 所以f(3)-f(4)=-1.,2.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3x-1时,f(x)= -(x+2)2;当-1x3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+f(2015)等 于( ) A.335 B.336 C.1678 D.2012,【解析】选B.因为f(x+6)=f(x),所以f(x)是以6为周期的函数. 因为当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2; 当-1x3时,f(x)=x, 所以f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1, f(6)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(6)=1, 所以f(1)+f(2)+f(6)=f(7)+f(8)+f(12)= =f(2005)+f(2006)+f(2010)=1, 所以f(1)+f(2)+f(2010)=1 =335. 而f(2011)+f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015) =f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=1+2-1+0-1=1. 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(2015)=335+1=336.,3.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)f(x)=1对于xR恒成立, 且f(x)0,则f(119)= . 【解析】因为f(x+2)= ,所以f(x+4)=f(x+2+2)= =f(x), 所以f(x)为周期函数,且周期为4, 又因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),所以f(119)=f(294+3)=f(3)=f(3-4)=f(-1)=f(1),又因为f(-1+2)= 所以f(1)f(-1)=1 即f2(1)=1,因为f(x)0, 所以f(1)=1,所以f(119)=1. 答案:1,考点3 函数奇偶性的应用 知考情 函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一起命制试题,其中奇偶性多与单调性相结合,而周期性常与抽象函数相结合,并以结合奇偶性求函数值为主.多以选择题、填空题形式出现.,明角度 命题角度1:已知函数的奇偶性求函数的值 【典例3】(2014湖南高考)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶 函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 【解题提示】由奇函数和偶函数的定义,把x=-1代入即可. 【规范解答】选C.把x=-1代入已知,得f(-1)-g(-1)=1, 所以f(1)+g(1)=1.,命题角度2:奇函数、偶函数图象对称性的应用 【典例4】(2015杭州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数 g(x),当x0时,f(x)=- ,当x0时,g(x)=2x,则f(x)和g(x)图象的公 共点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,【解题提示】根据奇函数、偶函数图象的对称性分别作出f(x)与g(x)的图象,数形结合求解. 【规范解答】选B.根据奇函数、偶函数图象的对称性分别作出f(x)与g(x)的图象如图所示, 由图象知公共点在第二象限.,命题角度3:已知函数的奇偶性,求参数 【典例5】(2014湖南高考)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a= . 【解题提示】利用偶函数的定义求解.,【规范解答】方法一:由偶函数的定义得f(-x)=f(x), 即ln(e-3x+1)-ax=ln(e3x+1)+ax,-3x=2ax, a= 方法二:因为函数f(x)为偶函数,所以f(1)=f(-1), 即ln(e3+1)+a=ln(e-3+1)-a, 即2a= =ln e-3=-3,所以a= 答案:,悟技法 函数奇偶性的问题类型及解题思路 (1)已知函数的奇偶性,求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值,常常利用待定系数法:利用f(x)f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程求解.,(3)应用奇偶性画图象和判断单调性:利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一对称区间上的单调性.,通一类 1.(2015福州模拟)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1) +g(1)=2,f(1)+g(-1)=4.则g(1)等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】选B.由已知条件变形得 解得g(1)=3.,2.(2015西安模拟)设f(x)= 是奇函数且在原点处有定义, 则使f(x)0的x的取值范围是( ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(-,0) D.(-,0)(1,+),【解析】选A.因为函数f(x)= 为奇函数,且在x=0处有定义, 故f(0)=0, 即lg(2+a)=0,所以a=-1. 故函数f(x)= 令f(x)0,得0 1,解得-1x0, 即x(-1,0).,3.(2015烟台模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意 的xR,都有f(x+2)=f(x).当0x1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函 数y=f(x)的图象在0,2内恰有两个不同的公共点,则实数a的值是 ( ) A.0 B.0或- C.- 或- D.0或-,【解析】选D.因为f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为2. 又0x1时,f(x)=x2,可画出函数y=f(x)在一个周期内的图象如图. 显然a=0时,y=x与y=f(x)在0,2内恰有两个不同的公共点.,另当直线y=x+a与y=x2(0x1)相切时也恰有两个不同公共点,由题 意知y=(x2)=2x=1,所以x= 所以A 又A点在y=x+a上,所以a= 综上可知a=0或,4.(2015邯郸模拟)若f(x)是奇函数,且在(0,+)内是增函数,又 有f(-3)=0,则xf(x)0的解集是 . 【解析】由题意可得,函数f(x)在(-,0)上是增函数,且f(-3)= -f(3)=0,函数的单调性示意图如图所示, 由不等式xf(x)0可得,x与f(x)的符号相 反,结合函数f(x)的图象可得,不等式的解 集为(-3,0)(0,3). 答案:(-3,0)(0,3),巧思妙解1 妙用奇偶性求函数解析式中的参数值 【典例】(2015金华模拟)若函数f(x)= 为奇函数, 则a=( ),【常规解法】选A.因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)， 因为f(x)= 所以 所以-(1-2a)=1-2a，所以1-2a=0，所以a=,【巧妙解法】选A.方法一:由已知f(x)为奇函数, 得f(-1)=-f(1)， 即 所以a+1=3(1-a)，解得a=,方法二：因为 f(x)的分子是奇函数， 所以要使f(x)为奇函数， 则它的分母必为偶函数， 所以1-2a=0，所以a= 方法三：因为 f(x)为奇函数，且 不在f(x)的定义域内， 故 也不在f(x)的定义域内， 所以 -a=0，所以a=,【方法指导】利用函数的奇偶性求参数的思路:利用函数的奇偶性的定义转化为f(-x)=f(x),建立方程,使问题得到解决,但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦,为了使解题更快,可采用特殊值法求解.,【类题试解】(2015烟台模拟)已知定义域为R的函数f(x)= 是奇函数,则a= ,b= .,【常规解法】因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x), 又f(x)= 所以 即 左、右对照得a=2,b=1. 答案:2 1,【巧妙解法】由f(0)=0,得b=1,再由f(-1)=-f(1),得 解得a=2. 答案:2 1,
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