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第十二节 定积分的概念与微积分基本定理、 定积分的简单应用,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)定积分的概念、几何意义与性质: 定积分的定义及相关概念: 一般地,如果函数f(x)在区间a,b上连续,用分点a=x0x1xi-1xixn=b,将区间a,b等分成n个小区间,在每个小区间xi-1,xi 上任取一点i(i=1,2,n),作和式 当n 时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间a,b 上的定积分,记作 .,在 中,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间_叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做_,_叫做被积式.,a,b,积分变量,f(x)dx,定积分的几何意义:,x=a,x=b,x=a,x=b,定积分的性质: () kf(x)dx=_(k为常数). () f1(x)f2(x)dx=_. ()_= (其中acb).,(2)微积分基本定理: 一般地,如果f(x)是区间a,b上的连续函数,并且F(x)=f(x),那么 =_,这个结论叫做微积分基本定理,又叫牛顿-莱布尼茨公式.,F(b)-F(a),(3)定积分的应用: 定积分与曲边梯形面积的关系:,设阴影部分的面积为S. ()S= f(x)dx. ()S=_. ()S=_. ()S= f(x)dx- g(x)dx= f(x)-g(x)dx. 定积分与变速直线运动的路程及变力做功间的关系: ()s=_.()W=_.,2.必备结论 教材提炼 记一记 设函数f(x)在闭区间-a,a上连续,则有 (1)若f(x)是偶函数,则 f(x)dx=2 f(x)dx. (2)若f(x)是奇函数,则 f(x)dx=0. 3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:利用定积分求曲边梯形面积的方法. (2)数学思想:数形结合、分类讨论.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)设函数y=f(x)在区间a,b上连续,则 f(x)dx= f(t)dt.( ) (2)定积分一定是曲边梯形的面积.( ) (3)若 f(x)dx0,那么由y=f(x),x=a,x=b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.( ),【解析】(1)正确.定积分与被积函数、积分上限和积分下限有关,与积分变量用什么字母表示无关. (2)错误.不一定是,要结合具体图形来定. (3)错误.也有可能是在x轴上方部分的面积小于在x轴下方部分的面积. 答案:(1) (2) (3),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(选修2-2P55B组T1(3)改编) 3xdx= . 【解析】 答案:,(2)(选修2-2P60A组T6改编)汽车以36km/h的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以等减速度a=2m/s2刹车,则从开始刹车到停车,汽车走的距离是 m.,【解析】先求从刹车开始到停车所用的时间:t=0时, v0=36km/h=10m/s, 刹车后,汽车减速行驶,速度为v(t)=v0-at=10-2t, 由v(t)=0可得:t=5s, 所以从刹车到停车,汽车所走过的路程为 v(t)dt= (10-2t)dt= (10t-t2) =25(m). 即汽车从开始刹车到停住,共走了25m. 答案:25,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2013江西高考)若s1= x2dx,s2= dx,s3= exdx,则s1,s2,s3的大小关系为( ) A.s13. 所以s2s1s3.,(2)(2014山东高考)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A.2 B.4 C.2 D.4 【解析】选D.由 得交点为（0,0）,（2,8）,（-2,-8）, 所以S= (4x-x3)dx=(2x2- x4) =4,故选D.,(3)(2015贵阳模拟)已知t1,若 (2x+1)dx=t2,则t= . 【解析】 (2x+1)dx=(x2+x) =t2+t-2, 从而得方程t2+t-2=t2,解得t=2. 答案:2,考点1 定积分的计算 【典例1】(1)(2014江西高考)若f(x)=x2+2 f(x)dx,则 f(x)dx=( ) (2)(2015石家庄模拟) ( )dx=_. 【解题提示】(1)利用方程思想求解. (2) dx利用定积分的几何意义求解.,【规范解答】(1)选B.设 则c= 解得c= (2) 因为 的几何意义是单位圆x2+y2=1(x0,y0)与坐标轴围成区域的面积，所以 又 则 答案：,【互动探究】若本例(1)条件变为“若 (a1)”，试求a的值. 【解析】由 所以 解得a=2.,【规律方法】计算定积分的步骤 (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差. (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分. (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数. (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值. (5)计算原始定积分的值. 提醒：根据定积分的几何意义可利用面积求定积分.,【变式训练】(2014湖北高考)若函数f(x)，g(x) 满足 =0，则称f(x)，g(x)为区间-1,1 上的一组正交函数，给出三组函数： f(x)=sin x,g(x)=cos x； f(x)=x+1,g(x)=x-1； f(x)=x,g(x)=x2, 其中为区间-1,1的正交函数的组数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3,【解析】选C.对于， 则f(x)，g(x)为区间-1,1上的正交函数； 对于， 则f(x)，g(x)不为区间-1,1上的正交函数； 对于， 则f(x)，g(x)为区间-1,1上的正交函数. 所以满足条件的正交函数有2组.,【加固训练】求下列定积分. (1) (2),【解析】(1)因为|3-2x|= 所以,(2) (3x3+4sin x)dx表示直线x=-5,x=5,y=0和曲线y=f(x)=3x3+ 4sin x所围成的曲边梯形面积的代数和,且在x轴上方的面积取正号,在x轴下方的面积取负号. 又f(-x)=3(-x)3+4sin(-x)=-(3x3+4sin x)=-f(x), 所以f(x)=3x3+4sin x在-5,5上是奇函数, 所以 (3x3+4sin x)dx=- (3x3+4sin x)dx, 所以 (3x3+4sin x)dx= (3x3+4sin x)dx+ (3x3+4sin x)dx=0.,考点 定积分在物理中的应用 【典例】(1)(2013湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+ (t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( ) A.1+25ln5 B.8+25ln C.4+25ln5 D.4+50ln2,(2)(2015郑州模拟)已知作用于某一质点的力F(x)= (单位：N)，则力F(x)从x=0处运动到x=2处(单位：m)所做的功为_. 【解题提示】(1)先求出行驶至停止时所用时间，然后利用定积分求出汽车行驶的距离. (2)分别在积分区间0,1和1,2求定积分.,【规范解答】(1)选C.7-3t+ =0，t=4或t=- 0,舍去. (2)根据题意，力F所做的功为 答案： J,【规律方法】定积分在物理中的两个应用 (1)求变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为v=v(t)，那么从时刻 t=a到t=b所经过的路程s= v(t)dt. (2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b时，力F(x)所做的功是W= F(x)dx.,【变式训练】物体A以v=3t2+1(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v=10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】选C.由题意知 即 解得t=5.,【加固训练】一质点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度v=t2-4t+3 (m/s)运动求： (1)在t=4 s的位置. (2)在t=4 s内运动的路程 【解析】(1)在时刻t=4时该质点的位置为 = (m), 即在t=4 s该质点距出发点 m.,(2)因为v(t)=t2-4t3=(t-1)(t-3)，所以在区间0,1及3,4上的v(t)0，在区间1,3上，v(t)0， 所以t=4 s时的路程为 s= = =4(m)， 即质点在4 s内运动的路程为4 m.,考点2 利用定积分计算平面图形的面积 知考情 利用定积分计算平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考向；常与解析几何、概率交汇命题，主要以选择题、填空题的形式出现，属中低档题.,明角度 命题角度1：求平面图形的面积或根据面积求参数 【典例2】(2015青岛模拟)由曲线xy=1，直线y=x,x=3所围成的封闭平面图形的面积为( ) A. B.4-ln 3 C.4+ln 3 D.2-ln 3 【解题提示】画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数.,【规范解答】选B.由曲线xy=1,直线y=x,x=3所围成的封闭的平面图形如图所示:,由 得 或 由 得 故阴影部分的面积为,命题角度2:与概率综合应用 【典例3】(2014福建高考)如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为 .,【解题提示】本题考查了互为反函数的两个函数在图象上的性质,利用对称性,将问题化为可利用定积分求解面积的问题.,【规范解答】y=ex和y=ln x互为反函数，不妨将样本空间缩小到左上方的三角形， 则 答案：,【易错警示】解答本题有两点容易出错 (1)不清楚两个阴影部分面积相等导致错解. (2)对积分上、下限确定错误.,悟技法 1.利用定积分求平面图形面积的步骤 (1)根据题意画出图形. (2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限. (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和. (4)计算定积分，写出答案. 2.根据平面图形的面积求参数的求解策略 先利用定积分求出平面图形的面积，再据条件构建方程(不等式)求解.,通一类 1.(2015莆田模拟)如图,由函数f(x)=ex-e的图象,直线x=2及x轴所围成的阴影部分面积等于( ) A.e2-2e-1 B.e2-2e C. D.e2-2e+1,【解析】选B.由已知得S=,2.(2015合肥模拟)由曲线f(x)= 与y轴及直线y=m(m0)围成的图形的面积为 ，则m的值为( ) A.2 B.3 C.1 D.8 【解析】选A.S= 解得m=2.,3.(2015北京模拟)如图,圆O:x2+y2=2内的正弦曲线y=sin x与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分),随机向圆O内投一个点A,则点A落在区域M内的概率是 .,【解析】阴影部分的面积为 圆的面积为 所以点A落在区域M内的概率是 答案：,自我纠错7 利用定积分求平面图形的面积 【典例】(2015太原模拟)如图，由两条曲线y=-x2,y= x2及直线y=-1所围成的平面图形的面积为_.,【解题过程】,【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:上述解题过程错在把平面图形的下边界搞错了,误认为y=-x2是平面图形的下边界而导致失误.,【规避策略】 1.当平面图形的上(下)边界是不同的函数的图象时,可在交点处作x轴的垂线,从而确定积分上下限,分段求面积. 2.被积函数实际上就是曲线所围图形的上边界的函数解析式减去下边界的函数解析式.,【自我矫正】由 得交点A(-1，-1)，B(1，-1) 由 得交点C(-2，-1)，D(2，-1) 所以所求面积 答案：,
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