资源描述
第九节 离散型随机变量的均值与方差,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)离散型随机变量X的分布列:,(2)离散型随机变量X的均值与方差:,x1p1+x2p2+xipi,+xnpn,平均水平,平均偏离程度,算术平方根,(3)均值与方差的性质: E(aX+b)=_(a,b为常数). D(aX+b)=_(a,b为常数). (4)两点分布的均值与方差: 若随机变量X服从两点分布,则E(X)=_,D(X)=_.,aE(X)+b,a2D(X),p(1-p),p,(5)二项分布的均值与方差: 若随机变量X服从参数为n,p的二项分布,即XB(n,p),则E(X)=_,D(X)=_.,np(1-p),np,2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)均值与方差的关系: D(X)=E(X2)-E2(X). (2)超几何分布的均值: 若X服从参数为N,M,n的超几何分布,则 E(X)=,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:待定系数法,比较法. (2)数学思想:方程思想,分类讨论思想.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)期望值就是算术平均数,与概率无关.( ) (2)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不确定.( ) (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.( ),(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.( ),【解析】(1)错误.期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均值,反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)正确.由于随机变量的取值是确定值,而每一个随机变量的概率也是确定的,因此随机变量的均值是定值,即为常数;而样本数据随着抽样的次数不同而不同,因此其平均值也不相同. (3)正确.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小;方差或标准差越大,则偏离均值的平均程度越大.,(4)错误.均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,均值反映了平均水平,而方差则反映它们与均值的偏离情况. 答案:(1) (2) (3) (4),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(选修2-3P64T2改编)已知离散型随机变量X的分布列为 则X的数学期望E(X)=( ) A. B.2 C. D.3 【解析】选A.E(X)=,(2)(选修2-3P68T1改编)已知X的分布列为 设Y=2X+3,则E(Y)的值为( ) A. B.4 C.-1 D.1 【解析】选A.E(X)= E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2013湖北高考)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的油漆面数为X,则X的均值E(X)=( ),【解析】选B.,(2)(2014浙江高考)随机变量的取值为0,1,2,若P(=0)= , E()=1,则D()= . 【解析】设=1时的概率为p,则E()=0 +1p+2(1-p- )=1, 解得p= ,故D()=(0-1)2 +(1-1)2 +(2-1)2 = . 答案:,(3)(2015广州模拟)设XB(n,p),若D(X)=4,E(X)=12,则n和p分别 为 . 【解析】因为XB(n,p),所以 解得p= ,n=18. 答案:18,考点1 离散型随机变量的均值与方差 【典例1】(1)(2014浙江高考)已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个蓝球(m3,n3),从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中. (a)放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为i(i=1,2);,(b)放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i=1,2).则 ( ) A.p1p2,E(1)E(2) C.p1p2,E(1)E(2) D.p1p2,E(1)E(2),(2)随机变量X的分布列为: 且E(X)=1.1,则D(X)= . 【解题提示】(1)根据概率和数学期望的有关知识,分别计算p1,p2和E(1),E(2),再比较大小. (2)可由分布列的性质求出n的值,再由期望值求出m值,最后求出方差值.,【规范解答】(1)选A. p2= p1p2= 故p1p2, E(1)= E(2)= 比较可知E(1)E(2)，故选A.,(2)由分布列的性质得 所以n .又E(X)0 1 m 1.1，解得m2.所以D(X)(01.1)2 (11.1)2 (21.1)2 0.49. 答案：0.49,【易错警示】解答本例题(1)易出现三点错误 (1)题设理解不清,对p1,p2的意义理解不透,造成结论错误. (2)比较p1,p2,E(1),E(2)大小时,出现运算错误. (3)忽略m,n取值造成结论错误.,【互动探究】若本例(2)条件不变,令Y=2X+1,试求E(Y),D(Y). 【解析】因为E(X)=1.1,Y=2X+1,所以E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1=21.1 +1=3.2;由例题可知:D(X)=0.49,所以D(Y)=D(2X+1)=22D(X)=1.96.,【规律方法】求离散型随机变量的均值与方差的步骤 (1)理解的意义,写出可能的全部值. (2)求取每个值的概率. (3)写出的分布列. (4)由均值的定义求E(). (5)由方差的定义求D().,均值与方差的性质的推导 若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则 (1)E(aX+b)=aE(X)+b. 证明:E(Y)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+(axi+b)pi+(axn+b)pn =a(x1p1+x2p2+xipi+xnpn)+b(p1+p2+pi+pn)=aE(X)+b.,(2)D(aX+b)=a2D(X). 证明:D(Y)=(ax1+b-aE(X)-b)2p1+(ax2+b-aE(X)-b)2p2+(axi+b-aE(X)-b)2pi+(axn+b-aE(X)-b)2pn=a2(x1-E(X)2p1+(x2-E(X)2p2+(xi-E(X)2pi+(xn-E(X)2pn=a2D(X).,【变式训练】已知随机变量的分布列为 若E()= ,则D()= .,【解析】由分布列性质，得xy0.5. 又E() ，得2x3y ，可得 D() 答案：,【加固训练】在一次电视节目的抢答中,题型为判断题,只有“对”和 “错”两种结果,其中某明星判断正确的概率为p,判断错误的概率为q, 若判断正确则加1分,判断错误则减1分,现记“该明星答完n题后总得 分为Sn”.(1)当p=q= 时,记=|S3|, 求的分布列及数学期望及方差. (2)当p= ,q= 时,求S8=2且Si0(i=1,2,3,4)的概率.,【解析】(1)因为|S3|的取值为1,3，又pq ；故P(1) 所以的分布列为： 且E()1 3 = ；D(),(2)当S82时，即答完8题后，回答正确的题数为5题，回答错误的题 数是3题，又已知Si0(i1,2,3,4)，若第一题和第二题回答正确， 则其余6题可任意答对3题；若第一题和第三题回答正确，第二题回答 错误，则后5题可任意答对3题此时的概率为P,考点2 与二项分布有关的均值与方差 【典例2】(1)某同学参加科普知识竞赛,需回答4个问题,每一道题能 否正确回答是相互独立的,且回答正确的概率是 ,若回答错误的题数 为,则E()= ,D()= . (2)罐中有6个红球,4个白球,从中任取1个球,记住颜色后再放回,连 续取4次,设为取得红球的次数,则E()= .,【解题提示】(1)可将问题看做是4次独立重复试验,服从二项分布. (2)本题同样可看做4次独立重复试验,服从二项分布. 【规范解答】(1)因为回答正确的概率是 ,所以回答错误的概率是 1- = ,故 所以E()=4 =1, D()=,(2)因为是有放回摸球,所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率为 ,连续摸4次(做4次试验),为取得红球(成功)的次数,则 所以E()=4 答案:(1)1 (2),【易错警示】解答本例(2)易忽视“放回”的题目特征,从而将随机变量的分布列看成普通分布而非二项分布,造成错误.,【规律方法】与二项分布有关的期望、方差的求法 (1)求随机变量的期望与方差时,可首先分析是否服从二项分布,如果B(n,p),则用公式E()=np,D()=np(1-p)求解,可大大减少计算量. (2)有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用E(a+b)=aE()+b以及E()=np求出E(a+b),同样还可求出D(a+b).,【变式训练】某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛,每场均决 出胜负,设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的,并且胜 场的概率是 . (1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率. (2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率. (3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的数学期望和方差.,【解析】(1)P 所以这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为 (2)6场胜3场的情况有 种， 所以P 所以这支篮球队在6场比赛中恰胜3场的概率为,(3)由于服从二项分布，即 所以E()6 2，D()6 (1- ) . 所以在6场比赛中这支篮球队胜场的数学期望为2，方差为 .,【加固训练】(2015杭州模拟)甲、乙两人参加某高校的自主招生考 试,若甲、乙能通过面试的概率都为 ,且甲、乙两人能否通过面试相 互独立,则面试结束后通过人数X的数学期望E(X)的值为 .,【解析】由题意可知,X服从二项分布 所以E(X)=2 = . 答案:,考点3 均值与方差的应用 知考情 利用离散型随机变量的期望与方差,对现实生活中的问题进行分析、作出决策是高考考查离散型随机变量分布列、期望与方差的一个重要考向,常与古典概型、二项分布、相互独立事件概率等知识综合,以解答题的形式出现.,明角度 命题角度1:现实生活中的决策问题 【典例3】(2014福建高考)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.,(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求 顾客所获的奖励额为60元的概率; 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.,(2)商场对奖励总额的预算是60000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.,【解题提示】(1)列分布表,再按公式求期望.(2)欲让每位顾客所获得的奖励相对平衡,则应求方差,方差小的为最佳方案.,【规范解答】(1)设顾客所获的奖励额为X. 依题意，得P(X=60)= 即顾客所获的奖励额为60元的概率为 . 依题意，得X的所有可能取值为20，60. P(X=60)= ,P(X=20)=,即X的分布列为 所以顾客所获得的奖励额的期望为E(X)=200.5+600.5=40(元).,(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找期望为60元的可能方案. 对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.,对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2. 以下是对两个方案的分析: 对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1,则X1的分布列为,X1的期望为E(X1)=20 +60 +100 =60. X1的方差为D(X1)=(20-60)2 +(60-60)2 +(100-60)2 = . 对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为X2,则X2的分 布列为,X2的期望为E(X2)=40 +60 +80 =60, X2的方差为D(X2)=(40-60)2 +(60-60)2 +(80-60)2 = . 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方 案1的小,所以应该选择方案2.,命题角度2:对实际问题的数学解释 【典例4】(2014四川高考)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都 需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游 戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现 三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设 每次击鼓出现音乐的概率为 ,且各次击鼓出现音乐相互独立.,(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列. (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? (3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.,【解题提示】本题主要考查随机事件的概率、古典概型、独立重复试验、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力,考查运算求解能力、应用意识和创新意识.,【规范解答】(1)X可能取值有-200，10，20，100.根据题意，有 P(X=-200)= P(X=10)= P(X=20)= P(X=100)=,所以X的分布列为,(2)由(1)知：每盘游戏出现音乐的概率是 则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是 P1= (3)由(1)知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是 E(X)=(-200) (分), 这表明，每盘游戏平均得分是负分，因此，多盘游戏之后分数减少的可能性更大.,悟技法 利用均值与方差解决实际问题的方法 (1)对实际问题进行具体分析,将实际问题转化为数学问题,并将问题中的随机变量设出来. (2)依据随机变量取每一个值时所表示的具体事件,求出其相应的概率. (3)依据期望与方差的定义、公式求出相应的期望与方差值. (4)依据期望与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释.,通一类 1.(2015赣州模拟)2014年巴西世界杯的周边商品有80%左右为“中国制造”,所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣.甲、乙两厂生产同一产品,为了解甲、乙两厂的产品质量,以确定这一产品最终的供货商,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件,测量产品中的微量元素x,y的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据:,(1)已知甲厂生产的产品共有98件,求乙厂生产的产品数量. (2)当产品中的微量元素x,y满足x175,且y75时,该产品为优等品.用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量. (3)从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值(即数学期望).,【解析】(1)乙厂生产的产品总数为5 =35. (2)样品中优等品的频率为 ，乙厂生产的优等品的数量为35 =14. (3)=0,1,2, P(=i)= (i=0,1,2), 的分布列为 均值E()=,2.(2013福建高考)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙 两种抽奖方案,方案甲的中奖率为 ,中奖可以获得2分;方案乙的中奖 率为 ,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机 会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分 为X,求X3的概率. (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他 们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?,【解析】方法一： (1)由已知得：小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人 中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X3”的事件为A，则A事 件的对立事件为“X=5”， 因为P(X=5)= 所以P(A)=1P(X=5)= 所以这两人的累计得分X3的概率为,(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)， 由已知： 所以E(X1)= E(X2)= 所以E(2X1)=2E(X1)= ，E(3X2)=3E(X2)= ， 因为E(2X1)E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大,方法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率 为 ，且两人中奖与否互不影响 记“这2人的累计得分X3”的事件为A，则事件A包含有“X0”“X 2”“X3”三个两两互斥的事件，因为P(X0) 所以P(A)P(X0) P(X2)P(X3) ，即这2人的累计得分X3的概率为 .,(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：,所以E(X1) E(X2) 因为E(X1)E(X2)， 所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大,自我纠错30 离散型随机变量的期望与方差的求解 【典例】根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如表:,历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求: (1)工期延误天数Y的均值与方差. (2)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.,【解题过程】,【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:解题过程中在以下方面出现错误:第(2)问中,在降水量X至少是300mm的条件下,这一条件说明是在延误工期的条件下,求工期延误不超过6天的概率,错解中没有在这条件下求概率.,【规避策略】(1)求某事件概率,首先理解题意,分清概率模型,恰当选择概率计算公式.本题是条件概率,应利用条件概率公式计算. (2)解决期望和方差问题时,认真计算、正确利用期望和方差公式、避免失误.,【自我矫正】(1)由已知和概率公式有:P(X300)=0.3, P(300X700)=P(X700)-P(X300)=0.7-0.3=0.4,P(700X900)=P(X900)-P(X700)=0.9-0.7=0.2,P(X900)=1-P(X900)=1-0.9=0.1. 所以Y的分布列为:,于是,E(Y)=00.3+20.4+60.2+100.1=3; D(Y)=(0-3)20.3+(2-3)20.4+(6-3)20.2+(10-3)20.1=9.8. 故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.,(2)由对立事件概率公式,得P(X300)=1-P(X300)=0.7,又P(300X900)=P(X900)-P(X300)=0.9-0.3=0.6. 由条件概率,得P(Y6|X300)=P(X900|X300) = 故在降水量X至少是300mm的条件下,工期延误不超过6天的概率是 .,
展开阅读全文