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第七节 离散型随机变量及其分布列,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)随机变量: 随着试验结果变化_的变量,常用字母X,Y,表示. (2)离散型随机变量: 所有取值可以_的随机变量.,而变化,一一列出,(3)离散型随机变量分布列的概念: 若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,xi,xn,X取每一个 值xi(i=1,2,n)的概率P(X=xi)=pi,则表 称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列,有时也用等式 _表示X的分布列.,P(X=xi)=pi,i=1,2,n,(4)离散型概率分布列的性质: _; =1. (5)两点分布列: 若随机变量X服从两点分布,即其分布列为 其中p= _称为成功概率.,pi0(i=1,2,n),1-p,P(X=1),(6)超几何分布: 在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件X=k 发生的概率为P(X=k)=_,k=0,1,2,m,其中m= _, 且nN,MN,n,M,NN*,如果随机变量X的分布列具有下表形式 则称随机变量X服从超几何分布.,minM,n,2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)两点分布与二项分布的关系: 两点分布实际上是n=1时的二项分布. (2)某指定范围的概率: 某指定范围的概率等于本范围内所有随机变量的概率和.,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:列表法,模型法. (2)数学思想:分类讨论思想.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)随机试验所有可能的结果是明确的,并且不止一个.( ) (2)离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出.( ) (3)离散型随机变量的分布列中pi0(i=1,2,n).( ) (4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.( ),【解析】(1)正确.根据随机试验的条件可知正确. (2)错误.离散型随机变量的所有取值可以一一列出. (3)错误.离散型随机变量的分布列中pi0(i=1,2,3,n). (4)正确.由离散型随机变量的分布列的性质可知该命题正确. 答案:(1) (2) (3) (4),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(选修2-3P45T1改编)抛掷甲、乙两颗骰子,所得点数之和为X,那么X=4表示的事件是( ) A.一颗是3点,一颗是1点 B.两颗都是2点 C.甲是3点,乙是1点或甲是1点,乙是3点或两颗都是2点 D.以上答案都不对,【解析】选C.甲是3点,乙是1点与甲是1点,乙是3点是试验的两个不同结果,故应选C.,(2)(选修2-3P49T4改编)设随机变量X的分布列如下: 则p为( ) 【解析】选C.由 得p= .,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2015郑州模拟)已知随机变量X的分布列为P(X=i)= (i=1,2, 3,4),则P(2X4)等于( ),【解析】选B.由分布列的性质得 =1,则a=5. 所以,P(2X4)=P(X=3)+P(X=4)=,(2)(2015太原模拟)某射手射击所得环数X的分布列为 则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( ) A.0.28 B.0.88 C.0.79 D.0.51 【解析】选C.P(X7)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) =0.28+0.29+0.22=0.79.,(3)(2014江西高考)10件产品中有7件正品,3件次品,从中任取4件, 则恰好取到1件次品的概率是 . 【解析】从10件产品中取4件所包含的所有结果为 种,恰好取到1件 次品所包含的结果有 种,故所求概率为 计算得 . 答案:,(4)(2014长沙模拟)某商店试销某种商品20天,获得如下数据: 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存量少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率. 求当天商店不进货的概率. 记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列.,【解析】P(当天商店不进货)=P(当天商品销售量为0件)+P(当天商 品销售量为1件)= 由题意知,X的可能取值为2,3. P(X=2)=P(当天商品销售量为1件)= P(X=3)=P(当天商品销售量为0件)+P(当天商品销售量为2件)+P(当天 商品销售量为3件)= 所以X的分布列为,考点1 离散型随机变量分布列的性质 【典例1】(1)(2015岳阳模拟)设X是一个离散型随机变量,其分布列为: 则q等于( ),(2)设离散型随机变量X的分布列为 求|X-1|的分布列. 【解题提示】(1)可利用离散型随机变量分布列的性质得出关于q的不等式组.(2)可利用离散型随机变量分布列的性质求出m的值,再求出|X-1|的分布列.,【规范解答】(1)选C.由分布列的性质知 所以q=1- . (2)由分布列的性质,知0.2+0.1+0.1+0.3+m=1, 所以m=0.3. 列表,所以P(=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3. P(=0)=P(X=1)=0.1,P(=2)=0.3,P(=3)=0.3. 因此=|X-1|的分布列为:,【易错警示】解答本例(1)有两点容易出错: (1)易忽略1-2q0,q20这两个条件,从而结果出错. (2)解方程 +1-2q+q2=1时计算错误.,【互动探究】本题(2)中条件不变,求P(12X+19). 【解析】P(12X+19)=P(2X+1=3)+P(2X+1=5)+P(2X+1=7) =0.1+0.1+0.3=0.5.,【规律方法】分布列的两条重要性质应用 (1)检查分布列的正确性. (2)求参数值.,【变式训练】1.(2015广州模拟)已知离散型随机变量X的分布列为: 则k的值为( ) A. B.1 C.2 D.3 【解析】选B.由 =1,解得k=1.,2.随机变量X的分布列如下: 其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)= .,【解析】由题意知 则2b=1-b,则b= ,a+c= , 所以P(|X|=1)=P(X=-1)+P(X=1)=a+c= . 答案:,【加固训练】设随机变量的分布列为P(=k)= ,k=1,2,3,则 a的值为( ),【解析】选D.因为随机变量的分布列为P(=k)= (k=1,2,3), 所以根据分布列的性质有 所以 所以a= .,考点2 超几何分布 【典例2】(2014天津高考改编)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率. (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列.,【解题提示】(1)由于每位学生被选到的机会均等,且所有选法是一定的,因此所求概率符合古典概型.(2)该问题符合超几何分布的定义,为超几何分布.,【规范解答】(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件 A,则P(A)= 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为 .,(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3. P(X=k)= (k=0,1,2,3), 所以随机变量X的分布列是,【规律方法】 1.超几何分布的两个特点 (1)超几何分布是不放回抽样问题. (2)随机变量为抽到的某类个体的个数. 2.超几何分布的应用条件 (1)两类不同的物品(或人、事). (2)从中抽取若干个.,【变式训练】(2015张掖模拟)袋中装有编号为1的球5个,编号为2的球3个,这些球的大小完全一样. (1)从中任意取出四个,求剩下的四个球都是1号球的概率. (2)从中任意取出三个,记为这三个球的编号之和,求随机变量的分布列.,【解析】(1)记“任意取出四个,剩下的四个球都是1号球”为事件A, 则P(A)= (2)的可能取值为3,4,5,6,则P(=3)= P(=4)= P(=5)= P(=6)= 概率分布列如下:,【加固训练】带活动门的小盒子里有来自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂,现随机地放出5只做实验,X表示放出的蜂中工蜂的只数,则X=2时的概率是( ) 【解析】选B.依题意可知:X服从超几何分布,P(X=2)=,考点3 与离散型随机变量的概率分布列有关的问题 知考情 求离散型随机变量的概率分布列,是高考考查的一个重要考向,常由古典概型求离散型随机变量的分布列,或借助互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率,有时会根据统计数表求离散型随机变量的分布列,它们经常是以解答题的形式出现.,明角度 命题角度1:求离散型随机变量的分布列 【典例3】(2013天津高考改编)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同). (1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率. (2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列.,【解题提示】(1)根据组合数原理求出符合条件的取法及总取法,再求 概率. (2)根据随机变量X所有可能取值列出分布列. 【规范解答】(1)设“取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片”为事件 A,则P(A)= 所以,取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为 .,(2)由题意随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4. 所以随机变量X的分布列是,命题角度2:与古典概型有关的分布列问题 【典例4】(2014重庆高考)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片. (1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率. (2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望(注:若三个数a,b,c满足abc,则称b为这三个数的中位数).,【解题提示】利用古典概型的概率公式求解概率以及分布列和数学期望. 【规范解答】(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为 P=,(2)X的所有可能值为1,2,3,且P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= 故X的分布列为 从而E(X)=,悟技法 求随机变量的分布列的三个步骤 (1)找:理解并确定=xi的意义,找出随机变量的所有可能的取值xi(i=1,2,n). (2)求:借助概率的有关知识求出随机变量取每一个值的概率P(=xi)=pi(i=1,2,n).注意应用计数原理、古典概型等知识. (3)列:列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质.,通一类 1.(2015青岛模拟)已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出此3球所得分数之和,求X的分布列.,【解析】由题意得X取3,4,5,6, 且 所以X的分布列为,2.(2015聊城模拟)某校校庆,各届校友纷至沓来,某班共来了n位校 友(n8且nN*),其中女校友6位,组委会对这n位校友登记制作了一份 校友名单,现随机从中选出2位校友代表,若选出的2位校友是一男一女, 则称为“最佳组合”. (1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于 ,求n的 最大值. (2)当n=12时,设选出的2位校友代表中女校友人数为X,求X的分布列.,【解析】(1)由题意可知,所选2人为“最佳组合”的概率为= 则 化简得n2-25n+1440,解得9n16,故n的最大值为16. (2)由题意得,X的可能取值为0,1,2, 则 X的分布列为,3.(2015张掖模拟)某市公租房的房源位于A,B,C三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的,求该市的任意4位申请人中: (1)恰有2人申请A片区房源的概率. (2)申请的房源所在片区的个数的分布列.,【解析】(1)所有可能的申请方式有34种,恰有2人申请A片区房源的申 请方式有 22种,从而恰有2人申请A片区房源的概率为 (2)的所有取值为1,2,3,P(=1)= 所以的分布列为,自我纠错29 求随机变量的分布列 【典例】已知随机变量X的分布列为: 则随机变量1= X的分布列为 ( ),【解题过程】,【错解分析】分析以上解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:上述解题错在误认为1= X对应取值的概率也为原来的 ,而 误选A.,【规避策略】 1.准确理解随机变量的表达式的意义,这就要求不能把随机变量表达式和概率的表达式混为一谈. 2.掌握随机变量组合的随机变量的分布列的求法,会用分布列来计算这类事件的概率,要求准确理解和应用.,【自我矫正】选C.由于1= X对于不同的X取值-2,-1,0,1,2,可得到 1的不同取值-1,- ,0, ,1,相应的概率不变.所以1= X的分布 列为:,
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