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,教材同步复习,第一部分,第五章 四边形,知识要点 归纳,第22讲 矩形、菱形、正方形,知识点一 矩形的性质及判定,直角,【注意】 由矩形的性质可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,相等且互相平分,中心,轴,2,直角,三个角,相等,知识点二 菱形的性质及判定,相等,互相垂直且平分,一组对角,中心,轴,2条对称轴,相等,相等,互相垂直,知识点三 正方形的性质及判定,相等,直角,相等,一组对角,中心,轴,4,直角,相等,相等,直角,相等且互相垂直,相等且互相垂直平分,知识点四 平行四边形、矩形、菱形、正方形四者之间的关系,例1 如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DEAB于点E，点F在边CD上，DFBE，连接AF，BF. (1)求证：四边形BFDE是矩形；,重难点 突破,重难点1 矩形的相关证明与计算 重点,【解答】 四边形ABCD是平行四边形， ABDC DFBE，四边形BFDE是平行四边形 DEAB，DEB90， 四边形BFDE是矩形,(2)若AF平分DAB，CF3，BF4，求DF长 【解答】 四边形BFDE是矩形，BFD90，BFC90. 在RtBCF中，CF3，BF4，BC5. AF平分DAB，DAFBAF. ABDC，DFABAF， DAFDFA，ADDF. ADBC，DFBC5.,解题技巧,根据矩形对角线相等且互相平分，可借助对角线的关系得到全等三角形； 矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，在矩形性质的相关计算和证明中要注意这个结论的运用，建立能够得到线段或角度的等量关系 (3)矩形中的折叠问题 折叠的性质：a.位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称图形；b.满足折叠性质即折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段、周长、面积等均相等；c.折叠之后，对应点的连线被折痕垂直平分 找出隐含的折叠前后的位置关系和数量关系 一般运用三角形全等、勾股定理、相似三角形等知识及方程思想，设出恰当的未知数，列方程来求线段长,(1)证明：CDAB于点D，BEAB于点B， CDADBE90，CDBE. 又BECD，四边形CDBE为平行四边形 又DBE90，四边形CDBE为矩形,例2 如图，在ABC中，ACB90，O，D分别是边AC，AB的中点，过点C作CEAB交DO的延长线于点E，连接AE. (1)求证：四边形AECD是菱形；,重难点2 菱形的相关证明与计算 重点,(1)菱形判定的一般思路：首先判定其是平行四边形，然后根据平行四边形的邻边相等来判定其是菱形，这是判定菱形最基本的思路，同时也可以考虑其他判定方法，如四条边相等或对角线互相垂直平分； (2)与菱形有关的计算常涉及下面几种： 求长度(线段长或者周长)时，应注意使用等腰三角形的性质；若菱形中存在一个顶角为60，则菱形被连接另外两点的对角线所割的两个三角形为等边三角形，故在计算时，可借助等边三角形的性质，同时也应注意使用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含特殊角的直角三角形等进行计算；求面积时，可利用菱形的两条对角线互相垂直，面积等于对角线之积的一半进行计算,解题技巧,2如图，在ABCD中，AEBC，AFCD，垂足分别为E，F，且BEDF. (1)求证：ABCD是菱形； (2)若AB5，AC6，求ABCD的面积,例3 如图，ABC中，ABC90，BD是ABC的平分线，DEAB于点E，DFBC于点F. (1)求证：四边形DEBF是正方形； 【解答】 DEAB，DFBC，DEBDFB90. 又ABC90，四边形DEBF为矩形 BD是ABC的平分线，且DEAB，DFBC， DEDF，矩形DEBF为正方形,重难点3 正方形的相关证明与计算 重点,(2)若DF1，AE2，求ABD的面积,(1)正方形判定的一般思路 若四边形是平行四边形，则需要证一个角是直角和一组邻边相等； 若四边形是矩形，则需要证一组邻边相等或者对角线互相垂直； 若四边形是菱形，则需要证一个内角是直角或者对角线相等； 若已知一个四边形，要先证明其为平行四边形，再证明其为正方形；也可以直接证明其既是矩形又是菱形,解题技巧,3(2018宁夏)已知点E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE，过点C作CNBE，垂足为M，交AB于点N. (1)求证：ABEBCN； (2)若N为AB的中点，求tanABE.,
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