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阶段专题复习 第 19 章,请写出框图中数字处的内容： _；_；_；_.,直角,相等,相等,直角,考点 1 矩形的性质与判定 【知识点睛】 矩形的性质与判定方法 1.性质应用： (1)证明线段的平行、相等或倍分关系. (2)证明角相等或求角的度数. (3)解决与全等或相似有关的问题.,2.常用的判定方法：,【例1】如图，平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD边上且AE=CG，AH=CF. (1)求证：四边形EFGH是平行四边形. (2)如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形.,【思路点拨】(1)易证得AEHCGF，BEFDGH，从而证得EH=GF，GH=EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得证. (2)由题意，易证得EHG=90，又由(1)知四边形EFGH是平行四边形，故四边形EFGH是矩形.,【自主解答】(1)在平行四边形ABCD中，A=C， 又AE=CG，AH=CF， AEHCGF.EH=GF. 在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC， AB-AE=CD-CG，AD-AH=BC-CF， 即BE=DG，DH=BF. 又在平行四边形ABCD中，B=D， BEFDGH.GH=EF. 四边形EFGH是平行四边形.,(2)在平行四边形ABCD中，ABCD，AB=CD 设A=，则D=180- AE=AH，AHE=AEH= AD=AB=CD，AH=AE=CG， AD-AH=CD-CG，即DH=DG DHG=DGH= EHG=180-DHG-AHE=90 又四边形EFGH是平行四边形， 四边形EFGH是矩形,【中考集训】 1.(2012南通中考)如图，矩形ABCD的对角线AC8 cm，AOD120，则AB的长为( ) A. cm B.2 cm C. cm D.4 cm 【解析】选D四边形ABCD为矩形，OAOBOCOD. AOD120，AOB60，AOB是等边三角形，AB AC4 cm,2.(2012自贡中考)如图，矩形ABCD中，E为CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，连结BD，DF，则图中全等的直角三角形共有( ) A.3对 B.4对 C.5对 D.6对,【解析】选B.由矩形的性质可知，对角线分得的两个直角三角形全等，又因为E是CD中点，故DE=CE，且AED=FEC，ADE=FCE=90，故ADEFCE，从而AD=CF，因此BDCFDC，进而ADBCFD，所以全等的直角三角形共有4对.,3.(2012盐城中考)如图，在四边形ABCD中，已知ABDC，AB=DC，在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形为矩形，只需加上的一个条件是 (填上你认为正确的一个答案即可).,【解析】ABDC，AB=DC，四边形ABCD是平行四边形，而“有一个角是直角”的平行四边形是矩形，故可填的条件是：四边形ABCD内有一个直角. 答案：A=90(答案不唯一),4.(2012肇庆中考)如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC， BD相交于点O，BEAC交DC的延长线于点E. (1)求证：BD=BE. (2)若DBC=30，BO=4，求四边形ABED的面积.,【解析】(1)四边形ABCD是矩形， AC=BD，ABCD. 又BEAC，四边形ABEC是平行四边形. BE=AC，BD=BE. (2)在矩形ABCD中，BO=4，BD=2BO=24=8. DBC=30，CD= BD= 8=4， AB=CD=4，DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8， 在RtBCD中，BC= 四边形ABED的面积= (4+8),考点 2 菱形的性质与判定 【知识点睛】 菱形的常用判定方法,【例2】(2012娄底中考)如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，P，Q分别是BM，DN的中点. (1)求证：MBANDC. (2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由.,【思路点拨】(1)先由矩形性质确定A=C，AB=DC，再说明AM=NC，从而证明MBANDC. (2)先证明四边形MPNQ是平行四边形，再由PN=MP，可得四边形MPNQ是菱形.,【自主解答】(1)四边形ABCD是矩形， A=C=90，AB=DC，AD=BC， M，N分别是AD，BC的中点， AM=NC， MBANDC. (2)四边形MPNQ是菱形. 理由：MBANDC， MB=DN，ABM=CDN，,P，Q分别是BM，DN的中点. PM=NQ， ABM+CBM=90，CDN+CND=90， CBM=CND， PMNQ， 四边形MPNQ是平行四边形. 连结MN，由题意可得四边形AMNB是矩形，PN为直角三角形斜边上的中线，故PN=MP， 四边形MPNQ是菱形.,【中考集训】 1.(2012成都中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( ) A.ABDC B.AC=BD C.ACBD D.OA=OC,【解析】选B.菱形的对边平行且相等，所以ABDC；菱形的对角线一定垂直，所以ACBD；菱形的对角线互相平分，所以OA=OC；菱形的对角线不一定相等.,2.(2012厦门中考)如图，在菱形ABCD中，AC，BD是对角线，若BAC=50，则ABC等于( ) A.40 B.50 C.80 D.100,【解析】选C四边形ABCD是菱形， BAC= BAD，CBAD， BAC=50， BAD=100， CBAD， ABC+BAD=180， ABC=180-100=80,3.(2012大连中考)如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的周长是( ) A.20 B.24 C.28 D.40 【解析】选A菱形对角线互相垂直平分，设O为AC，BD交点，BO=OD=3，AO=OC=4， AB= =5，故菱形的周长为20,4.(2012温州中考)如图，ABC中，B=90，AB=6cm，BC=8cm.将ABC沿射线BC方向平移10cm，得到DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连结AD. 求证：四边形ACFD是菱形.,【证明】方法一：B=90，AB=6cm，BC=8cm， AC=10cm. 由平移变换的性质，得 CF=AD=10cm，DF=AC， AD=CF=AC=DF， 四边形ACFD是菱形.,方法二：由平移变换的性质， 得ADCF，AD=CF=10cm， 四边形ACFD是平行四边形. B=90，AB=6cm，BC=8cm， AC=10cm. AD=AC， ACFD是菱形.,【归纳整合】菱形的判定思路 (1)分析条件判定四边形是一个平行四边形. (2)从边或对角线的关系判定平行四边形是一个菱形，这是一般的规律和方法.利用定义证明是最常用的办法.,5.(2012济宁中考)如图，AD是ABC的角平分线，过点D作DEAB，DFAC，分别交AC，AB于点E和F. (1)在图中画出线段DE和DF. (2)连结EF，则线段AD和EF互相垂直平分，这是为什么？,【解析】(1)如图所示：,(2)DEAB，DFAC， 四边形AEDF是平行四边形. AD是ABC的角平分线， FAD=EAD. ABDE， FAD=EDA， EAD=EDA，EA=ED， 平行四边形AEDF是菱形， AD与EF互相垂直平分.,【例3】(2012呼伦贝尔中考)如图，在ABC中，点D是边BC的中点，DEAC，DFAB，垂足分别是E，F，且BF=CE. (1)求证：DE=DF. (2)当A=90时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，并证明你的结论.,【思路点拨】(1)DEAC，DFABBFD=CED=90RtBDFRtCDEDE=DF. (2)A=90四边形AFDE是矩形 DF=DE 结论.,【自主解答】(1)DEAC，DFAB， BFD=CED=90， 在RtBDF和RtCDE中， BD=CD，BF=CE， RtBDFRtCDE， DE=DF.,(2)四边形AFDE是正方形 证明：A=90，DEAC，DFAB， 四边形AFDE是矩形， 又RtBDFRtCDE，DF=DE， 四边形AFDE是正方形,【中考集训】 1.(2012沈阳中考)如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有( ) A.4个 B.6个 C.8个 D.10个,【解析】选C.四边形ABCD是正方形， AB=BC=CD=AD，AO=OD=OC=OB， ABC，BCD，ADC，ABD，AOB，BOC，COD，AOD都是等腰三角形，一共8个.,2.(2012天津中考)如图，在边长为2的正方 形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E， 使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边 CD上，则DG的长为( ),【解析】选D.四边形ABCD是正方形， DCDA2， M为边AD的中点， DM1，ME=MC= DG=DE= -1.,3.(2013青岛中考)已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点. (1)求证：ABMDCM. (2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论. (3)当ADAB= 时，四边形MENF是正方形(只写结论，不需证明).,【解析】(1)在矩形ABCD中，AB=CD，A=D=90， 又M是AD的中点，AM=DM， ABMDCM. (2)四边形MENF是菱形. 证明：E，F，N分别是BM，CM，CB的中点， NFME，NF=ME，四边形MENF是平行四边形， 由(1)得BM=CM，ME=MF， 平行四边形MENF是菱形.即四边形MENF是菱形. (3)21.,4.(2013鞍山中考)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE. (1)求证：CE=CF. (2)若点G在AD上，且GCE=45，则GE=BE+GD成立吗？为什么？,【解析】(1)BC=CD，B=CDF，BE=DF， CBECDF. CE=CF. (2)GE=BE+GD成立. 理由是：由(1)得：CBECDF， BCE=DCF， BCE+ECD=DCF+ECD， 即BCD=ECF=90，,又GCE=45， GCF=GCE=45. CE=CF，GCE=GCF，GC=GC， ECGFCG.GE=GF. GE=GF=DF+GD=BE+GD.,
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