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21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系,一、情景导入,初步认识,问题 请完成下列表格,并找出规律。,-1,3,2,-3,2,3,6,5,-1,1,-2,-1,1,二、思考探究,获取新知,运用你发现的规律填空:,4,-7,-3,-5,(1)已知方程x-4x-7=0的根为x1,x2,则 x1+x2= ,x1.x2=,(2)已知方程x+3x-5=0的两根为x1,x2,则x1+x2= ,x1.x2=,思 考 1,(1)如果方程x+mx+n=0的两根为x1,x2,你能说说x1+x2和x1.x2的值吗?,(2)如果方程ax+bx+c=0的两根为x1,x2,你知道x1+x2和x1.x2与方程系数之间的关系吗?说说你的理由。,归 纳 总 结,根与系数的关系(韦达定理):,若一元二次方程ax+bx+c(a0)有两实数根x1,x2,则 .这表明两根之和为一次项系数与二次项系数的比的相反数,两根之积等于常数项与二次项系数的比。,思 考 2,在运用根与系数的关系解决具体问题时,是否需要考虑根的判别式=b-4ac0呢?为什么?,用根与系数关系解题的前提条件是0,否则方程就没有实数根,自然不存在x1,x2。,三、典例精析,掌握新知,例1 根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程两个根x1,x2的和与积。,解:x1+x2=-(-6)=6 x1x2=-15,(1)x-6x-15=0,(2)3x+7x-9=0,(3)5x-1=4x,解:x1+x2= x1x2=,解:方程化为4x-5x+1=0 x1+x2= x1x2=,例2 已知方程x-x+c=0的一根为3,求方程的另一个根及c的值。,解:设方程另一根为x1, 则x1+3=1,x1=-2, 又x1.3=-23=c, c=-6。,例3 已知方程x-5x-7=0的两根分别为x1,x2,求下列式子的值: (1)x1+x2; (2) 。,解:方程x-5x-7=0的两根为x1,x2 x1+x2=5,x1.x2=-7,(1) x1+x2=(x1+x2)-2x1.x2 =5-2(-7)=39,例4 已知x1,x2是方程x-6x+k=0两个实数根,且x1.x2-x1-x2=115 (1)求k的取值;(2)求x1+x2-8的值。,解(1)由题意有x1+x2=6,x1.x2=k x1.x2-x1-x2=(x1.x2)-(x1+x2) =k-6=115 k=11或k=-11 又方程x-6x+k=0有实数解 =(-6)-4k0,k9 k=11不合题意舍去,故k的值为-11;,(2)由(1)知,x1+x2=6,x1.x2=-11, x1+x2-8=(x1+x2)-2x1x2-8 =36+22-8=50.,四、运用新知,深化理解,-1,1.若x1,x2是方程x+x-1=0的两个实数根,则x1+x2= ,x1+x2= ;,-1,2,-3,2.已知x=1是方程x+mx-3=0的一个根,则另一个根为 ,m= .,3.若方程x+ax+b=0的两根分别为2和-3,则a= ,b= ;,1,-6,4.已知a,b是方程x-3x-1=0的两个根,求 的值.,解:由a+b=3,a.b=-1 故,五、师生互动,课堂小结,通过本节课的学习,你有哪些收获和体会?哪些地方需特别注意的?谈谈你的看法.,课 后 作 业,1.布置作业:从教材“习题21.2”中选取。 2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分。,
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