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2.4 解直角三角形,命题解读,考纲解读,理解锐角三角函数的意义,了解并能熟记特殊角(30,45,60)的三角函数值;能够利用直角三角形的角之间的关系、边之间的关系(勾股定理)、边角之间的关系(直角三角形中锐角的三角函数关系)正确地解直角三角形.能够利用解直角三角形的方法解决简单的实际问题.,命题解读,考纲解读,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点1 锐角三角函数 1.三角函数的定义及关系 如图,在ABC中,C=90. (1)锐角A的 对边 与 斜边 的比叫做A的正弦,记作sin A,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,典例1 (2016贵州安顺)如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则ABC的正切值是 ( ),【答案】 D,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,【方法指导】解直角三角形时辅助线的常用作法 我们谈的三角函数都是放在直角三角形中来研究的,所以如果没有直角三角形,就需要作出辅助线,构造一个适当的直角三角形,从而可以利用三角函数解决问题.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,【变式训练】(2016四川乐山)如图,在RtABC中,BAC=90,ADBC于点D,则下列结论不正确的是 ( C ),备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点2 特殊角的三角函数值 1.特殊角的三角函数值,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,这些特殊角的三角函数值,不但在本部分知识中经常用到,而且在一些整式计算、分式计算以及二次根式的计算中,也经常出现,所以对这些特殊角的三角函数值要找准规律记准记牢.,2.三角函数值的变化规律 (1)当090时,sin ,tan 随着的增大(或减小)而 增大(或减小) . (2)当090时,cos 随着的增大(或减小)而 减小(或增大) . 3.锐角三角函数之间的关系 (1)同角之间的三角函数关系:sin2+cos2= 1 ;tan = . (2)互余两角的三角函数之间的关系:sin =cos (90-) ;cos =sin (90-) .,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,典例2 (2016江苏无锡)sin 30的值为 ( ) 【解析】根据特殊角的三角函数值,可以求得sin30的值.sin30= . 【答案】 A,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点3 直角三角形中的边角关系和解直角三角形 1.直角三角形中的边角关系 (1)三边的关系:a2+b2=c2. (2)角的关系:A+B=90.,2.解直角三角形的类型及解法,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,列出的这些解直角三角形的方法,仅是一般方法,在具体的问题中,要根据所给出的条件灵活处理.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,典例3 (2016湖南怀化)在RtABC中,C=90,sin A= ,AC=6 cm,则BC的长度为 ( ) A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 【解析】根据三角函数的定义求得BC和AB的比值,设出BC,AB,然后利用勾股定理即可求 解.sinA= ,设BC=4x,AB=5x,又AC2+BC2=AB2,62+(4x)2=(5x)2,解得x=2或x=-2(舍去),则BC=4x=8cm. 【答案】 C,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,【变式训练】(2016内蒙古包头)如图,已知四边形ABCD中,ABC=90,ADC=90,AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E. (1)若A=60,求BC的长; (2)若sin A= ,求AD的长. (注意:本题中的计算过程和结果均保留根号),备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点4 解直角三角形的简单实际问题 几个常用概念,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,解直角三角形的应用,要注意把这些实际问题抽象为解直角三角形的问题,如果实际问题中没有直角三角形,要注意根据实际问题的具体情况构造出直角三角形,从而为解决实际问题创造条件.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,典例4 (2016湖南娄底)芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁,大桥采用低塔斜拉桥桥型(如甲图),图乙是从图甲引申出的平面图,假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30,拉索CD与水平桥面的夹角是60,两拉索顶端的距离BC为2米,两拉索底端距离AD为20米,请求出立柱BH的长.(结果精确到0.1米, 1.732),备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,典例5 (2016辽宁葫芦岛)在一次课外实践活动中,同学们要测量某公园人工湖两侧A,B两个凉亭之间的距离.如图,现测得ABC=30,BAC=15,AC=200米,请计算A,B两个 凉亭之间的距离.(结果精确到1米,参考数据: 【解析】过点A作ADBC,交BC的延长线于点D,根据ABC=30,BAC=15求得CAD=45,RtACD中由AC长度知AD=ACcosCAD,再根据AB= 可得答案.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,【答案】如图,过点A作ADBC,交BC的延长线于点D, B=30, BAD=60, 又BAC=15, CAD=45, 在RtACD中,AC=200米,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,【变式训练】(2016兰州)如图,一垂直于地面的灯柱AB被一钢筋CD固定,CD与地面成45夹角(CDB=45),在C点上方2米处加固另一条钢线ED,ED与地面成53夹角(EDB=53),那么钢线ED的长度约为多少米?(结果精确到1米,参考数据:sin 530.80,cos 530.60,tan 531.33),备课资料,考点扫描,1.利用等腰三角形与三角函数相结合解决问题 典例1 “一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点.某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A处测得“香顶”N的仰角为45,此时,他们刚好与“香底”D在同一水平线上.然后沿着坡度为30的斜坡正对着“一炷香”前行110米,到达B处,测得“香顶”N的仰角为60.根据以上条件求出“一炷香”的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到1米,参考 数据:,备课资料,考点扫描,【解析】首先过点B作BFDN于点F,过点B作BEAD于点E,可得四边形BEDF是矩形,然后在RtABE中,由三角函数的性质,可求得AE与BE的长,再设BF=x米,利用三角函数的知 识,即可求得方程 55 +x= x+55，继而可求得答案.,【答案】过点B作BFDN于点F,过点B作BEAD于点E. D=90, 四边形BEDF是矩形, BE=DF,BF=DE.,备课资料,考点扫描,备课资料,考点扫描,【方法指导】利用三角函数求线段的长,一般都要将所求线段放入到某个直角三角形中,利用边与角所成的三角函数解题.,备课资料,考点扫描,2.三角函数与三角形相似、平面直角坐标系相结合解决问题 典例2 在东西方向的海岸线l上有一长为1 km的码头MN(如图),在码头西端M的正西19.5 km处有一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30,且与A相距40 km的B处;经过1小时20分钟,又测得该轮船位于A的北偏东60,且与A相距8 km的C处. (1)求该轮船航行的速度(保留精确结果). (2)如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船能否正好行至码头MN靠岸?请说明理由.,备课资料,考点扫描,【解析】(1)由题可知,ABC为直角三角形,根据勾股定理可求出BC的长,再由路程时间=速度即可求解;(2)作BRl于点R,作CSl于点S,延长BC交l于T,在RtACS中,由三角函数的性质,可求得AC与CS的长,在RtABR中,由三角函数的性质,可求得BR与AR的长,由STCRTB可求得ST的长,进而求得AT,AN的长,可得AMATAN,即轮船正好行至码头MN靠岸.,备课资料,考点扫描,备课资料,考点扫描,备课资料,考点扫描,BRCS,STCRTB, 解得ST=8. AT=12+8=20. 又AM=19.5,MN长为1,AN=20.5, 19.5AT20.5, 轮船能够正好行至码头MN靠岸.,【方法指导】正确理解方向角的概念是解题的关键,同时把所求线段放入到合适的直角三角形中,才能找到解决问题的思路.,命题点,命题点 解直角三角形的应用(必考) 1.(2012安徽第10题)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的直角梯形,其中三边长分别为2,4,3,则原直角三角形纸片的斜边长是 ( C ),命题点,命题点,2.(2016安徽第19题)如图,河的两岸l1与l2相互平行,A,B是l1上的两点,C,D是l2上的两点.某人在点A处测得CAB=90,DAB=30,再沿AB方向前进20米到达点E(点E在线段AB上),测得DEB=60,求C,D两点间的距离.,命题点,解:过点D作l1的垂线,垂足为点F, DEB=60,DAB=30, ADE=DEB-DAB=30, ADE为等腰三角形, DE=AE=20(米), 在RtDEF中,EF=DEcos 60=20 =10(米). DFAF,DFB=90,ACDF, 由已知l1l2,CDAF, 四边形ACDF为矩形, CD=AF=AE+EF=30(米), 答:C,D两点间的距离为30米.,命题点,3.(2015安徽第18题)如图,平台AB高为12 m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45,底部点C的俯角为30,求楼房CD的高度.( 1.7),
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