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第17课时 二次函数的图象和性质,12015兰州下列函数解析式中，一定为二次函数的是( ) 2在下列二次函数中，其图象对称轴为x2的是 ( ) Ay(x2)2 By2x22 Cy2x22 Dy2(x2)2,小题热身,C,A,3对于二次函数y2(x1)(x3)，下列说法正确的是( ) A图象的开口向下 B当x1时，y随x的增大而减小 C当x1时，y随x的增大而减小 D图象的对称轴是直线x1 4在平面直角坐标系中，将抛物线yx24先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式为( ) Ay(x2)22 By(x2)22 Cy(x2)22 Dy(x2)22,C,B,Ay1y2y3 By1y3y2 Cy2y1y3 Dy3y1y2,B,一、必知5 知识点 1二次函数的概念 定义：一般地，形如_(a，b，c是常数，a0)的函数叫二次函数,考点管理,【智慧锦囊】 二次函数yax2bxc的结构特征是：等号左边是函 数，右边是关于自变量x的二次整式，x的最高次数是2； 二次项系数a0.,yax2bxc,用描点法画二次函数yax2bxc的步骤： (1)用配方法化成_的形式； (2)确定图象的开口方向，对称轴及顶点坐标； (3)在对称轴两侧利用对称性描点画图,ya(xm)2k(a0),【智慧锦囊】 (1)|a|的大小决定抛物线的开口大小|a|越大，抛物线的开口越 小，|a|越小，抛物线的开口越大； (2)画抛物线yax2bxc的草图，要确定五点：开口方 向；对称轴；顶点；与y轴交点；与x轴交点,3二次函数的性质,4二次函数与一元二次方程 二次函数yax2bxc与一元二次方程ax2bxc0有着密切的关系，二次函数的图象与x轴的交点的横坐标对应一元二次方程的实数根，抛物线与x轴的交点情况可由对应的一元二次方程的根的判别式b24ac的符号判定 (1)有两个交点_ (2)有一个交点_ (3)没有交点_,b24ac0,方程有两个不相等实数根,b24ac0,方程有两个相等实数根,b24ac0,方程没有实数根,5二次函数图象的平移 将抛物线yax2bxc(a0)用配方法化成_的形式，而任意抛物线_均可由yax2平移得到，具体平移方法如下：,ya(xm)2k(a0),ya(xm)2k(a0),二、必会2 方法 1用待定系数法求二次函数的解析式 用待定系数法可求二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立条件，根据不同条件选择不同的设法 (1)设一般式_： 若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为yax2bxc，将已知条件代入，求出a，b，c的值 (2)设顶点式_： 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴或最大值(最小值)，设所求二次函数为_，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式,yax2bxc(a0),ya(xm)2k,ya(xm)2k,(3)设两根式_： 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为ya(xx1)(xx2)，将第三点(m，n)的坐标(其中m，n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般形式 2数形结合思想 二次函数的图象与性质是数形结合最好的体现，二次函数yax2bxc(a0)的图象特征与a，b，c及判别式b24ac的符号之间的关系如下：,ya(xx1)(xx2)(a0),特殊值：当x1，yabc；当x1时，yabc.若abc0，即x1时，y0.若abc0，即x1时，y0.,三、必明3 易错点 1注意二次函数ya(xm)2k的图形平移，一般按照“横坐标加减左右移”、“纵坐标加减上下移”即“左加右减，上加下减”，容易出现移动方向弄反 2求二次函数与x轴交点坐标的方法是令y0解关于x的方程；求函数与y轴交点的方法是令x0得y值，容易出现求与x轴交点坐标时，令x0，求与y轴交点坐标时，令y0的错误,3根据a，b，c确定函数的大致图象易错点： (1)c的大小决定抛物线与y轴的交点位置，c0时，抛物线过原点，c0时，抛物线与y轴交于正半轴，c0时，对称轴在y轴左侧，当ab0时，对称轴在y轴的右侧,类型之一 二次函数的图象和性质 2014滨州已知二次函数yx24x3. (1)用配方法求函数的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减情况； (2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及ABC的面积 解：(1)yx24x3x24x41(x2)21， 函数的顶点C的坐标为(2，1)， 当x2时，y随x的增大而减小；当x2时，y随x的增大而增大；,12015乐山二次函数yx22x4的最大值为( ) A3 B4 C5 D6 【解析】 y(x1)25， a10， 当x1时，y有最大值，最大值为5.,C,C,32015绍兴如果抛物线yax2bxc过定点M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线 (1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式小敏写出了一个答案y2x23x4，请你写出一个不同于小敏的答案； (2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线yx22bxc1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答,解：(1)依题意，选择点(1，1)作为抛物线的顶点，二次项系数是1， 根据顶点式得yx22x2； (2)定点抛物线的顶点坐标为(b，cb21)，且12bc11， c12b， 顶点纵坐标cb2122bb2(b1)21， 当b1时，cb21最小，抛物线顶点纵坐标的值最小，此时c1， 抛物线的解析式为yx22x.,【点悟】 (1)从函数图象上可知二次函数图象的以下特征：开口方向；对称轴；顶点坐标；与y轴交点坐标；与x轴交点坐标(2)求二次函数的顶点坐标有两种方法：配方法；顶点公式法,类型之二 二次函数的平移 2015成都将抛物线yx2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为( ) Ay(x2)23 By(x2)23 Cy(x2)23 Dy(x2)23 【解析】 抛物线yx2平移后的抛物线解析式为y(x2)23.,A,12014丽水在同一平面直角坐标系内，将函数y2x24x3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是 ( ) A(3，6) B(1，4) C(1，6) D(3，4) 【解析】 函数y2x24x3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象y2(x2)24(x2)31，即y2(x1)26，顶点坐标是(1，6),C,2抛物线yx2bxc图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为yx22x3，则b，c的值为 ( ) Ab2，c2 Bb2，c0 Cb2，c1 Db3，c2 【解析】 先配方为y(x1)24，逆向思考把y(x1)24先左移2个单位，再向上移3个单位得到解析式为y(x12)243(x1)21，化为一般式是yx22x，故选择B.,B,【点悟】 (1)二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后求出平移后的顶点坐标，从而求出平移后二次函数的解析式(2)图象的平移规律：上加下减，左加右减,类型之三 二次函数的解析式的求法 2014宁波如图171，已知二次函数yax2bxc的图象过A(2，0)，B(0，1)和C(4，5)三点 (1)求二次函数的解析式； (2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标； (3)在同一坐标系中画出直线yx1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值,图171,2015遵义如图172，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于A(4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，2) (1)求抛物线的解析式； (2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A，C，D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积 图172,变式跟进答图,【点悟】 (1)当已知抛物线上三点求二次函数的解析式时，一 般采用一般式yax2bxc(a0)； (2)当已知抛物线顶点坐标(或对称轴或最大、最小值)求解析式 时，一般采用顶点式ya(xm)2k；(3)当已知抛物线与x轴 的交点坐标求二次函数的解析式时，一般采用两根式 ya(xx1)(xx2),类型之四 二次函数与方程的关系 2015宁波已知抛物线y(xm)2(xm)，其中m是常数 (1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；,12015苏州若二次函数yx2bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2bx5的解为 ( ) Ax10，x24 Bx11，x25 Cx11，x25 Dx11，x25,D,D,32015泸州若二次函数yax2bxc(a0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为x1，则使函数值y0成立的x的取值范围是 ( ) Ax4或x2 B4x2 Cx4或x2 D4x2 【解析】 二次函数yax2bxc(a0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为x1， 二次函数的图象与x轴另一个交点为(4，0)， a0，抛物线开口向下， 则使函数值y0成立的x的取值范围是4x2.,D,类型之五 二次函数的图象特征与a，b，c之间的关系 2015遂宁二次函数yax2bxc(a0)的图象如图173所示，下列结论： 2ab0，abc0，b24ac0， abc0，4a2bc0， 其中正确的个数是 ( ) A2 B3 C4 D5,图173,B,对于，易得a0，对称轴在y轴的右边，故b0，抛物线与y 轴的交点在原点的下方，则c0，所以abc0，故错误； 对于，抛物线与x轴有两个交点，所以b24ac0，故正 确； 对于，当x1时，显然y的值为正，所以yabc0， 故错误； 对于，当x2时，显然y的值为负， 所以y4a2bc0，故正确,12015凉山二次函数yax2bxc(a0)的图象如图174所示，下列说法：2ab0；当1x3时，y0；若(x1，y1)，(x2，y2)在函数图象上，当x1x2时，y1y2；9a3bc0.其中正确的是( ) A B C D,图174,B,22015珠海已知抛物线yax2bx3的对称轴是直线x1. (1)求证：2ab0； (2)若关于x的方程ax2bx80的一个根为4，求方程的另一个根,【点悟】 二次函数的图象特征主要从开口方向，与x轴有无交点，与y轴交点及对称轴的位置入手，确定a，b，c及b24ac的符号，有时也可把x的值代入求值或根据图象确定y的符号,类型之六 二次函数的综合运用 2015武威如图175，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其对称轴与x轴相交于点M. (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P， 使PAB的周长最小？若存在，请求出 点P的坐标；若不存在，请说明理由； 【解析】 (1)利用两根式法设抛物线的 解析式为ya(x1)(x5)，代入A(0，4)；,图175,(2)点A关于对称轴的对称点A的坐标为(6，4)，连结BA交对称 轴于点P，连结AP，此时PAB的周长最小，可求出直线BA 的解析式，即可得出点P的坐标,(2)P点存在理由如下： 点A(0，4)，抛物线的对称轴是x3， 点A关于对称轴的对称点A的坐标为(6，4)， 例6答图 如答图，连结BA交对称轴于点P，连结AP，此时PAB的周 长最小,如图176，二次函数yx22xm的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C. (1)求m的值； (2)求点B的坐标； (3)该二次函数图象上有一点D(x，y) (其中x0，y0)，使SABDSABC， 求点D的坐标,图176,【解析】 (1)将A(3，0)的坐标代入二次函数解析式 yx22xm；(2)令y0，解一元二次方程； (3)由于SABDSABC，则C，D关于二次函数对称轴对称 解：(1)将A(3，0)的坐标代入二次函数解析式， 得3223m0，解得m3； (2)二次函数解析式为yx22x3， 令y0， 得x22x30，解得x3或x1， 点B的坐标为(1，0)；,(3)SABDSABC，点D在第一象限， 点C的纵坐标与点D的纵坐标相等， 点C，D关于二次函数对称轴对称 由二次函数解析式可得其对称轴为x1， 点C的坐标为(0，3)， 点D的坐标为(2，3),二次函数图象平移方向弄反 (临沂中考)要将抛物线yx22x3平移后得到抛物线yx2， 下列平移方法正确的是 ( ) A向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【错解】错成A或B或者C,【错因】yx22x3(x1)22，又yx2(x11)222，要得到抛物线yx2则平移的方法可以是：将抛物线yx22x3向右平移1个单位，再向下平移3个单位错解中把左右，上下平移方向弄反了 【正解】D,
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