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第一部分 教材梳理,第1节 统 计,第七章 统计与概率,知识要点梳理,概念定理,1. 统计的基本概念 （1）总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体. （2）个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体. （3）样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本. （4）样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量. 注意：样本容量只是个数字，没有单位.,2. 统计的基本思想：用样本估计总体 （1）用样本的频率分布估计总体分布：从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息，这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况. （2）用样本的数字特征估计总体的数字特征：主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差. （3）一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确.,3. 平均数、中位数、众数 （1）平均数：指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.它是反映数据集中趋势的一项指标. （2）中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数. （3）众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数. 求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这几个数据.,4. 方差、标准差 （1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差. （2）标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差. 方差和标准差均可用于衡量数据的波动程度，它们的值越大，数据波动越大；值越小，数据波动越小. 5. 频数、频率 （1）频数：指每个对象出现的次数. （2）频率：指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）.频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量.,主要公式,1. 平均数（ ）的公式： 对于n个数x1，x2，xn，满足 2. 方差（s2）的公式： 3. 标准差（s）的公式：,方法规律,1. 中位数、众数的意义 （1）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息. （2）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势. （3）众数不易受数据中的极端值影响.众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量.,2. 方差、标准差的意义 （1）方差是反映一组数据的波动程度的一个量.方差越大，则其与平均值的离散（波动）程度越大，稳定性越差；反之，则其与平均值的离散程度越小，稳定性越好. （2）标准差是反映一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精密确的最重要指标.标准差越大，则其与平均值的离散程度越大，稳定性越差；反之，则其与平均值的离散程度越小，稳定性越好.,3. 画频率分布直方图的步骤 （1）计算极差，即计算最大值与最小值的差. （2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成512组）. （3）确定分点，将数据分组. （4）列频率分布表. （5）绘制频率分布直方图.,中考考点精讲精练,考点1 平均数、中位数、众数,考点精讲 【例1】（2015梅州）在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里40名同学本学期计划购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图7-1-1所示的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：（直接填写结果）,（1）本次调查获取的样本数据的众数是 ； （2）这次调查获取的样本数据的中位数是 ； （3）若该校共有学生1 000人，根据样本数据，估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有 人.,思路点拨：（1）众数就是出现次数最多的数，据此即可判断； （2）中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义即可判断； （3）求得调查的总人数，然后利用1 000乘以本学期计划购买课外书花费50元的学生所占的比例即可求解. 答案：（1）30元（2）50元（3）250,解题指导：解此类题的关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息，同时掌握平均数、中位数、众数等概念的含义并正确运用. 解此类题要注意以下要点： （1）平均数：指在一组数据中所有数据之和除以数据的个数. （2）中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数. （3）众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.,考题再现 1. （2015广东）一组数据2，6，5，2，4，则这组 数据的中位数是 （ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 2. （2015深圳）在以下数据：75，80，80，85，90中，众数、中位数分别是 （ ） A. 75，80 B. 80，80 C. 80，85 D. 80，90,B,B,3. （2015茂名）为了帮扶本市一名特困儿童，某班有20名同学积极捐款，他们捐款的数额如下表： 对于这20名同学的捐款，众数是 （ ） A. 20元 B. 50元 C. 80元 D. 100元 4. （2014汕尾）小明在射击训练中，五次命中的环数分别为5，7，6，6，6，则小明命中环数的众数为 ，平均数为 .,B,6,6,考题预测 5. 已知一组数据2，x，4，6的众数为4，则这组数据的平均数为 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 小华所在的九年级一班共有50名学生，一次体检测量了全班学生的身高，由此求得该班学生的平均身高为1.65米，而小华的身高为1.66米.下列说法错误的是 （ ） A. 1.65米是该班学生身高的平均水平 B. 班上比小华高的学生不会超过25人 C. 这组身高的中位数不一定是1.65米 D. 这组身高的众数不一定是1.65米,B,B,7. 某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（ ） A. 中位数是4，平均数是3.75 B. 众数是4，平均数是3.75 C. 中位数是4，平均数是3.8 D. 众数是2，平均数是3.8,C,8. 小刚参加射击比赛，成绩统计如下表： 关于他的射击成绩，下列说法正确的是 （ ） A. 极差是2环 B. 中位数是8环 C. 众数是9环 D. 平均数是9环,B,考点2 方差、标准差,考点精讲 【例2】（2014佛山）甲、乙两组数据（单位：厘米）如下表： （1）根据以上数据填表：,（2）那一组数据比较稳定？,思路点拨：（1）根据平均数、众数定义以及方差公式 可得出答案； （2）根据方差的意义可得结论. 答案：（1）173 173 0.6 173 173 1.8 （2）因为两组数据的平均数相同，而甲组数据的方差更小，所以甲组数据比较稳定.,解题指导：解此类题的关键是掌握平均数和众数的定义以及方差的计算公式. 解此类题要注意以下要点： 方差的计算公式：,考题再现 1. （2015广州）两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的 （ ） A. 众数 B. 中位数 C. 方差 D. 以上都不对,C,2. （2013茂名）小李和小林练习射箭，射完10箭后两人的成绩如图7-1-2所示，通常新手的成绩不太稳定，根据图中的信息，估计这两人中的新手是 .,小李,3. （2011清远）为了从甲、乙、丙三位同学中选派一位同学参加环保知识竞赛.老师对他们的五次环保知识测验成绩进行了统计，他们的平均分均为85分，方差分别为 =18， =12， =23，根据统计结果，应派去参加竞赛的同学是 （填“甲”“乙”或“丙”）. 4. （2010广州）老师对甲、乙两人的五次数学测验成绩进行统计，得出两人五次测验成绩的平均分均为90分，方差分别是 =51, =12，则成绩比较稳定的是 （填“甲”或“乙”）.,乙,乙,考题预测 5. 一组数据x1，x2，xn的方差为 ，则数据5x1-2，5x2-2，5xn-2的方差为 （ ） A. 2 B. 1 C. 5 D. 8 6. 一组数据：2，4，5，6，x的平均数是4，则这组数的标准差是 （ ）,C,B,7. 某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：80，90，75，75，80，80.下列表述错误的是 （ ） A. 平均数是80 B. 极差是15 C. 中位数是80 D. 标准差是25 8. 已知甲组数据是7，8，6，8，6；乙组数据是9，5，6，7，8，则下面的结论正确的是 （ ） A. 甲组数据比乙组数据的波动大 B. 乙组数据比甲组数据的波动大 C. 甲组数据与乙组数据的波动一样大 D. 甲乙两组数据的波动大小不能比较,D,B,9. 某村引进甲乙两种水稻良种，各选6块条件相同的实验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为550 kg/亩，方差分别为 =141.7， =433.3，则产量稳定，适合推广的品种为 （ ） A. 甲、乙均可 B. 甲 C. 乙 D. 无法确定,B,考点3 频数、频率,考点精讲 【例3】（2014深圳）关于体育选考项目统计图：,（1）求出表中a，b，c的值，并将条形统计图（如图7-1-3）补充完整. 表中a= ，b= ，c= . （2）如果有3万人参加体育选考，会有多少人选择篮球？,思路点拨：（1）用C的频数除以频率求出a，用总数乘以B的频率求出c，用A的频数除以总数求出b，再补充统计图即可； （2）用总人数乘以A的频率即可. 答案：（1）200 0.4 60 补全条形统计图如图7-1-4： （2）解：30 0000.4=12 000（人）. 答：3万人参加体育选考，会有12 000人选择篮球.,解题指导：解此类题的关键是掌握频率、频数与总数之间的关系. 解此类题要注意以下要点： （1）频数（率）分布直方图； （2）用样本估计总体； （3）频数（率）分布表.,考题再现 1. （2015茂名）某校为了丰富学生的第二课堂，对学生参与演讲、舞蹈、书法和摄影活动的兴趣情况进行调查，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中最感兴趣的一项），对调查结果进行统计后，绘制了如下两个统计图（如图7-1-5）：,（1）此次调查抽取的学生人数m= 名，其中选择“书法”的学生占抽样人数的百分比n= %； （2）若该校有3 000名学生，请根据以上数据估计该校对“书法”最感兴趣的学生人数.,150,30,解：由（1）得： 3 00030%=900（名）. 答：该校对“书法”最感 兴趣的学生人数为900名.,2. （2013湛江）2013年3月28日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1 500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计.请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：,（1）这次抽取了 名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m= ，n= ； （2）补全频数分布直方图（如图7-1-6）；,200,70,0.12,（3）若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？,解：（2）如答图7-1-1 所示. （3）1 500 =420（人）. 答：该校安全意识不强的学生约有420人.,考题预测 3. 为了解在校学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了如图7-1-7所示的频数分布直方图，则参加书法兴趣小组的频率是 （ ） A. 0.1 B. 0.15 C. 0.2 D. 0.3,C,4. 小明抛硬币的过程见下表，阅读并回答问题： （1）从表中可知，当抛完10次时正面出现3次，正面出现的频率为30%，那么，小明抛完10次时，得到 次反面，反面出现的频率是 ； （2）当他抛完5 000次时，反面出现的次数是 ，反面出现的频率是 ； （3）通过上面我们可以知道，正面出现的频数和反面出现的频数之和等于 ，正面出现的频率和反面出现的频率之和等于 .,7,70%,2 502,50.04%,抛掷总次数,1,5. 在某项针对1835岁的青年人每天发微博数量的调查中，设一个人的“日均发微博条数”为m，规定：当m10时为A级，当5m10时为B级，当0m5时为C级.现随机抽取30个符合年龄条件的青年人开展每人“日均发微博条数”的调查，所抽青年人的“日均发微博条数”的数据如下：,（1）求样本数据中为A级的频率； （2）试估计1 000个1835岁的青年人中“日均发微博条数”为A级的人数.,解：（1）m10的人数有15人， 则频率= . （2）1 000 =500（人）. 答：1 000个1835岁的青年人中“日均发微博条数”为A级的人数为500人.,考点4 统计图表综合题,考点精讲 【例4】（2013广东）某校教导处为了解该校七年级同学对排球、乒乓球、羽毛球、篮球和足球五种球类运动项目的喜爱情况（每位同学必须且只能选择最喜爱的一项运动项目），进行了随机抽样调查，并将调查结果统计后绘制成了如图7-1-8所示的不完整统计图和统计表. （1）请你补全下列样本人数分布表和条形统计图（如图7-1-8）； （2）若七年级学生总人数为920人，请你估计七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数.,思路点拨：（1）由排球的人数除以所占的百分比求出总人数，总人数乘以篮球所占的百分比即可求出篮球的人数，补全条形统计图，如图7-1-9所示，求出羽毛球所占的百分比，补全人数分布图，如图7-1-9所示； （2）用总人数乘以羽毛球所占的百分比即可求出喜爱羽毛球运动项目的人数.,解：（1）36%=50（人）， 则篮球的人数为5020%=10（人）. 补全条形统计图如图7-1-9： 羽毛球人数占总人数的百分比为：1550=30%， 样本人数分布表中所缺数据依次为：30% 10 50 （2）92030%=276（人）. 答：七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数为276人.,解题指导：解此类题的关键是仔细读题，弄清题意，从统计图表中得出相关信息来解题. 解此类题要注意以下要点： （1）条形统计图的绘制方法及提供的信息; （2）频率分布表提供的信息.,考题再现 1. （2015深圳）11月读书节，深圳市统计某学校九年级学生的读书状况，如图7-1-10：,（1）三本以上的x值为 ，参加调差的总人数为 ，补全统计图； （2）三本以上的圆心角为 ； （3）全市有6.7万学生，三本以上有 人.,20%,400,72,13 400,解：（1）补全统计图如答图7-1-2所示.,2. （2014广东）某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图7-1-11所示的不完整的统计图.,（1）这次被调查的同学共有 名； （2）把条形统计图补充完整； （3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人食用一餐.据此估算，该校 1 8000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐.,1 000,解：（2）剩少量的人数：1 000-400-250-150=200，补全条形统计图如答图7-1-3. （3）18 000 =3 600（人）. 答：该校18 000名学生一餐浪费的食物可供3 600人食用一餐.,3. （2013梅州）“安全教育，警钟长鸣”，为此，某校随机抽取了九年级（1）班的学生对安全知识的了解情况进行了一次调查统计.图7-1-12和图7-1-12是通过数据收集后，绘制的两幅不完整的统计图.请你根据图中提供的信息，解答以下问题：,（1）九年级（1）班共有 名学生； （2）在扇形统计图中，对安全知识的了解情况为“较差”部分所对应的圆心角的度数是 ； （3）若全校有1 500名学生，估计对安全知识的了解情况为“较差”“一般”的学生共有 名.,60,18,300,考题预测 4. 第一次模拟考试后，数学老师把一班的数学成绩制成如图7-1-13的统计图，并给了几条信息：前两组的频率和是0.14；第一组的频率是0.02；自前到后第二、三、四组的频数比为3108，请结合统计图完成下列问题：,（1）全班学生是多少人？ （2）成绩不少于90分为优秀，那么全班成绩的优秀率是多少？ （3）这次数学成绩的中位数落在什么位置？,解：（1）全班学生人数：6（0.14-0.02）=50（人）. （2）第三组的频率：（0.14-0.02） =0.4， 则这个班的优秀率：1-0.14-0.4=0.46=46%. （3）一共有50个数，前两组的频率和是0.14，第三组的频率是0.4， 前两组的频数和是500.14=7，第三组的频数：500.4=20. 按从小到大的顺序排列后，第25个与第26个数据都落在第三组， 这次数学成绩的中位数落在第三组.,5. 国家规定：“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”，为此某市就“你每天在校体育活动时间是多少？”的问题随机调查了辖区内300名初中学生，根据调查结果绘制的统计图如图7-1-14所示，其中分组情况是A组：t0.5 h；B组：0.5 h01 h；C组：1 ht1.5 h；D组：t1.5 h.请根据上述信息解答下列问题：,（1）C组的人数是 ，并补全统计图； （2）本次调查数据的中位数落在 组内，众数落在 组内； （3）若该辖区有20 000名学生，请估计达到国家规定体育活动时间的人数； （4）A组取t=0.25 h，B组取t=0.75 h，C组取t=1.25 h，D组取t=2 h，试计算这300名学生平均每人每天在校体育活动时间.,120,C,C,解：（1）补全统计图 如答图7-1-4所示. （3）达到国家规定体育活动时间的人数约占 100%=60%， 则达到国家规定体育活动时间的人约有20 00060%=12 000（人）. （4）根据题意得（200.25+1000.75+1201.25+602） 300= （h）. 答：这300名学生平均每人每天在校体育活动时间为 h.,6. 在去年寒假社会实践活动中，小明和小红对某偏远村庄的空巢老人进行了一次“爱心送温暖活动”.它们对该村空巢老人每周的生活费用进行了统计，并分别绘制了一幅没有完成的统计图，如图7-1-15和图7-1-15所示（图中的各部分都只含最低值不含最高值）.小明说：“生活费在80元以上，少于100元（含80元，不含100元）的有17位”；小红说：“没有低于30元的”.,请根据以上信息回答下列问题： （1）该村共有多少位空巢老人？ （2）补全两个统计图中三个空缺的部分； （3）每周的生活费用在8590元之间（含85元，不含90元）的空巢老人有多少位？,解：（1）根据题意得 =50（位）. 答：该村共有50位空巢老人. （2）生活费用在80元以上，少于100元（含80元，不含100 元）的有17位， 生活费用在90100元的人数：17-11=6（位）. 生活费用在7080元的人数：50-2-3-5-10-11-6=13（位）， 生活费用在85100元所占的百分比：1-20%-62% =18%.,补全统计图如答图7-1-5所示. （3）生活费用在85100元的人数：5018%=9（位）， 生活费用在90100元的人数是6位， 每周的生活费用在8590元之间（含85元，不含90元）的空巢老人有9-6=3（位）. 答：每周的生活费用在8590元之间（含85元，不含90元）的空巢老人有3位.,
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