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2.3 特殊三角形,命题解读,考纲解读,了解等腰三角形和直角三角形的有关概念,掌握等腰三角形和直角三角形的性质和判定,理解等边三角形的性质和判定,掌握勾股定理及其逆定理.掌握角平分线性质定理及其逆定理,并会利用它解决问题,掌握线段的垂直平分线性质定理及其逆定理,并会利用它解决问题,掌握三角形中位线的性质,并能利用它解决几何问题.,命题解读,考纲解读,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点1 等腰三角形的性质与判定 1.等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角 相等 ,简称“等边对等角”; (2)等腰三角形的顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线 重合 ,简称“等腰三角形三线合一”; (3)等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线所在的直线就是它的对称轴. 2.等腰三角形的判定 (1)按定义:有两条边相等的三角形就是等腰三角形; (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形,简称“等角对等边”.,等腰三角形“三线合一”是证明两直线互相垂直的重要方法,也是处理等腰三角形问题中的常用辅助线作法.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,3.等边三角形 (1)等边三角形的性质 等边三角形的三条边都相等; 等边三角形的三个角都是 60 . (2)等边三角形的判定 按定义:三边都相等的三角形是等边三角形; 三个角 都相等 的三角形是等边三角形; 有两个角是 60 的三角形是等边三角形; 有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形.,等边三角形的四种判定方法都可以应用,要根据不同的条件进行选择,以使问题简单化.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,典例1 (2016广西贺州)一个等腰三角形的两边长分别为4,8,则它的周长为 ( ) A.12 B.16 C.20 D.16或20 【解析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰,则应该分两种情况进行分析.当4为腰时,4+4=8,故此种情况不存在;当8为腰时,8-488+4,符合题意.故此三角形的周长为8+8+4=20. 【答案】 C,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,【变式训练】(2016贵州安顺)已知实数x,y满足|x-4|+ =0,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是 ( B ) A.20或16 B.20 C.16 D.以上答案均不对 【解析】根据非负数的意义列出关于x,y的方程并求出x,y的值,再根据x是腰长和底边长两 种情况讨论求解.根据题意得 (1)若4是腰长,则三角形的三边长为4,4,8,不能组成三角形;(2)若4是底边长,则三角形的三边长为4,8,8,能组成三角形,周长为4+8+8=20.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点2 直角三角形的性质与判定 1.直角三角形的性质 (1)直角三角形的两个锐角 互余 ; (2)直角三角形的斜边上的中线等于斜边的 一半 ; (3)直角三角形中,30的角所对的直角边等于斜边的 一半 ;等于斜边的一半的直角边所对的角是 30 ; (4)勾股定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.,已知直角三角形中的两边求第三边(没有明确谁是斜边)时,一般要分类讨论:所求边是斜边;已知两边中的较长边是斜边.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,2.直角三角形的判定 (1)有两个角的和等于 90 的三角形是直角三角形; (2)勾股定理的逆定理:如果一个三角形的一边的平方等于另两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形(这条边所对的角是直角). 补充:一条边上的中线等于这边的 一半 的三角形是直角三角形(这条边所对的角是直角). 3.直角三角形面积的求法,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,典例2 (2016福建泉州)如图,在RtABC中,E是斜边AB的中点,若AB=10,则CE= . 【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得答案.由直角三角形的性质,得CE= AB=5. 【答案】 5,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,【变式训练】(2016湖北鄂州)如图,AB=6,O是AB的中点,直线l经过点O,1=120,P是直 线l上一点,当APB为直角三角形时,【解析】当APB=90时,分两种情况讨论,情况一:如图1,AO=BO,PO=BO,1=120,AOP=60,AOP为等边三角形,OAP=60,PBA=30,AP=,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点3 角的平分线的性质与判定 1.定义 从角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两相等的角,这条射线叫做这个角的平分线. 2.性质 角的平分线上的点到角的两边的距离 相等 . 3.判定 到角的两边距离 相等的点 在这个角的平分线上.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,典例3 (2016湖南怀化)如图,OP为AOB的角平分线,PCOA,PDOB,垂足分别是C,D,则下列结论错误的是 ( ) A.PC=PD B.CPO=DOP C.CPO=DPO D.OC=OD 【解析】OP为AOB的角平分线,PCOA,PDOB,垂足分别是C,D,PC=PD,故A正 确;在RtOCP与RtODP中, OCPODP(HL), CPO=DPO,OC=OD,故C,D正确.不能得出CPO=DOP,故B错误. 【答案】 B,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,【变式训练】(2016江苏淮安)如图,在RtABC中,C=90,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于 MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=4,AB=15,则ABD的面积是 ( B ) A.15 B.30 C.45 D.60,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点4 线段的垂直平分线 1.定义 过线段的中点且与这条线段垂直的直线,叫做线段的垂直平分线. 2.性质 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 相等 . 3.判定 到一条线段的两端的距离 相等的点 ,在这条线段的垂直平分线上.,解题时常要把垂直平分线上的点与线段两端点连接,利用垂直平分线的性质解题.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,典例4 (2016山东德州)如图,在ABC中,B=55,C=30,分别以点A和点C为圆心,大于 AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则BAD的度数为 ( ) A.65 B.60 C.55 D.45 【解析】由题意可得MN是AC的垂直平分线,则AD=DC,故C=DAC,C=30,DAC=30,B=55,BAC=95,BAD=BAC-DAC=65. 【答案】 A,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,【变式训练】(2016广州)如图,已知ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分线,DE交AB于点D,连接CD,则CD= ( D ) A.3 B.4 C.4.8 D.5 【解析】AB=10,AC=8,BC=6,BC2+AC2=AB2,ABC是直角三角形,DE是AC的垂直平分线,AE=EC=4,DEBC,AD=BD,CD是RtABC斜边上的中线,CD= AB=5.,备课资料,考点扫描,1.直角三角形与等腰三角形的综合 典例1 如图,在RtABC中,ABC=90,点D是AC的中点,作ADB的角平分线DE交AB于点E. (1)求证:DEBC; (2)若AE=3,AD=5,点P为BC上的一动点,当BP为何值时,DEP为等腰三角形.请直接写出所有BP的值.,备课资料,考点扫描,【解析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD=AD= AC,再根据等腰三角形三线合一的性质可得DEAB,再根据垂直于同一直线的两直线平行即可证明;(2)利用勾股定理列式求出DE的长,根据等腰三角形三线合一的性质求出BE=AE,然后分DE=EP,DP=EP,DE=DP三种情况讨论求解. 【答案】 (1)ABC=90,点D是AC的中点,BD=AD= AC, DE是ADB的角平分线,DEAB, 又ABC=90, DEBC.,备课资料,考点扫描,备课资料,考点扫描,备课资料,考点扫描,2.等腰三角形与角平分线的综合 典例2 如图,B,C的平分线相交于点F,过点F作DEBC,交AB于点D,交AC于点E,那么下列结论正确的是 ( ) BDF,CEF都是等腰三角形;DE=BD+CE; ADE的周长为AB+AC;BD=CE. A. B. C. D. 【解析】DEBC,DFB=FBC,EFC=FCB,BF是ABC的平分线,CF是ACB的平分线,FBC=DBF,FCE=FCB,DBF=DFB,EFC=ECF,DFB,FEC都是等腰三角形.DF=DB,FE=EC,即有DE=DF+FE=DB+EC,ADE的周长为AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC. 【答案】 C,备课资料,考点扫描,3.等边三角形与全等三角形的综合 典例3 在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且AE=BD. (1)当点E为AB的中点时,如图1,求证:EC=ED; (2)当点E不是AB的中点时,如图2,过点E作EFBC,求证:AEF是等边三角形; (3)在第(2)小题的条件下,EC与ED还相等吗,请说明理由.,备课资料,考点扫描,【解析】(1)根据等边三角形三线合一的性质可得ECB=30,ABC=60,根据AE=EB=BD,可得EDB=DEB= ABC=30,根据等角对等边即可证得结论;(2)根据平行线的性质证得AEF=ABC=60,AFE=ACB=60,即可证得结论;(3)先求得BE=FC,然后证得DBEEFC即可. 【答案】 (1)在等边ABC中,AB=BC=AC,ABC=ACB=A=60, EDB=ECB,EC=ED. (2)EFBC,AEF=ABC=60,AFE=ACB=60, AEF为等边三角形.,备课资料,考点扫描,(3)EC=ED.理由如下: AFE=ABC=60, EFC=DBE=120, AB=AC,AE=AF, AB-AE=AC-AF,即BE=FC, DBEEFC(SAS),ED=EC.,命题点,命题点 特殊三角形的性质及判定(高频) 1.(2016安徽第10题)如图,RtABC中,ABBC,AB=6,BC=4,P是ABC内部的一个动点,且满足PAB=PBC.则线段CP长的最小值为 ( B ),【解析】本题考查点与圆的位置关系、圆周角定理、最短问题等知识.ABC=90,ABP+PBC=90,PAB=PBC,BAP+ABP=90,APB=90,点P在以AB为直径的O上,连接OC交O于点P,此时CP最小.在RtBCO中,OBC=90,BC=4,OB=3,OC= =5,CP=OC-OP=5-3=2,CP最小值为2.,命题点,2.(2014安徽第8题)如图,RtABC中,AB=9,BC=6,B=90,将ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为 ( C ) 【解析】本题考查实践操作中的三角形折叠问题,对称性的性质以及勾股定理.设BN=x,则AN=DN=9-x,点D是CB的中点,则BD=3,在RtNBD中,DN2=BD2+BN2,(9-x)2=x2+9,解得x=4,即BN=4.,命题点,3.(2012安徽第22题)如图1,在ABC中,D,E,F分别为三边的中点,G点在边AB上,BDG与四边形ACDG的周长相等.设BC=a,AC=b,AB=c. (1)求线段BG的长; (2)求证:DG平分EDF; (3)连接CG,如图2,若BDG与DFG相似,求证:BGCG.,命题点,命题点,FG=DF,FDG=FGD. 又DEAB,EDG=FGD,FDG=EDG, DG平分EDF. (3)在DFG中,FDG=FGD,DFG是等腰三角形. BDG与DFG相似, BDG是等腰三角形. B=BGD,BD=DG,CD=BD=DG, B,C,G三点在以D为圆心的圆上,且BC为直径, BGC=90,BGCG.,
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