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思维专项训练,专题六 创新思维,创新意识的激发,创新思维的训练,创新能力的培养,是素质教育中最具活力的课题,体现在数学教学方面,就是创新试题的命制.自新课改进行以来,创新类试题大量呈现,这类试题通常都源于新课程标准,又不完全拘泥于新课程标准.形式多样,有的是操作创新题,有的是新定义试题,有的是情境创新题,有的是规律探究创新题,有的是最优方案设计创新题,有的是信息迁移类创新题,有的是题型创新,有的是“老树新花”型创新. 纵观安徽近五年的中考试题,每年都有几道让人耳目一新的题目,在中考试题评价中被人称道,如2016年的第18题,2015年的第13,14题,2014年的第18,22题,2013年的第17(1),18,23题,2012年的第10,17,22题,预计2017年安徽的中考命题依然会有创新试题出现.,在创新类题目中,体现更多的是新定义题,即定义一些考生从未接触过的新概念、新公式、新运算、新法则,它立意新,容量大,具有相当浓度和明确导向,更多体现了新课改精神,是创新题中的新宠.一般包含:规律中的新定义,运算中的新定义,探究中的新定义,开放中的新定义,阅读理解中的新定义.通常和其他知识综合在一起考查,灵活性较强,对考生的要求一般比较高,要求考生解题时能够运用已掌握的知识和方法理解“新定义”,做到“化生为熟”,现学现用. 无论是哪种形式的创新题,要想解决这类问题,就要求平时加强对新课程理念的贯彻落实,平时教学中注重过程性教学,注意培养自主探究的学习习惯,注重积累数学活动经验,注重培养应用新知识解决问题的能力.,题型2,题型1,题型3,题型1 新定义题,题型2,题型1,题型3,【解析】(1)根据定义直接求解即可;(2)由x 得2x-10,利用定义将已知等式转化为关于x的方程,即可求解.,题型2,题型1,题型3,【方法指导】“新定义型专题”关键要把握两点 (1)掌握问题原型的特点及问题解决的思想方法;(2)根据问题情景的变化,通过认真思考,合理进行思想方法的迁移.,题型2,题型1,题型3,题型2 操作创新题 典例2 挑游戏棒是一种好玩的游戏,游戏规则:当一根棒条没有被其他棒条压着时,就可以把它往上拿走.如图中,按照这一规则,第1次应拿走号棒,第2次应拿走号棒,则第6次应拿走 ( ) A.号棒 B.号棒 C.号棒 D.号棒 【解析】本题考查图形的变化类问题,仔细观察图形,找到拿走后图形下面的游戏棒,从而确定正确的选项.仔细观察图形发现:第1次应拿走号棒,第2次应拿走号棒,第3次应拿走号棒,第4次应拿走号棒,第5次应拿走号棒,第6次应拿走号棒. 【答案】 D,题型2,题型1,题型3,题型3 “老树新花”型 典例3 (2016广东茂名)我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题,大意是:100匹马恰好拉了100片瓦.已知1匹大马能拉3片瓦,3匹小马能拉1片瓦,问有多少匹大马、多少匹小马?若设大马有x匹,小马有y匹,那么可列方程组为 ( ),题型2,题型1,题型3,【解析】本题考查列二元一次方程组解应用题,题目背景取自我国古代数学名著孙子算经,可谓别出心裁,解题的关键在于找出题目中的相等关系.根据相等关系“大马的匹数+小马的匹数=100匹”得x+y=100;根据相等关系“所有大马拉瓦的片数+所有小马拉瓦的片数=100片”得3x+ y=100,故选择C. 【答案】 C,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,1.把所有正奇数从小到大排列,并按如下规律分组:(1),(3,5,7),(9,11,13,15,17),(19,21,23,25,27,29,31),现有等式Am=(i,j)表示正奇数m是第i组第j个数(从左往右数),如A7=(2,3),则A2015= ( B ) A.(31,50) B.(32,47) C.(33,46) D.(34,42),2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,【解析】先计算出2015是第1008个数,然后判断第1008个数在第几组,最后判断是这一组的第几个数即可.2015是第,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,2.在数学活动课上,同学们利用如图的程序进行计算,发现无论x取任何正整数,结果都会进入循环,下面选项一定不是该循环的是 ( D ) A.4,2,1 B.2,1,4 C.1,4,2 D.2,4,1,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,【解析】对于A项,把x=4代入得,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,3.(2016杭州)设a,b是实数,定义关于的一种运算如下:ab=(a+b)2-(a-b)2,则下列结论:若ab=0,则a=0或b=0;a(b+c)=ab+ac;不存在实数a,b,满足ab=a2+5b2;设a,b是矩形的长和宽,若该矩形的周长固定,则当a=b时,ab的值最大.其中正确的是 ( C ) A. B. C. D.,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,【解析】由ab=(a+b)2-(a-b)2,得ab=4ab.ab=0,4ab=0,a=0或b=0,正确;a(b+c)=4a(b+c)=4ab+4ac,ab+ac=4ab+4ac,a(b+c)=ab+ac,正确;ab=a2+5b2,a2+5b2=4ab.(a-2b)2+b2=0,a=-2b=0且b=0,a=b=0,不正确;设a,b是矩形的长和宽,其周长l为定值,面积S=ab,则l=2(a+b),从而b= 此时a=b.当a=b时,ab的值最大,正确.,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,4.以下四种沿AB折叠的方法中,不一定能判定纸带两条边线a,b互相平行的是 ( C ) A.如图1,展开后测得1=2 B.如图2,展开后测得1=2且3=4 C.如图3,测得1=2 D.如图4,展开后再沿CD折叠,两条折痕的交点为O,测得OA=OB,OC=OD,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,【解析】对于A项,1=2,根据内错角相等,两直线平行,ab;对于B项,1=2且3=4,由图可知1+2=180,3+4=180,1=2=3=4=90,ab(内错角相等,两直线平行);对于C项,测得1=2,1与2既不是内错角也不是同位角,不一定能判定两 直线平行;对于D项,在AOC和BOD中, AOCBOD,CAO=DBO,ab(内错角相等,两直线平行).,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,5.(2016广西桂林)如图是一个点阵,从上往下有无数多行,其中第一行有2个点,第二行有5个点,第三行有11个点,第四行有23个点,按此规律,第n行有 32n-1-1 个点. 【解析】2=31-1,5=32-1,11=34-1,23=38-1,2=320-1,5=321-1,11=322-1,23=323-1,第n行有32n-1-1个点.,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,6.(2016浙江台州)如图,把一个菱形绕着它的对角线的交点旋转90, 旋转前后的两个菱形构成一个“星形”(阴影部分).若菱形的一个内角 为60,边长为2,则该“星形”的面积是 . 【解析】如图,作AHOB,菱形的内角为60,边长为2, ABO=30,OE=1,OB=,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,7.晚饭后,小聪和小军在社区广场散步,小聪问小军:“你有多高?”小军一时语塞.小聪思考片刻,提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高.于是,两人在灯下沿直线NQ移动,如图,当小聪正好站在广场的A点(距N点5块地砖长)时,其影长AD恰好为1块地砖长;当小军正好站在广场的B点(距N点9块地砖长)时,其影长BF恰好为2块地砖长.已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成,小聪的身高AC为1.6米,MNNQ,ACNQ,BENQ.请你根据以上信息,求出小军身高BE的长.(结果精确到0.01米),2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,解:由题意得CAD=MND=90,CDA=MDN, CADMND, MN=9.6. 又EBF=MNF=90,EFB=MFN, EBFMNF,EB1.75.小军的身高约为1.75米.,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,8.在平面直角坐标系中,我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“理想点”,例如点(-2,-4),(1,2),(3,6)都是“理想点”,显然这样的“理想点”有无数多个. (1)若点M(2,a)是反比例函数y= (k为常数,k0)图象上的“理想点”,求这个反比例函数的表达式. (2)函数y=3mx-1(m为常数,m0)的图象上存在“理想点”吗?若存在,请求出“理想点”的坐标;若不存在,请说明理由.,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,(2)假设函数y=3mx-1(m为常数,m0)的图象上存在“理想点”(x,2x), 则有3mx-1=2x, 整理得(3m-2)x=1,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,9.图1,图2为同一长方体房间的示意图,图3为该长方体的表面展开图. (1)蜘蛛在顶点A处. 苍蝇在顶点B处时,试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇,沿墙面爬行的最近路线. 苍蝇在顶点C处时,图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线,往天花板ABCD爬行的最近路线AGC和往墙面BBCC爬行的最近路线AHC,试通过计算判断哪条路线更近. (2)在图3中,半径为10 dm的M与DC相切,圆心M到边CC的距离为15 dm,蜘蛛P在线段AB上,苍蝇Q在M的圆周上,线段PQ为蜘蛛爬行路线,若PQ与M相切,试求PQ长度的范围.,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,解:(1)根据“两点之间,线段最短”可知: 线段AB为最近路线,如图1所示. 将长方体展开,使得长方形ABBA和长方形ABCD在同一平面内,如图2. 在RtABC中,B=90,AB=40,BC=60,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,将长方体展开,使得长方形ABBA和长方形BCCB在同一平面内,如图2. 在RtACC中, C=90,AC=70,CC=30,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,(2)过点M作MHAB于点H,连接MQ,MP,MA,MB,如图3. 半径为10 dm的M与DC相切,圆心M到边CC的距离为15 dm,BC=60 dm, MH=60-10=50,HB=15,AH=40-15=25. 根据勾股定理可得AM=,M与PQ相切于点Q, MQPQ,MQP=90,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,10.如图1,点P为MON的平分线上一点,以P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,如果APB绕点P旋转时始终满足OAOB=OP2,我们就把APB叫做MON的智慧角. (1)如图2,已知MON=90,点P为MON的平分线上一点,以P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,且APB=135. 求证:APB是MON的智慧角. (2)如图1,已知MON=(00)图象上的一个动点,过C的直线CD分别交x轴和y轴于A,B两点,且满足BC=2CA,请求出AOB的智慧角APB的顶点P的坐标.,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,
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