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第一部分 教材梳理,第2节 三角形与全等三角形,第四章 图形的认识（一）,知识要点梳理,概念定理,1. 与三角形有关的概念 (1)三角形：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角. (2)等边三角形：三边都相等的三角形. (3)等腰三角形：有两条边相等的三角形. (4)不等边三角形：三边都不相等的三角形. (5)在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.,(6)三角形分类： 按边分类：不等边三角形、等腰三角形(等边三角形是等腰三角形的特殊形式). 按角分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形. (7)三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. (8)三角形的高：从ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做ABC的边BC上的高. (9)三角形的中线：连接ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做ABC的边BC上的中线. (10)三角形的角平分线：画A的平分线AD，交A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做ABC的角平分线. (11)三角形的中位线：连接ABC的两边的中点，所得线段叫做ABC的中位线.三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半. (12)三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.,2. 与三角形有关的角 (1)三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180. (2)三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. (3)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. (4)三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. (5)三角形的外角和为360. 3. 三角形的面积 三角形的面积= 底高. 应用：经常利用两个三角形面积关系求底、高的比例关系或值.,4. 全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形. 5. 全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应边相等、对应角相等. (2)全等三角形的周长相等、面积相等. (3)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等.,6. 全等三角形的判定 (1)边边边：三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“SSS”). (2)边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“SAS”). (3)角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“ASA”). (4)角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“AAS”). (5)斜边直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“HL”).,方法规律,1. 三角形三边关系“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的运用 (1)在实际运用中，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形. (2)在实际运用中，已知两边，则第三边的取值范围为：两边之差第三边两边之和. (3)所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，注意检查每个答案能否组成三角形.,2. 证明三角形全等的思路分析,中考考点精讲精练,考点1 三角形的边及有关概念,考点精讲 【例1】(2014茂名)如图4-2-1，地面上有三个洞口A，B，C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及三个洞口(到A、B、C三个点的距离相等)，尽快抓到老 鼠，应该蹲守在 ( ) A. ABC三边垂直平分线的交点 B. ABC三条角平分线的交点 C. ABC三条高所在直线的交点 D. ABC三条中线的交点,解题指导：解此类题的关键是知道三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等. 解此类题要注意以下要点： (1)三角形的高、角平分线、中线等的概念和意义； (2)线段垂直平分线的性质.,思路点拨：根据题意，得知猫应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点. 答案：A,考题再现 1. (2014广东)一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为 ( ) A. 17 B. 15 C. 13 D. 13或17 2. (2014深圳)如图4-2-2，在RtABC中，C=90，AD平分CAB，AC=6，BC=8，CD= .,A,3,3. (2014梅州)如图4-2-3，在RtABC中，B=90，分别以A,C为圆心，大于 AC长为半径画弧，两弧相交于点M,N，连接MN，与AC，BC分别交于点D，E，连接AE，则： (1)ADE= ； (2)AE EC；(填“”“”或“=”) (3)当AB=3，AC=5时，ABE的周长= .,90,=,7,考题预测 4. 下列说法正确的是 ( ) A. 三角形三条高所在的直线交于一点 B. 有且只有一条直线与已知直线平行 C. 垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 D. 三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等 5. 下列说法正确的有 ( ) 等边三角形是等腰三角形；三角形的两边之差大于第三边；三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个,A,B,6. 如图4-2-4，ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，CAB=50，C=60，求DAE和BOA的度数.,解：CAB=50， C=60， ABC=180-50-60=70. 又AD是高， ADC=90. DAC=90-C=30. AE,BF是角平分线， CBF=ABF=35，EAF=25. DAE=DAC-EAF=5. AFB=C+CBF=60+35=95. BOA=EAF+AFB=25+95=120.,7. 如图4-2-5，AE，AD分别是ABC的高和角平分线，且B=40，C=60，求BAD和DAE的度数.,解：B=40，C=60， BAC=180-B-C=80. AD是ABC的角平分线， BAD=DAC= BAC=40. ADE=B+BAD=80. DAE=90-ADE=90-80=10.,考点2 三角形的内角和外角,考点精讲 【例2】(2014广州)ABC中，已知A=60，B=80，则C的外角的度数是 . 思路点拨：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解. 答案：140,解题指导：解此类题的关键是要掌握三角形的外角和内角的有关性质. 解此类题要注意以下要点： 三角形的外角性质之一：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.,考题再现 1. (2015绵阳)如图4-2-6，在ABC中，B，C的平分线BE，CD相交于点F，ABC=42，A=60，则BFC= ( ) A. 118 B. 119 C. 120 D. 121,C,2. (2012河源)如图4-2-7所示，在折纸活动中，小明制作了一张ABC纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将ABC沿着DE折叠压平，使点A与点N重合.若A=75，则1+2等于 ( ) A. 150 B. 210 C. 105 D. 75,A,考题预测 3. 如图4-2-8，把ABC纸片沿DE折叠，当点A在四边形BCDE的外部时，记AEB为1，ADC为2，则A,1与2的数量关系，结论正确的是 ( ) A. 1=2+A B. 1=2A+2 C. 1=22+2A D. 21=2+A 4. 如图4-2-9，在ABC中，B=40，三角形的外角DAC和ACF的平分线交于点E，则AEC= .,B,70,考点3 三角形的中位线,考点精讲 【例3】(2011茂名)如图4-2-10，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，若DE=5，则BC等于 ( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 思路点拨：利用三角形的中位线定理即可求得BC的长. 答案：C,解题指导：解此类题的关键是掌握三角形的中位线定理. 解此类题要注意以下要点： 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.,考题再现 1. (2014广东)如图4-2-11，在ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE= . 2. (2015广州)如图4-2-12，四边形ABCD中，A=90, AB= ，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 .,3,3,考题预测 3. 如图4-2-13，EF是ABC的中位线，O是EF上一点，且满足OE=2OF,则ABC的面积与AOC的面积之比为 ( ),D,4. 如图4-2-14，等边ABC的边长是2，D,E分别为AB,AC的中点，延长BC至点F，使CF= BC，连接CD和EF. (1)求证：DE=CF； (2)求EF的长.,(1)证明：D,E分别为AB,AC的中点， DE BC. 延长BC至点F，使CF= BC， DE FC，即DE=CF. (2)解：DE FC， 四边形DEFC是平行四边形.DC=EF. D为AB的中点，等边ABC的边长是2， BD= AB=1，CDAB，BC=2， DC= .EF=DC= .,考点4 全等三角形的性质和判定,考点精讲 【例4】(2013珠海)如图4-2-15，已知EC=AC，BCE=DCA, A=E.求证：BC=DC.,思路点拨：先求出ACB=ECD，再利用“角边角”证明ABC和EDC全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可. 证明：BCE=DCA， BCE+ACE=DCA+ACE， 即ACB=ECD. 在ABC和EDC中， ABCEDC(ASA). BC=DC.,解题指导：解此类题的关键是设法证出两个三角形全等. 解此类题要注意以下要点： 判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL. 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时， 角必须是两边的夹角.,考题再现 1. (2014深圳)如图4-2-16，ABC和DEF中，AB=DE, B=DEF，添加下列哪一个条件无法证明ABCDEF? ( ) A. ACDF B. A=D C. AC=DF D. ACB=F,C,2. (2014广州)如图4-2-17，ABCD的对角线AC,BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E,F，求证： AOECOF.,证明：四边形ABCD是平行四边形， OA=OC，ABCD. EAO=FCO. 在AOE和COF中， AOECOF(ASA).,3. (2013湛江)如图4-2-18，点B,F,C,E在一条直线上， FB=CE，ABED，ACFD，求证：AC=DF.,证明：FB=CE， FB+FC=CE+FC. BC=EF. ABED，ACFD， B=E，ACB=DFE. 在ABC和DEF中， ABCDEF(ASA). AC=DF.,考题预测 4. 如图4-2-19，已知ACEDBF，下列结论正确的个数有 ( ) AC=DB;AB=DC;1=2;AEDF;SACE=SDBF;BC=AE;BFEC. A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个,C,5. 如图4-2-20，OP平分MON，PEOM于点E，PFON于点F，OA=OB，则图中有 对全等三角形. 6. 如图4-2-21，已知AD是ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使AEDAFD，需添加一个条件： .,AE=AF(答案不唯一),3,7. 如图4-2-22，在RtABC中，AB=AC，D,E是斜边BC上两点，且DAE=45，将ADC绕点A顺时针旋转90后，得到AFB，连接EF.求证：AEDAEF.,证明：AFB是ADC绕点A顺时针旋转90得到的， AD=AF，FAD=90. 又DAE=45， FAE=90-DAE=90-45 =45=DAE. 在AED与AEF中， AEDAEF(SAS).,
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