2019-2020年高一数学 4.3任意角的三角函数（第一课时） 大纲人教版必修.doc

2019-2020年高一数学 4.3任意角的三角函数（第一课时） 大纲人教版必修教学目标(一)知识目标1.任意角三角函数的定义；2.三角函数的定义域.(二)能力目标1.理解并掌握任意角三角函数的定义；2.理解三角函数是以实数为自变量的函数；3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.(三)德育目标使学生通过任意角三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解.教学重点1.任意角三角函数的定义.2.正弦、余弦、正切函数的定义域.教学难点正弦、余弦、正切函数的定义域.教学方法讲授法1.通过三角函数定义的变化：从锐角三角函数到任意角三角函数，由边的比变为坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比，使学生在理解掌握定义的基础上，加深特殊与一般关系的理解.2.通过对定义的剖析，使学生对正弦、余弦、正切函数的定义域有比较深刻的认识，达到突破难点之目的.教具准备幻灯片两张第一张：课本P13图410(记作4.3.1 A)第二张：本课时教案后面的预习提纲(记作4.3.1 B)教学过程.课题导入师在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数，前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们来研究任意角的三角函数(板书课题).讲授新课师对于锐角三角函数，我们是在直角三角形中定义的，今天，对于任意角的三角函数，我们利用平面直角坐标系来进行研究.设是一个顶点在原点，始边在x轴非负半轴上的任意角(这点应该给学生强调清楚，课本上未做强调是不妥的)，的终边上任意一点P的坐标是（x，y）(非顶点).它与原点的距离是r(r0）(打出幻灯片4.3.1 A)注意：(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.(2)OP是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的.(3)角的终边只要不落在坐标轴上，就只能是如图所示四种位置中的一种.(4)角的终边不是不能落在坐标轴上，而是说落在坐标轴上的情况属于特殊情形，我们将在研究问题的过程中对其进行讨论.那么，(1)比值叫做的正弦，记作sin，即sin.(2)比值叫做的余弦，记作cos，即cos.(3)比值叫做的正切，记作tan，即tan.(4)比值叫做的余切，记作cot，即cot.(5)比值叫做的正割，记作sec，即sec.(6)比值叫做的余割，记作csc，即csc以上六种函数统称为三角函数.生三角函数是不是函数？师是.生既然是函数，那么对于一个确定的角，它的函数值就应该是确定的.为什么这里的定义，对于一个确定的角，函数值不确定呢？师哪个函数值不确定呢？生P是终边上任意一点，它的坐标(x,y)都是变量，它与原点O的距离r也是变量，这三个变量的六个比值是确定的吗？如果不是，那么对于一个确定角，它的某一三角函数值不是就有好多个吗？这不是说明定角的三角函数值不确定吗？师同学提出的问题很好！请大家都来考虑一下：确定的角，它的终边上任意一点P的坐标都是变量，它与原点的距离r也是变量，这三个变量的六个比值究竟是确定的还是变化的？（学生思考）生甲这六个比值都是确定的！比如锐角三角函数中，在锐角确定的Rt中.无论你把这个三角形画得多大或多小，三边中两两的比值不变.因为这些三角形相似.生乙无论P在什么位置，表示纵坐标的线段，表示横坐标的线段，以及它与原点的距离线段都组成一个直角三角形，根据相似三角形的知识.三个变量的六个比值都是确定的！师同学，甲、乙两位同学的解释你明白了吗？明白了.师那好！根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角，上述六个比值都不会随P点在的终边上的位置的改变而改变.当角的终边在纵轴上时，即k（kZ)时，终边上任意一点P的横坐标x都为0，所以tan、sec无意义；当角的终边在横轴上时，即k（kZ)时，终边上任意一点P的纵坐标y都为0，所以cot、csc无意义，除此之外，对于确定的角，上面的六个比值都是唯一确定的实数，这就是说，正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.注意：(1)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积.其余五个符号也是这样.(2)定义中只说怎样的比值叫做的什么函数，并没有说的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与的终边位置无关.(3)比值只与角的大小有关.师我们已经给出了任意角三角函数的定义，请同学们考虑并比较一下，我们给出的任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义，有什么联系与区别?生甲任意角的三角函数就包含锐角三角函数，实质上锐角三角函数的定义与任意角的三角函数的定义是一致的，锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例.生乙所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的.(学生不可能一下子回答得准确、完整，必要时，教师应给予一定的引导、启示).师两位同学回答得很好，即正弦函数值是纵坐标比距离，余弦函数值是横坐标比距离，(其余的由学生说出)生正切函数值是纵坐标比横坐标，余切函数值是横坐标比纵坐标，正割函数值是距离比横坐标，余割函数值是距离比纵坐标.师为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.师由于角的集合与实数集R之间是一一对应的，所以三角函数可以看成是以实数为自变量的函数.我们知道，函数有三个要素，即定义域、值域、对应法则，下面我们就来研究正弦、余弦、正切函数的定义域，值域问题待后再作研究.对于正弦函数sin，因为r0，所以恒有意义，即取任意实数，恒有意义，也就是说sin恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tan，因为x0时，无意义，即tan无意义，又当且仅当角的终边落在纵轴上时，才有x0，所以当的终边不在纵轴上时，恒有意义，即tan恒有意义，所以正切函数的定义域是k（kZ).(由学生填写下表) .例题分析例1已知角的终边经过点P(2，3)(如图)，求的六个三角函数值.解：x2，y3r于是sincostancotseccsc例2求下列各角的六个三角函数值.(1)0 (2) (3)解：(1)因为当0时，xr，y0，所以sin00 cos01tan00 cot0不存在sec01 csc0不存在(2)因为当时，xr，y0，所以sin0 cos1tan0 cot不存在sec1 csc不存在(3)因为当时，x0，yr，所以sin1 cos0tan不存在 cot0sec不存在 csc1.课堂练习课本P19练习 1、2、3.课时小结（由学生自己来做.这样能调动学生的积极思维，使学生及时回顾，加深印象）师本节课我们学习了哪些知识？生甲任意角三角函数的定义.（学生回答，教师板书）生乙正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域.生丙三角函数的定义域是由三角函数的定义分析得到的.生丁任意角三角函数是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比.生戊定义的记忆可用锐角三角函数类比记忆.（放开手让学生讲，尽量让学生讲，学生的积极性、主动性将得到有效调动）师很好！同学们下去以后，再把我们这节课所学的知识认真进行回顾归纳整理，要记住，重点是应用噢.课后作业（一）课本P20习题4.3 3、4、5.(作业说明，解答4、5题时，解答过程中将三角函数值直接写入计算过程即可).（二）1.预习内容课本P17P192.预习提纲(打出幻灯片4.3.1 B)(1)各种三角函数值在各象限的符号怎样易记?请寻求方法.(2)公式一的作用是什么?怎样记忆公式?(3)若证明A是B的充要条件，那么从AB是证明了命题的_性；从BA是证明了命题的_性.若证明A的充要条件是B，那么从AB是证明了命题的_性；从BA是证明了命题的_性.板书设计