2019年高考数学 五年高考真题分类汇编 第五章 数列专题汇编 理.doc

2019年高考数学 五年高考真题分类汇编 第五章 数列专题汇编 理一.选择题1.（xx福建高考理）已知等比数列an的公比为q，记bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m，cnam(n1)1am(n1)2am(n1)m(m，nN*)，则以下结论一定正确的是 ()A数列bn为等差数列，公差为qmB数列bn为等比数列，公比为q2mC数列cn为等比数列，公比为qm2D数列cn为等比数列，公比为qmm【解析】选C本题考查等比数列的定义与通项公式、等差数列前n项和的公式等基础知识，意在考查考生转化和化归能力、公式应用能力和运算求解能力等比数列an的通项公式ana1qn1，所以cnam(n1)1am(n1)2am(n1)ma1qm(n1)a1qm(n1)1a1qm(n1)m1aqm(n1)m(n1)1m(n1)m1aqm2(n1)aqm2(n1)，因为qm2，所以数列cn为等比数列，公比为qm2.2（xx辽宁高考理）下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列其中的真命题为 ()Ap1，p2 Bp3，p4 Cp2，p3 Dp1，p4【解析】选D本题主要考查等差数列的通项公式和数列单调性的判断，意在以数列为载体，考查考生对一次函数、二次函数和反比例函数的掌握情况设ana1(n1)ddna1d，它是递增数列，所以p1为真命题；若an3n12，则满足已知，但nan3n212n并非递增数列，所以p2为假命题；若ann1，则满足已知，但1是递减数列，所以p3为假命题；设an3nd4dna1d，它是递增数列，所以p4为真命题3（xx新课标高考理）设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m ()A3 B4 C5 D6【解析】选C本题考查等差数列的定义、通项公式和前n项和公式，意在考查考生通过等差数列的定义、通项公式、前n项和公式求解基本量的能力根据已知条件，得到am和am1，再根据等差数列的定义得到公差d，最后建立关于a1和m的方程组求解由Sm12，Sm0，Sm13，得amSmSm12，am1Sm1Sm3，所以等差数列的公差为dam1am321， 由得解得选C.4（xx新课标高考理）设AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，AnBnCn的面积为Sn，n1,2,3，.若b1c1，b1c12a1，an1an，bn1，cn1，则 ()ASn为递减数列B.Sn为递增数列CS2n1为递增数列，S2n为递减数列DS2n1为递减数列，S2n为递增数列【解析】选B本题考查三角形面积公式和归纳推理等知识，意在考查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，对考生的归纳推理能力、逻辑思维能力要求较高已知b1c1，b1c12a1，a2a1，故b2c1b1b1，c2b1c1c1，b2c2a12a1，b2c20，即b2c2，b2c2(b1c1)2b1c1b1c1.又a3a2a1，所以b3c2b2b2，c3b2c2c2，b3c32a22a1，b3c3c2b20，即b3c3，b3c3(b2c2)2b2c2b2c2b1c1.又AnBnCn的面积为Sn ，其中p(anbncn)，p(pan)和p2(bncn)p都为定值，bncn逐渐递增，所以数列Sn为递增数列，选择B.5（xx新课标高考理）等比数列an的前n项和为Sn.已知S3 a2 10a1 ，a59，则a1 () A. B C. D 【解析】选C本题考查等比数列的基本知识，包括等比数列的前n项和及通项公式，属于基础题，考查考生的基本运算能力由题知q1，则S3a1q10a1，得q29，又a5a1q49，则a1，故选C. 6（xx江西高考理）等比数列x,3x3,6x6，的第四项等于 ()A24 B0 C12 D24【解析】选A本题考查等比数列的通项以及等比数列的性质，意在考查考生的运算能力及对基础知识的掌握情况由等比数列的前三项为x,3x3,6x6，可得(3x3)2x(6x6)，解得x3或x1(此时3x30，不合题意，舍去)，故该等比数列的首项x3，公比q2，所以第四项为(6x6)q24.7（xx大纲卷高考理）已知数列an满足3an1an0，a2，则an的前10项和等于 ()A6(1310) B.(1310)C3(1310) D3(1310)【解析】选C本题考查等比数列的定义和前n项和公式由3an1an0得an1an，所以an为等比数列，公比为，由a2得a14，所以由等比数列前n项和公式得S103(1310)，故选C.8（xx安徽高考理）设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3，a72，则a9 ()A6 B4 C2 D2【解析】选A本题主要考查等差数列的基础知识和基本运算，意在考查考生的运算求解能力根据等差数列的定义和性质可得，S84(a3a6)，又S84a3，所以a60，又a72，所以a84，a96.9（xx大纲卷高考理）已知数列an满足 3an1an0，a2，则an的前10项和等于 ()A6(1310) B.(1310) C3(1310) D. 3(1310)【解析】选C本题主要考查等比数列的判定、等比数列的前n项和公式因为3an1an0，即，又a2，所以数列an是以a14为首项，q为公比的等比数列，所以S1031103(1310)10（xx新课标高考理）设首项为1，公比为的等比数列an的前n项和为Sn，则 ()ASn2an1 BSn3an2CSn43an DSn32an【解析】选D本题主要考查等比数列的前n项和公式，对基本计算能力有一定要求由等比数列前n项和公式Sn，代入数据可得Sn32an.11（xx辽宁高考文）下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列其中的真命题为 ()Ap1，p2 Bp3，p4 Cp2，p3 Dp1，p4【解析】选D本题主要考查等差数列的通项公式和数列单调性的判断，意在以数列为载体，考查考生对一次函数、二次函数和反比例函数的掌握情况设ana1(n1)ddna1d，它是递增数列，所以p1为真命题；若an3n12，则满足已知，但nan3n212n并非递增数列，所以p2为假命题；若ann1，则满足已知，但1是递减数列，所以p3为假命题；设an3nd4dna1d，它是递增数列，所以p4为真命题12（xx重庆高考理）在等差数列an中，a21，a45，则an的前5项和S5 ()A7 B15 C20 D25【解析】选B 数列an的公差d2，则a11，a57，可得S515.13（xx辽宁高考理）在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11 ( )A58 B88 C143 D176【解析】选B 因为an是等差数列，所以a4a82a616a68，则该数列的前11项和为S1111a688.14（xx四川高考理）设函数f(x)2xcos x，an是公差为的等差数列，f(a1)f(a2)f(a5)5，则f(a3)2a1a5 ()A0 B.2 C.2 D.2【解析】选D 设g(x)2xsin x，由已知等式得g(a1)g(a2)g(a5)0，则必有a30，即a3(否则若a30，则有(a1)(a5)(a2)(a4)2(a3)0，注意到g(x)是递增的奇函数，g(a3)0，g(a1)g(a5)g(a5)，g(a1)g(a5)0，同理g(a2)g(a4)0，g(a1)g(a2)g(a5)0，这与“g(a1)g(a2)g(a5)0”相矛盾，因此a30不可能；同理a30，a2a270，所以S1，S2，S50都是正数；当51n100，nN*时，同理S51，S52，S100也都是正数，所以正数的个数是100.16（xx大纲卷高考理）已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为 ()A. B. C. D.【解析】选A 设数列an的公差为d，则a14d5，S55a1d15，得d1，a11，故an1(n1)1n，所以，所以S10011.17（xx湖北高考理）定义在(，0)(0，)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”，现有定义在(，0)(0，)上的如下函数：f(x)x2; f(x)2x；f(x)； f(x)ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为 ()A B C D【解析】选C 设等比数列an的公比为q，则a的公比为q2， 的公比为，其余的数列不是等比数列18（xx浙江高考理）设Sn是公差为d(d0)的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是 ()A若d0，则数列Sn有最大项B若数列Sn有最大项，则d0C若数列Sn是递增数列，则对任意nN*，均有Sn0D若对任意nN*，均有Sn0，则数列Sn是递增数列【解析】选C A、B、D均正确，对于C，若首项为1，d2时就不成立19（xx福建高考理）等差数列an中，a1a510，a47，则数列an的公差 ()A1 B2 C3 D4【解析】选B 在等差数列an中，a1a510，2a310，a35，又a47，所求的公差为2.20（xx安徽高考理）公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a1116，则log2a10 ()A4 B5 C6 D7【解析】选B 由题意可知a3a11a16，因为an为正项等比数列，所以a74，所以log2a10log2(a723)log2255.21（xx新课标高考理）已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10 ()A7 B5 C5 D7【解析】选D 设数列an的公比为q，由得或所以或所以或所以a1a107.22（xx湖北高考文）定义在(，0)(0，)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”现有定义在(，0)(0，)上的如下函数：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为 ()A B C D【解析】选C 根据“保等比数列函数”的概念逐个判断若an是等比数列，则a，也是等比数列，2an不一定是等比数列，ln|an|不一定是等比数列23（xx四川高考文）设函数f(x)(x3)3x1，an是公差不为0的等差数列，f(a1)f(a2)f(a7)14，则a1a2a7 ()A0 B7 C14 D21【解析】选D f(a1)f(a2)f(a7)(a13)3(a23)3(a73)3(a13)(a23)(a73)1414，(a13)3(a23)3(a73)3(a13)(a73)0.(a13)3(a23)3(a73)37(a43)0.(a13)3(a73)3(a1a76)(a13)2(a73)2(a13)(a73)2(a43)(a43)227d2，其中该数列公差为d.同理(a23)3(a63)32(a43)(a43)212d2，(a33)3(a53)32(a43)(a43)23d2(a13)3(a23)3(a73)37(a43)2(a43)(a43)227d22(a43)(a43)212d22(a43)(a43)33d2(a43)37(a43)(a43)7(a43)284d270.d0，7(a43)284d270.a430，a43.a1a2a77a47321.24（xx辽宁高考文）在等差数列an中，已知a4a816，则a2a10 ()A12 B16 C20 D24【解析】选B 因为数列an是等差数列，所以a2a10a4a816.25（xx福建高考文）数列an的通项公式anncos ，其前n项和为Sn，则S2 012等于 ()A1 006 B2 012 C503 D0【解析】选A 由题意知，a1a2a3a42，a5a6a7a82，a4k1a4k2a4k3a4k42，kN，故S2 01250321 006.26（xx安徽高考文）公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a1116，则a5 ()A1 B2 C4 D8【解析】选A 因为a3a11a，又数列an的各项都是正数，所以解得a74，由a7a5224a5，求得a51.27（xx北京高考文）已知an为等比数列下面结论中正确的是 ()Aa1a32a2 Baa2aC若a1a3，则a1a2 D若a3a1，则a4a2【解析】选B 设公比为q，对于选项A，当a10)，因为所有AnBn平行且a11，a22，所以S梯形AnBnBn1An1S梯形A1B1B2A23m，当n2时，故aa，aa，aa，aa，以上各式累乘可得：a(3n2)a，因为a11，所以an.【答案】an46（xx重庆高考理）已知an是等差数列，a11，公差d0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8_.【解析】本题考查等差、等比数列的基本量运算，意在考查考生的基本运算能力因为an为等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，所以a1(a14d)(a1d)2，解得d2a12，所以S864.【答案】6447（xx新课标高考理）若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式是an_.【解析】本题考查等比数列的定义、Sn与an之间的关系，意在考查考生利用分类讨论思想和等比数列的定义求解an的能力求解本题时，按照n1和n2两种情况分类解答，当n2时，由已知得到Sn1an1，然后作差得an的表达形式，再利用等比数列的定义和通项公式求解当n1时，由已知Snan，得a1a1，即a11；当n2时，由已知得到Sn1an1，所以anSnSn1anan1, 所以an2an1，所以数列an为以1为首项，以2为公比的等比数列，所以an(2)n1.【答案】(2)n148. （xx新课标高考理）等差数列an的前n项和为Sn ，已知S100，S1525，则nSn 的最小值为_【解析】本题考查等差数列的前n项和公式以及通过转化利用函数的单调性判断数列的单调性等知识，对学生分析、转化、计算等能力要求较高由已知解得a13，d，那么nSnn2a1d.由于函数f(x)在x处取得极小值，因而检验n6时，6S648，而n7时，7S749.nSn 的最小值为49.【答案】4949（xx北京高考理）若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_.【解析】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查方程思想以及考生的运算求解能力由题意知q2，又a2a420，故a1qa1q320，解得a12，所以Sn2n12.【答案】22n1250（xx广东高考理）在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7_.【解析】本题主要考查等差数列，考查考生的运算能力利用等差数列的性质可快速求解因为a3a810，所以3a5a72(a3a8)20.【答案】2051（xx湖北高考理）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n.记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)n2n，正方形数 N(n,4)n2，五边形数 N(n,5)n2n，六边形数 N(n,6)2n2n，可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_.【解析】本题主要考查数列的相关知识，意在考查考生对等差数列的定义、通项公式的掌握程度N(n，k)akn2bkn(k3)，其中数列ak是以为首项，为公差的等差数列；数列bk是以为首项，为公差的等差数列；所以N(n,24)11n210n，当n10时，N(10,24)1110210101 000.【答案】1 00052（xx北京高考文）若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_.【解析】本题主要考查等比数列的基础知识，意在考查考生的计算能力由题知解得故Sn2n12.【答案】22n1253（xx重庆高考文）若2，a，b，c,9成等差数列，则ca_.【解析】本题主要考查等差数列的基本运算设公差为d，则d，所以ca2d.54（xx江苏高考文）在正项等比数列an中，a5，a6a73.则满足a1a2ana1a2an的最大正整数n的值为_【解析】本题主要考查等比数列的基本性质，意在考查学生的运算能力设等比数列an的公比为q(q0)由a5，a6a73，可得(qq2)3，即q2q60，所以q2，所以an2n6，数列an的前n项和Sn2n525，所以a1a2an(a1an)2，由a1a2ana1a2an可得2n5252，由2n52，可求得n的最大值为12，而当n13时，2825213不成立，所以n的最大值为12.【答案】1255（xx江西高考文）某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN*)等于_【解析】本题主要考查等比数列的概念与前n项和等基础知识，考查实际建模的能力以及分析、解决问题的能力设每天植树的棵数组成的数列为an，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得100，即2n51，而2532,2664，nN*，所以n6.【答案】656（xx广东高考文）设数列an是首项为1，公比为2的等比数列，则a1|a2|a3|a4|_.【解析】本题主要考查等比数列通项等知识，意在考查考生的运算求解能力依题意得a11，a22，a34，a48，所以a1|a2|a3|a4|15.【答案】1557（xx辽宁高考文）已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和若a1，a3是方程x25x40的两个根，则S6_.【解析】本题主要考查等比数列的性质、通项公式、求和公式，意在考查考生对等比数列公式的运用，以及等比数列性质的应用情况由题意得，a1a35，a1a34，由数列是递增数列得，a11，a34，所以q2，代入等比数列的求和公式得S663.【答案】6358（xx广东高考理）已知递增的等差数列|an|满足a11，a3a224，则an_.【解析】设等差数列an的公差为d，由已知得即解得由于等差数列an是递增的等差数列，因此所以ana1(n1)d2n1.【答案】2n159（xx江西高考理）设数列an，bn都是等差数列若a1b17，a3b321，则a5b5_.【解析】法一：设数列an，bn的公差分别为d1，d2，因为a3b3(a12d1)(b12d2)(a1b1)2(d1d2)72(d1d2)21，所以d1d27，所以a5b5(a3b3)2(d1d2)212735.法二：2a3a1a5,2b3b1b5，a5b52(a3b3)(a1b1)221735.【答案】3560（xx上海高考理）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，Vn，则lim,n (V1V2Vn)_.【解析】由条件可得正方体的体积组成以1为首项、为公比的等比数列，所以原式.【答案】61（xx四川高考理）记x为不超过实数x的最大整数例如，22，1.51，0.31，设a为正整数，数列xn满足x1a，xn1(nN*)现有下列命题：当a5时，数列xn的前3项依次为5,3,2；对数列xn都存在正整数k，当nk时总有xnxk；当n1时，xn 1；对某个正整数k，若xk1xk，则xk 其中的真命题有_(写出所有真命题的编号)【解析】对于，当a5时，x15，x23，x32，因此正确对于，当a3时，x13，x22，x31，x42，x51，x62，x71，此时数列xn除第一项外，从第二项起以后的项是以2为周期重复性出现的，此时不存在正整数k，使得当nk时，总有xnxk，不正确对于，注意到xnN*，且x1a，x1(1)a1()20，即x11，若xn是正奇数，则xn11；若xn是正偶数，则xn11，综上所述，当n1时，xn1成立，因此正确对于，依题意得知xk1xk0，xk0，即xk0，xkxk0，xk0，xk；又由得知xk1，于是有10a10，又数列an递增，所以q2.aa100(a1q4)2a1q9a1q2，所以数列an的通项公式为an2n.【答案】2n63（xx北京高考理）已知an为等差数列，Sn为其前n项和若a1，S2a3，则a2_；Sn_.【解析】设等差数列的公差为d，则2a1da12d，把a1代入得d，所以a2a1d1，Snna1dn(n1)【答案】1n(n1)64（xx浙江高考理）设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn.若S23a22，S43a42，则q_.【解析】S4S2a3a43(a4a2)，a2(qq2)3a2(q21)，解得q1(舍去)或q.【答案】65（xx福建高考理）数列an的通项公式anncos1，前n项和为Sn，则S2 012_.【解析】anncos1，a1a2a3a46，a5a6a7a86，a4k1a4k2a4k3a4k46，kN，故S2 01250363 018.【答案】3 01866（xx新课标高考理）数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为_【解析】由an1(1)nan2n1得an2(1)nan12n1(1)n(1)n1an2n12n1an(1)n(2n1)2n1，即an2an(1)n(2n1)2n1，也有an3an1(1)n(2n1)2n3，两式相加得anan1an2an32(1)n4n4.设k为整数，则a4k1a4k2a4k3a4k42(1)4k14(4k1)416k10，于是S60(a4k1a4k2a4k3a4k4)(16k10)1 830.【答案】1 83067（xx湖北高考文）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn可以推测：(1)bxx是数列an中的第_项；(2)b2k1_.(用k表示)【解析】求出数列an，bn的通项公式由题意可得an123n，nN*，故b1a4，b2a5，b3a9，b4a10，b5a14，b6a15，由上述规律可知：b2ka5k(k为正整数)，b2k1a5k1，故b2 012b21 006a51 006a5 030，即b2 012是数列an中的第5 030项.【答案】(1)5 030；(2)68（xx辽宁高考文）已知等比数列an为递增数列若a10，且2(anan2)5an1，则数列an的公比q_.【解析】因为数列an是等比数列，所以2(anan2)5an1可变为2(1q2)5q，也就是2q25q20，因为数列an是递增数列且a10，所以q1，解方程得q2或q(舍去)【答案】269（xx江苏高考文）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是_【解析】由题意得an(3)n1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以p.【答案】70（xx上海高考文）已知f(x).各项均为正数的数列an满足a11，an2f(an)若a2 010a2 012，则a20a11的值是_【解析】由题知an2，又a2 010a2 012，aa2 0101，又an0，a2 010，又a2 010，a2 008，同理可得a2 006a20，又a11，a3，a5，a7，a9，a11，a20a11.【答案】71（xx北京高考文）已知an为等差数列，Sn为其前n项和，若a1，S2a3，则a2_；Sn_.【解析】设公差为d，则由S2a3得2a1da12d，所以da1，故a2a1d1，Snna1d.【答案】172（xx广东高考文）若等比数列an满足a2a4，则a1aa5_.【解析】等比数列an中，因为a2a4，所以aa1a5a2a4，所以a1aa5.【答案】73（xx湖南高考文）对于nN*，将n表示为nak2kak12k1a121a020，当ik时，ai1，当0ik1时，ai为0或1.定义bn如下：在n的上述表示中，当a0，a1，a2，ak中等于1的个数为奇数时，bn1；否则bn0.(1)b2b4b6b8_；(2)设cm为数列bn中第m个为0的项与第m1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是_【解析】(1)2121020，b21；4122021020，b41；6122121020，b60；8123022021020，b81；故b2b4b6b83.(2)设bn中第m个为0的项为bi，即bi0，构造二进制数，(i)10(akak1a1a0)，则akak1a1a0中1的个数为偶数，当a2a1a0000时，bi11，bi21，bi30，cm2；当a2a1a0001时，bi11，bi20，cm1；当a2a1a0010时，bi11