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数字信号处理 总复习 Digital Signal Processing,康莉 深圳大学 信息工程学院,第一章 离散时间信号与系统,离散时间序列,典型的离散时间序列,（1）单位脉冲序列,定义,典型的离散时间序列,（2）移位（延时）单位脉冲序列,定义,典型的离散时间序列,（3）单位阶跃序列,定义,典型的离散时间序列,（4）矩形序列,定义,离散序列的运算,移位 翻褶 和 积 累加 差分 时间尺度变换 卷积和,正弦序列的周期性 ？ 解答办法： (1)计算 (2)看 是否为整数 (3)若为整数，是周期的，周期为 (4)若不是整数，但是一个有理数 ，则周期为N (5)若是一个无理数，如结果包含 ，则正弦信号不是周期函数,问题,什么叫线性移不变系统？（P20） 满足可加性 满足比例性 线性移不变系统什么时候是因果系统？ 充要条件：,任意序列都可表示为单位抽样序列的移位加权和,例: 用单位脉冲序列表示信号,抽样定理奈奎斯特定理 满足奈奎斯特定理的条件下，信号的重建不会产生频谱混叠，可精确重建原信号,第二章 z变换与离散时间傅立叶变换（DTFT）,z变换的定义z变换仅针对时域离散序列x(n)而言 z是一个复变量，可表示为,例：有限长序列： x(-1)=2, x(0)=1, x(1)=1.5, x(2)=-2, x(3)=0.5的z变换？,z变换的收敛域 z变换的零极点 零点使 的z值，即分子为零时z的取值 极点使 的z值，即分母为零时z的取值 相同的Z变换，收敛域不同，则对应的时间序列也不同。,几种序列的收敛域,1. 有限长序列至少是除 的有限z平面， 处是否收敛需单独考虑,2. 右边序列的收敛域半径为 的圆外， 是距离原点最远的极点的半径,几种序列的收敛域,3. 左边序列的收敛域半径为 的圆内， 是距离原点最近的极点的半径,几种序列的收敛域,4. 双边序列的收敛域,几种序列的收敛域,围线积分法（留数法） 部分分式展开 幂级数展开（长除法） 记忆老教材P54 表2-1,逆z变换,（部分分式展开法）举例1: 2 阶 z-变换,分子的阶小于分母 ( z-1)，没有更高阶的极点,举例1（续）,ROC 延伸到无穷 表明是右边序列,（部分分式展开法）举例2,利用长除法计算 Bo,举例2（续）,ROC 延伸到无穷 表明是一个右边序列,序列的z变换与连续信号的拉普拉斯变换的关系,S平面,z平面,z变换的性质,线性 时移 乘以指数 微分 时间反转 卷积,z变换的性质,初值定理 终值定理,离散时间傅立叶变换,变换对： 单位圆上序列的z变换序列的傅立叶变换离散时间傅立叶变换,需记忆的表格,新教材： P64：表2.1 几种序列的z-变换及其收敛域 P90：表2.2 z-变换的主要性质和定理 P99：表2.3 序列傅立叶变换的主要性质 P107：表2.4 一些常用的傅立叶变换对,第三章 离散傅立叶变换（DFT）,周期序列的傅立叶级数（DFS）,其中：,有限长序列的频域表示离散傅立叶变换,离散傅立叶变换的性质,教材P171表3.3 线性 序列的圆周移位 圆周卷积和线性卷积，条件： 圆周卷积和线性卷积的计算 圆周卷积和线性卷积的关系,共轭对称性,圆周共轭对称序列满足：,共轭对称性,圆周共轭反对称序列满足：,抽样z变换频域抽样理论,由频域抽样序列 还原得到的周期序列是原非周期序列的周期延拓序列，其周期为频域抽样点数N。,条件频域抽样点数N大于序列长度M 即,需要记忆的表格： 教材P171表3.3 需要理解的图表： 教材 P141 表3.1,第四章 快速傅立叶变换（FFT）,直接计算傅立叶变换的问题,计算量大，计算量为O(N2) 具体地，直接计算傅立叶变换时，需计算 复数乘法N 2次 复数加法N (N 1) 计算中，重复计算的项较多,快速傅立叶变换,降低运算量的思路(1)合并重复项，(2)利用对称性、周期性和可约性，将长序列的DFT变成短序列的DFT 快速傅立叶变换的计算量 复数乘法 复数加法 直接计算傅立叶变换与快速傅立叶变换的计算量的比较：,FFT的计算公式,按时间抽选的FFT算法特点,原位运算 倒位序规律 蝶形运算两节点的距离：2m1 的确定 存储单元的数目：序列需N个存储单元，系数需N/2个存储单元,一些符号的中文对应 傅立叶变换FT（连续时间、连续频率） 离散时间傅立叶变换DTFT 周期序列的离散傅立叶级数DFS 有限长序列的离散傅立叶变换DFT 快速傅立叶变换FFT,傅里叶变换形式的归纳,傅里叶变换 FT,傅里叶级数 DFS,序列的傅里叶变换DTFT,离散傅里叶变换DFT,周期序列的DFS,请总结出以下变换对公式 周期序列的DFS 序列的傅立叶变换（DTFT） 离散傅立叶变换（DFT） 快速傅立叶变换（FFT）,第五章 数字滤波器的基本结构,什么是IIR？什么是FIR？ 均针对单位冲激响应的序列长度而言 当单位冲激响应的序列h(n)是无限长时，是IIR 当单位冲激响应的序列h(n)是有限长时，是FIR,IIR滤波器的基本结构,IIR系统函数的表示：,IIR滤波器的基本结构,4种基本结构 直接I型 直接II型（典范型） 级联型 并联型,差分方程:,需N+M个 延时单元,直接型,实现N阶差分方程的直接I型结构,直接型（典范型）,只需实现N阶滤波器所需的最少的N个延时单元，故称典范型。,线性移不变系统交换级联子系统的次序，系统函数不变,思路：将系统函数按零极点因式分解:,级联型,并联型,各类型基本结构的特点,直接型特点： 系数对滤波器的性能控制作用不明显 极点对系数的变化过于灵敏，易出现不稳定或较大误差 运算的累积误差较大 直接II型所用延时单元（N）较直接I型少（N+M） 级联型 通过调整系数可单独调整零极点的位置而不影响其他零极点 运算的累积误差较小 具有最少的存储器 并联型 通过调整系数可单独调整极点位置，但不能单独调整零点位置 各并联基本节的误差互相不影响，故运算误差最小 可同时对输入信号进行运算，故运算速度最高,例：设IIR数字滤波器差分方程为： 试用四种基本结构实现此差分方程。,解：对差分方程两边取z变换，得系统函数：,得直接型结构：,典范型结构：,将H(z)因式分解：,得级联型结构：,将H(z)部分分式分解：,得并联型结构：,FIR滤波器的基本结构,FIR滤波器系统函数的表示：,对应的差分方程:,FIR滤波器的基本结构,5种基本结构： 横截型 级联型 频率抽样型 快速卷积型 线性相位型,横截型（卷积型、直接型）,差分方程:,级联型,N为偶数时，其中有一个 （N-1个零点）,将 H(z) 分解成实系数二阶因式的乘积形式:,频率抽样型,用内插公式表示的系统函数：,快速卷积结构,在满足以下条件的情况下，可用圆周卷积代替两序列的线性卷积，：,FIR滤波器具有严格线性相位的条件,FIR滤波器单位抽样响应h(n)为实数，,且满足：,偶对称：,或奇对称：,即对称中心在 (N-1) / 2处,则FIR滤波器的频率响应具有严格线性相位。,线性相位FIR滤波器的结构,第六章 无限长单位冲激响应滤波器 IIR的设计方法,数字滤波器的优点,精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能,数字滤波器的实现结构,IIR FIR,低通、高通、带通、带阻、全通滤波器,数字滤波器的技术指标,1.滤波器的频率响应 2.,：通带截止频率,：阻带截止频率,通带最大衰减：,阻带最小衰减：,频率响应的参量,幅度平方响应 相位响应 群延迟响应,全通系统的应用,级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器 任一因果稳定系统H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统Hmin(z)的级联 作为相位均衡器，校正系统的非线性相位，而不改变系统的幅度特性,用模拟滤波器设计IIR数字滤波器,为什么用模拟滤波器来设计IIR数字滤波器？ 因为模拟滤波器已有现成的设计方法 用模拟滤波器设计数字滤波器的方法有哪些： 冲激响应不变法混叠现象 阶跃响应不变法混叠现象，程度比冲激法轻微 双线性不变法不混叠,冲激响应不变法,优点,缺点,2.保持相位的线性关系： 线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器,频率响应混迭只适用于限带的低通、带通滤波器,1. h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应 时域逼近良好,变换方式,阶跃响应不变法,变换方式,1.阶跃响应不变法存在周期延拓和混叠现象。 2.混叠现象比冲激响应不变法要小。,特点,双线性不变法,解决混叠现象,双线性变换法原理,使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似。,双线性变换法的目的,变换方法,缺点：,1. 除了零频率附近， 与 之间严重非线性,2.线性相位模拟滤波器 非线性相位数字滤波器,3.若模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，则不会产生畸变,第七章 有限长单位冲激响应滤波器FIR的设计方法,加窗函数对频率响应的影响：,不连续点处边沿加宽, 形成过渡带，过渡带宽度（两肩峰之间的宽度）等于窗函数频率响应的主瓣宽度。,在 处出现肩峰值，两侧形成起伏振荡，振荡的幅度和大小取决于旁瓣的幅度和大小。称为 Gibbs效应,改变 N 只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。主瓣与旁瓣的相对比例由窗函数形状决定。,各种窗函数的选择,对窗函数的要求：,窗谱主瓣尽可能窄,以获得较陡的过渡带,尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度以减小肩峰和波纹,矩形窗函数,主瓣宽度最窄：,旁瓣幅度大,三角形（Bartlett）窗,主瓣宽度宽：,旁瓣幅度较小,汉宁（Hanning）窗（升余弦窗）,主瓣宽度宽：,旁瓣幅度小,海明（Hamming）窗（改进的升余弦窗）,主瓣宽度宽：,旁瓣幅度更小,布莱克曼（Blackman）窗（二阶升余弦窗）,主瓣宽度最宽：,旁瓣幅度最小,凯泽（Kaiser）窗,：第一类变形零阶 贝塞尔函数,窗函数与滤波器指标的关系,1. 阻带最小衰减只由窗形状决定,2. 过渡带宽则与窗形状和窗宽 N 都有关,窗函数法的设计步骤,给定理想滤波器的频率响应函数 及技术指标,求出理想的单位抽样响应,根据阻带衰减选择窗函数,计算频率响应 ，验算指标是否满足要求,根据过渡带宽度确定N值,求所设计的FIR滤波器的单位抽样响应,IIR和FIR数字滤波器的比较,IIR 滤波器,FIR 滤波器,h(n)无限长,h(n)有限长,极点位于z平面任意位置,滤波器阶次低,非线性相位,递归结构,不能用FFT计算,可用模拟滤波器设计,用于设计规格化的选频滤波器,极点固定在原点,滤波器阶次高得多,可严格的线性相位,一般采用非递归结构,可用FFT计算,设计借助于计算机,可设计成各种幅频特性和相频特性的滤波器,答疑安排： 时间：17周，周三、四下午：3：00-5：00 地点：南校区N710,