数字信号处理-程佩青第三版课件.ppt

程佩青第三版课件,第一章 离散时间信号与系统,学习目标,掌握序列的概念及其几种典型序列的定义,掌握序列的基本运算，并会判断序列的周期性。 掌握线性/移不变/因果/稳定的离散时间系统的概念并会判断，掌握线性移不变系统及其因果性/稳定性判断的充要条件。 理解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单位抽样响应。 了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特抽样定理，了解抽样的恢复过程。,1.1 离散时间信号序列,信号是传递信息的函数。针对信号的自变量和函数值的取值，可分为三种信号： （1）连续时间信号 -自变量取连续值，而函数值可连续可离散。当函数值是连续的，又常称模拟信号，如语音信号、电视信号等。 （2）离散时间信号 -自变量取离散值，而函数值连续。 （3）数字信号 -自变量和函数值均取离散值。它是信号幅度离散化了的离散时间信号。,离散时间信号是对模拟信号 xa(t) 进行等间隔采样获得的，采样间隔为T，得到：,一、离散时间信号序列的概念,这里 n 取整数。对于不同的 n 值，xa(nT) 是一个有序的数字序列，该数字序列就是离散时间信号。注意，这里的n取整数，非整数时无定义，另外，在数值上它等于信号的采样值，即,离散时间信号的表示方法：公式表示法、图形表示法、集合符号表示法，如,二、常用序列,1. 单位抽样序列(n),2. 单位阶跃序列u(n),(n)与u(n)之间的关系,令n-k=m，有,3. 矩形序列RN(n),N为矩形序列的长度,4. 实指数序列,，a为实数,a-1或-1a0,序列的幅值摆动,5. 正弦序列,式中，为数字域频率，单位为弧度。,如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到的，那么,为模拟角频率，单位为弧度/秒。T为信号的采样周期，fs为信号的采样频率。,6. 复指数序列,这里为数字域频率，单位为弧度。当 =0时，上式可表示成,上式还可写成,表明复指数序列具有以2为周期的周期性，在以后的研究中，频率域只考虑一个周期就够了。,7. 周期序列,如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：,例：,则称x(n)为周期序列，最小周期为N。,一般正弦序列的周期性,设,那么,如果,则,N，k均取整数,式中，A为幅度，0为数字域频率，为初相。,正弦序列的周期性讨论：,整数时，则正弦序列有周期，当k=1时，周期为,有理数时，设 =P/Q，要使N=(2/0)k=(P/Q)k为最小正整数，只有k=Q，即N=P 时，所以正弦序列的周期为P,无理数时，则正弦序列无周期。例如，,用单位采样序列来表示任意序列,三、 序列的运算,1. 序列的加法,同序号的序列值逐项对应相加,2. 序列的乘法,同序号的序列值逐项对应相乘,3. 序列的移位,当 n00 时，序列右移 延迟 当 n00 时，序列左移 超前,4. 序列的翻转,x(-n)是x(n)的翻转序列。x(-n)是以纵轴（n=0）为对称轴将序列x(n)加以翻转。,5. 尺度变换,6. 累加（等效积分）,7. 差分运算 前向差分 后向差分,8. 卷积和,等效为翻褶、移位、相乘和相加四个步骤。,1.2 线性移不变系统,在时域离散系统中，最重要、最常用的是线性时不变系统。,系统可定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一变换或运算，并用T表示，即,1.2.1 线性系统,若系统满足可加性与比例性,则称此系统为离散时间线性系统。,其中a、b为任意常数。,设,例,是线性系统。,证：,所以，此系统是线性系统。,例,所代表的系统不是线性系统。,证：,但是,所以，此系统不是线性系统。,增量线性系统,对增量线性系统，任意两个输入的差是两个输入差的线性函数,1.2.2 时不变系统（移不变系统）,若,则,n0为任意整数。,输入移动任意位（如n0位），其输出也移动这么多位，而幅值却保持不变。,例,证：,所以，此系统是时不变系统。,例,证：,所以，此系统不是时不变系统。,同理，可证明 所代表的系统不是时不变系统。,1.2.3 线性时不变系统输入与输出 之间的关系,一个既满足叠加原理，又满足时不变条件的系统，被称为线性时不变系统(linear shift invariant,LTI)。线性时不变系统可用它的单位抽样响应来表征。,单位取样响应，也称单位冲激响应，是指输入为单位冲激序列时系统的输出，一般用h(n)来表示：,根据线性系统的叠加性质,又根据时不变性质,设系统的输入用x(n)表示，而,因此，系统输出为,通常把上式称为离散卷积或线性卷积。这一关系常用符号“*”表示：,线性时不变系统的一个重要特性是它的输入与输出序列之间存在着线性卷积关系：,用单位取样响应h(n)来描述系统,线性卷积的计算,计算它们的卷积的步骤如下： (1)折叠：先在哑变量坐标轴k上画出x(k)和h(k)，将h(k)以纵坐标为对称轴折叠成 h(-k)。 (2)移位：将h(-k)移位n，得h(n-k)。当n为正数时，右移n；当n为负数时，左移n。 (3)相乘：将h(n-k)和x(k)的对应取样值相乘。 (4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。,例 已知x(n)和h(n)分别为：,和,a为常数，且1a，试求x(n)和h(n)的线性卷积。,计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面举例说明。,解 参看图，分段考虑如下：,(1)对于n4，且n-60，即46，且n-64，即64，即n10。,图解说明,图解说明,(2)在0n4区间上,(3)在4n6区间上,(4)在6n10区间上,综合以上结果，y(n)可归纳如下：,卷积结果y(n)如图所示,例,设有一线性时不变系统，其单位取样响应为,解：,分段考虑如下：,(1)对于n0； (2)对于0n N1； (3)对于nN。,(2)在0nN 区间上,(3)在nN 区间上,例,设有一线性时不变系统，其,解：,对有限长序列相卷，可用竖乘法,注：1. 各点要分别乘、分别加且不跨点进位； 2. 卷和结果的起始序号等于两序列的起始序号之和。,由上面几个例子的讨论可见，,设x(n)和h(n)两序列的长度分别是N 和M ，线性卷积后的序列长度为(N + M -1)。,线性卷积满足以下运算规律：,交换律,结合律,分配律,序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序列本身：,如果序列与一个移位的单位取样序列(n-n0)进行线性卷积，就相当于将序列本身移位n0：,例,求系统的输出y(n)。,m(n),解：设级联的第一个系统输出 m(n),1.2.4 系统的因果性和稳定性,在系统中，若输出y(n)只取决于n时刻，以及n时刻以前的输入，即,称该系统是因果系统。,对于线性时不变系统，具有因果性的充要条件是系统的单位取样响应满足：,如,因果系统是指输出的变化不领先于输入的变化的系统。,稳定系统,对一个线性时不变系统来说，系统稳定的充要条件是单位取样响应绝对可和，即,稳定系统是指对于每个有界输入x(n)，都产生有界输出y(n)的系统。即如果|x(n)|M(M为正常数)，有|y(n)|+，则该系统被称为稳定系统。,例,设某线性时不变系统，其单位取样响应为,式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。,解：,由于n0时，h(n)=0，故此系统是因果系统。,所以 时，此系统是稳定系统。,例,设某线性时不变系统，其单位取样响应为,式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。,解：(1)讨论因果性,由于n0时，h(n)0，故此系统是非因果系统。,(2)讨论稳定性,所以 时，此系统是稳定系统。,1.3 线性常系数差分方程,一个N 阶线性常系数差分方程用下式表示：,连续时间线性时不变系统 线性常系数微分方程,求解差分方程的基本方法有三种：,经典法,求齐次解、特解、全解,递推法,求解时需用初始条件启动计算,变换域法,将差分方程变换到Z域进行求解,例,设差分方程为,求输出序列,设系统参数,设输入为,初始条件为,解：,依次类推,差分方程表示法的另一优点是可以直接得到系统的结构,1.4 连续时间信号的抽样,信号经过采样以后，将发生一些什么变化？例如，信号频谱将发生怎样变化； 经过采样后信号内容会不会有丢失； 如果信号没有被丢失，其反变换应该怎样进行，即由数字信号恢复成模拟信号应该具备那些条件等。,1.4.1 采样,理想采样,一、理想采样,定义,单位冲击函数,t,0, (t),(1),单位冲击函数有一个重要的性质：,采样性,若f(t)为连续函数，则有,将上式推广，可得,t0, (t-t0),二、频谱的周期延拓,即,即,由于 是周期函数,可用傅立叶级数表示，即,采样角频率,系数,对称性,移频特性,根据,采样信号的傅氏变换为,即,采样信号的频谱是原模拟信号频谱的周期延拓，其延拓周期为s 。,讨论：,称Nyquist采样率,称折叠频率,称Nyquist范围,采样定理 ：,要想采样后能够不失真地还原出原信号，则采样频率必须大于两倍原信号频谱的最高截止频率s2C。,由上面的分析有，频谱发生混叠的原因有两个： 1.采样频率低 2.连续信号的频谱没有被限带,可选s =(34)C,频域分析,且在 时，,1.4.2 采样的恢复,时，,时域分析,g(t),时，,0,T,或,称为内插函数,采样内插公式,采样内插公式说明：只要满足采样频率高于两倍信号最高截止频率，则整个连续时间信号就可以用它的采样值来完全代表，而不会丢失任何信息。,内插函数,采样的内插恢复,第二章 z变换和DTFT,本章主要内容：,1、z变换的定义及收敛域 2、z变换的反变换 3、z变换的基本性质和定理 4、离散信号的DTFT 5、z变换与DTFT的关系 6、离散系统的z变换法描述,2.1 z变换的定义及收敛域,信号和系统的分析方法有两种： 时域分析方法 变换域分析方法 连续时间信号与系统 LT FT 离散时间信号与系统 ZT FT,一、ZT的定义,z 是复变量，所在的复平面称为z平面,二、ZT的收敛域,对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。 级数收敛的充要条件是满足绝对可和,1）有限长序列,除0和两点是否收敛与n1和n2取值情况有关外，整个z 平面均收敛。,如果n20 ，则收敛域不包括点 如果n10 ，则收敛域不包括0点 如果n10n2，收敛域不包括0 、点,2）右边序列,因果序列的z变换必在处收敛 在处收敛的z变换， 其序列必为因果序列,3）左边序列,4）双边序列,例1,收敛域应是整个z的闭平面,例2：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域,例3：求x(n)=anu(n)的变换及其收敛域,例4：求x(n)=-anu(-n-1)的变换及其收敛域,例5：求x(n)=a|n|，a为实数，求ZT及其收敛域,给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。 X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故： 右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外 左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内,2.2 z反变换,实质：求X(z)幂级数展开式 z反变换的求解方法： 围线积分法（留数法） 部分分式法 长除法,z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n),1、围数积分法求解（留数法）,若函数X(z)zn-1在围数C上连续，在C以内有K个极点zk，而在C以外有M个极点zm，则有：,1、围数积分法求解（留数法）,根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域 内是解析的，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即 而 其中围线c是在X(z)的环状 收敛域内环绕原点的一条 反时针方向的闭合单围线。,若F(z)在c外M个极点zm，且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则：,利用留数定理求围线积分，令,若F(z)在围线c上连续，在c内有K个极点zk，则：,单阶极点的留数：,思考：n=0,1时，F(z)在围线c外也无极点，为何,2、部分分式展开法求解IZT ：,常见序列的ZT参见书p.54页的表2-1,若函数X(z) 是z的有理分式，可表示为：,利用部分分式的z反变换和可以得到函数X(z) 的z反变换。,例2 设 利用部分分式法求z反变换。,解：,3、幂级数展开法求解（长除法）:,一般X(z)是有理分式，可利用分子多项式除分母多项式（长除法法）得到幂级数展开式，从而得到x(n)。,根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应的z的幂级数 将X(z) X(z)的 x(n) 展成z的 分子分母 按z的 因果序列 负幂级数 降幂排列 左边序列 正幂级数 升幂排列,例1,ROC1:,长除法示例,解：由Roc判定x(n)是因果序列，用长除法展成z的负幂级数,ROC2:,解：由Roc判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的正幂级数,解：X(z)的Roc为环状，故x(n)是双边序列 极点z=1/4对应右边序列，极点z=4对应左边序列 先把X(z)展成部分分式,1、线性性,2.3 Z变换的基本性质和定理,R1R2,R,|a|R,R,2、序列的移位,3、z域尺度变换 （乘以指数序列）,4、 z域求导 （序列线性加权）,Z变换的基本性质（续）,5、翻褶序列,1/R,R,6、共轭序列,7、初值定理,8、终值定理,Z变换的基本性质（续）,9、有限项累加特性,ZT的主要性质参见书p.69页的表2-2,10、序列的卷积和,11、序列乘法,12、帕塞瓦定理,2.4 序列ZT、连续信号LT和FT的关系,若：,连续信号采样后的拉氏变换LT,抽样序列：,当,两变换之间的关系，就是由复变量s平面到复变量z平面的映射，其映射关系为,对比：,进一步讨论这一映射关系：,1,s平面到z平面的 映射是多值映射。,:,:,:,:,抽样序列在单位圆上的z变换，就等于其理想抽样信号的傅里叶变换,数字频率w表示z平面的辐角，它和模拟角频率W的关系为,在以后的讨论中，将用数字频率w来作为z平面上单位圆的参数，即,所以说，数字频率是模拟角频率的归一化值，或是模拟频率对抽样频率的相对比值乘以2p,2.5 离散信号的付氏变换DTFT,一、DTFT的定义,变换对：,称为离散时间傅里叶变换（DTFT）。,FT存在的充分必要条件是：,如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来。,二、比较ZT和DTFT的定义：,利用ZT和DTFT的关系可以有ZT计算DTFT。,序列的傅里叶变换是序列的z变换在单位圆上的值,例1、计算门序列的DTFT,(类似Sa(.)函数 ),(线性相位),解：,DTFT,幅频特性：,相频特性：,图示说明：,例2、已知 ( ),计算其DTFT。,由此可以得到FT的幅频特性和相频特性,三、FT与DTFT的关系,归一化,利用FT与DTFT关系计算下列序列的 DTFT,例：,解：1）,2）,3）,2.6 DTFT的一些性质,1、线性性：,2、实序列：,实偶性：,实奇性：,3、时移特性：,4、乘以指数序列 （调制性）,5、序列线性加权,6、序列翻褶,7、序列共轭,8、卷积定理： (时域) (频域),DTFT的主要性质参见书p.78页的表2-3,9、帕塞瓦尔定理：(Parseval Theory),频域卷积在一周期内积分,称周期卷积。,下面举例说明DTFT性质的使用。 计算下列积分I的值。,解：根据,利用时域卷积定理有：,上式卷积n=0时就是积分I的值。,2.7 周期性序列的DTFT,1、复指数序列的傅里叶变换,复指数序列ejw0n的傅里叶变换，是以w0为中心，以2p的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面积为2p 思考，DTFTcos(w0n+f)、 DTFTsin(w0n+f),2、常数序列的傅里叶变换,常数序列的傅里叶变换，是以w=0为中心，以2p的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面积为2p,3、周期为N的抽样序列串的傅里叶变换,周期为N的周期性抽样序列，其傅里叶变换是频率在w=2p/N的整数倍上的一系列冲激函数之和，这些冲激函数的积分面积为2p/N,4、一般性的周期为N的周期性序列的傅里叶变换,即：,周期性序列 （周期为N）的傅里叶变换是一系列冲激函数串，其冲激函数的积分面积等于 乘以 ，而 是x(n) 的一个周期的傅里叶变换X(ejw)在频域中w= 2p/N的整数倍的各抽样点上的抽样值。,e满足0e 2p/N,从w=0之前开始抽样； 在w=2p之间结束抽样； 此区间共有N个抽样值： 0kN-1,周期序列的DFS正变换和反变换,周期序列的傅里叶级数（DFS）,其中：,2.8 Fourier变换的对称性质,共轭对称序列：,共轭反对称序列：,任意序列可表示成xe(n)和xo(n)之和:,其中：,定义：,其中：,同样，x(n)的Fourier变换 也可分解成：,对称性质,序列 Fourier变换,实数序列的对称性质,序列 Fourier变换,实数序列的Fourier变换满足共轭对称性,实部是的偶函数 虚部是的奇函数,幅度是的偶函数 幅角是的奇函数,2.9 离散系统的系统函数、系统的频率响应,LSI系统的系统函数H(z)： 单位抽样响应h(n)的z变换,其中：y(n)=x(n)*h(n) Y(z)=X(z)H(z),系统的频率响应 ：,单位圆上的系统函数,单位抽样响应h(n)的DTFT,1、若LSI系统为因果稳定系统,稳定系统的系统函数H(z)的Roc须包含单位圆， 即频率响应存在且连续,H(z)须从单位圆到的整个z域内收敛即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆内,1）因果：,2）稳定：,序列h(n)绝对可和，即,而h(n)的z变换的Roc：,3）因果稳定：Roc：,2、系统函数与差分方程,常系数线性差分方程：,取z变换,则系统函数,3、系统的频率响应的意义,1）LSI系统对复指数序列的稳态响应：,2）LSI系统对正弦序列的稳态响应,输出同频 正弦序列 幅度受频率响应幅度 加权 相位为输入相位与系统相位响应之和,3）LSI系统对任意输入序列的稳态响应,其中：,微分增量（复指数）：,4、频率响应的几何确定法,利用H(z)在z平面上的零极点分布,频率响应：,则频率响应的,令,幅角：,幅度：,零点位置影响凹谷点的位置与深度 零点在单位圆上，谷点为零 零点趋向于单位圆，谷点趋向于零 极点位置影响凸峰的位置和深度 极点趋向于单位圆，峰值趋向于无穷 极点在单位圆外，系统不稳定,5、IIR系统和FIR系统,无限长单位冲激响应（IIR）系统： 单位冲激响应h(n)是无限长序列,有限长单位冲激响应（FIR）系统： 单位冲激响应h(n)是有限长序列,IIR系统：至少有一个,FIR系统：全部,全极点系统（自回归系统，AR系统） ：分子只有常数项,零极点系统（自回归滑动平均系统，ARMA系统）: 分子不止常数项,收敛域 内无极点，是全零点系统,（滑动平均系统，MA系统）,IIR系统：至少有一个,有反馈环路，采用递归型结构,FIR系统：全部,无反馈环路，多采用非递归结构,Homework：P831(1)(2)(3) 3(1) 7 10 14 18,第三章 离散傅里叶变换,主要内容,离散傅里叶级数（DFS） 离散傅里叶变换（DFT） 抽样z变换频域抽样理论,3.1 引言,傅里叶变换的几种形式：,连续时间、连续频率傅里叶变换,连续时间、离散频率傅里叶级数,离散时间、连续频率序列的傅里叶变换,离散时间、离散频率离散傅里叶变换,FT,3.2 傅里叶变换的几种可能形式,FS,时域周期化，频域离散化,时域离散化，频域周期化。,DTFT,但是，前三种傅里叶变换对都不适于计算机上运算，因为它们至少在一个域（时域或频域）中函数是连续的。 因此，我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况。,若时域离散并周期化，频域周期化并离散化。,四种傅里叶变换形式的归纳,3.3 离散傅里叶级数DFS ( Discrete Fourier Series ),连续周期信号:,周期序列 ( r 为整数, N 为周期),周期序列的DFS正变换和反变换：,其中：,一般性的周期为N的周期性序列的傅里叶变换,可看作是对 的一个周期 做z变换然后将z变换在z平面单位圆上按等间隔角 抽样得到,DFS的图示说明,2、序列的移位,3、调制特性,3.4 离散傅里叶级数的性质FS性,1、线性：,其中， 为任意常数,若,则,4、对偶性,证：,5、周期卷积和,若,则,讨论: 周期卷积与线性卷积的区别在于：周期卷积求和只在一周期内进行。(注意周期信号的线性卷积不存在),式中的卷积称为周期卷积,同样，利用对称性,若,则,3.5 离散傅里叶变换 有限长序列的离散频域表示,在进行DFS分析时，时域、频域序列都是无限长的周期序列 周期序列实际上只有有限个序列值有意义 长度为N的有限长序列可以看成周期为N的周期序列的一个周期（主值序列） 借助DFS变换对，取时域、频域的主值序列可以得到一个新的变换DFT，即有限长序列的离散傅里叶变换,另外一种写法是,其中 表示对 n 取模N 运算(或模 N的余数)。,对周期信号而言, 或 。,举例：设周期为 N=6。则有周期序列和求余运算： 或 这是因为： (19=36+1) 同理 或 这是因为： (-2=-16+4),同样：X(k)也是一个N点的有限长序列,有限长序列的DFT定义式,关于离散傅里叶变换(DFT)：,序列x(n)在时域是有限长的(长度为N)，它的离散傅里叶变换X(k)也是离散、有限长的(长度也为N)。 n为时域变量，k为频域变量。 离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别，DFT实际上是离散傅里叶级数的主值，DFT也隐含有周期性。 离散傅里叶变换(DFT)具有唯一性。 DFT的物理意义：序列x(n)的Z变换在单位圆上的等角距取样。,x(n)的N点DFT是 x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样； x(n)的DTFT在区间0,2上的N点等间隔抽样。,例1、计算 (N=12)的N点DFT. 解：,N=4点的DFT？,3.6 离散傅里叶变换的性质,1、线性,这里，序列长度及DFT点数均为N 若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度相等，均为N，且,若,则,有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。 时域序列的调制等效于频域的圆周移位,2、圆周移位,其中 ；同理可证另一公式。,证：,推论：,从图中两虚线之间的主值序列的移位情况可以看出： 当主值序列左移m个样本时，从右边会同时移进m个样本 好像是刚向左边移出的那些样本又从右边循环移了进来 因此取名“循环移位”。 显然，循环移位不同于线性移位,若,则,证：,3、对偶性,4、圆周共轭对称性,其中：,共轭反对称分量：,共轭对称分量：,任意周期序列：,定义：,则任意有限长序列：,圆周共轭反对称序列：,圆周共轭对称序列：,设N点复数序列,证明：,则,同理可证明：,序列 DFT,共轭对称性,序列 DFT,实数序列的共轭对称性,纯虚数序列的共轭对称性,例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT:,五、Parseval Theory,若令 y(n) = x(n),表明序列时域、频域能量相等,六、圆周卷积和,圆周卷积A：设,则,实际上，圆周卷积为周期卷积的主值序列。即,圆周卷积B：设,圆周卷积记为,N,N,圆周卷积过程： 1）补零 2）周期延拓 3）翻褶，取主值序列 4）圆周移位 5）相乘相加,两个N点序列的N点圆周卷积得到的结果仍为N点序列。,m N-m 1 N-1 2 N-2 N-3 ,讨论1:圆周卷积的物理意义图示说明,讨论2:圆周卷积与线性卷积：,1) 设,有限长(N点),有限长(M点),则线性卷积,有限长(N+M-1),2) 而作长度为L的圆周卷积，即,(周期卷积),其中,L,则,(补零),存在交叠现象,这就是利用DFT计算线性卷积的方法和要求，即可以选择长度大于等于线性卷积的两序列长度之和的DFT运算计算线性卷积。,讨论3:周期卷积、圆周卷积与线性卷积, 周期卷积与圆周卷积的差别在于：周期卷积是线性卷积的周期延拓；而圆周卷积是取周期卷积的主值序列。 作圆周卷积 时，应先将两者“补零”至长度为L点的序列后进行圆周卷积。而周期卷积是指两者皆为长度为L点的周期序列(即周期延拓)的。 线性卷积的DFT计算方法要求DFT点数 L=N+M+1。, 物理意义不同，周期卷积是周期信号运算与DFS系数运算的关系；圆周卷积是有限序列运算与DFT变换结果运算的关系（后面将说明这是有限序列运算与对应的频谱运算的关系）。,七、线性相关与圆周相关,线性相关：,自相关函数：,相关函数不满足交换率：,相关函数的z变换：,相关函数的频谱：,圆周相关定理,第四章 快速傅里叶变换 （FFT）,主要内容,DIT-FFT算法 DIF-FFT算法 IFFT算法 Chirp-FFT算法 线性卷积的FFT算法,4.1 引言,FFT: Fast Fourier Transform 1965年，Cooley-Turky 发表文章机器计算傅里叶级数的一种算法，提出FFT算法，解决DFT运算量太大，在实际使用中受限制的问题。 FFT的应用。频谱分析、滤波器实现、实时信号处理等。 DSP芯片实现。TI公司的TMS 320c30，10MHz时钟，基2-FFT1024点FFT时间15ms。,典型应用：信号频谱计算、系统分析等,系统分析,频谱分析与功率谱计算,4.2 直接计算DFT的问题及改进途径,1、 DFT与IDFT,2、DFT与IDFT运算特点,同理：IDFT运算量与DFT相同。,3、降低DFT运算量的考虑,FFT算法分类:,时间抽选法 DIT: Decimation-In-Time 频率抽选法 DIF: Decimation-In-Frequency,4.3 按时间抽取（DIT）的FFT算法,（Decimation In Time）,1、算法原理 设序列点数 N = 2L，L 为整数。 若不满足，则补零,将序列x(n)按n的奇偶分成两组：,N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法。,将N点DFT定义式分解为两个长度为N/2的DFT,记： （1）,再利用周期性求X(k)的后半部分,将上式表达的运算用一个专用“蝶形”信流图表示。,注：a. 上支路为加法，下支路为减法； b. 乘法运算的支路标箭头和系数。,用“蝶形结”表示上面运算的分解：,分解后的运算量：,运算量减少了近一半,进一步分解,由于 ， 仍为偶数，因此，两个 点 DFT又可同样进一步分解为4个 点的DFT。,“蝶形”信流图表示,N点DFT分解为四个N/4点的DFT,类似的分解一直继续下去，直到分解为最后的两类蝶形运算为止(2点DFT). 如上述N=8=23，N/4=2点中：,类似进一步分解,进一步简化为蝶形流图：,因此8点FFT时间抽取方法的信流图如下,FFT运算量与运算特点,1 N=2L时，共有L=log2N级运算；每一级有N/2个蝶形结。 2每一级有N个数据中间数据），且每级只用到本级的转入中间数据，适合于迭代运算。 3计算量： 每级N/2次复乘法，N次复加。（每蝶形只乘一次，加减各一次）。共有L*N/2=N/2log2N 次复乘法；复加法L*N=Nlog2N 次。与直接DFT定义式运算量相比(倍数) N2/(Nlog2N) 。当 N大时，此倍数很大。,比较DFT,参考P150 表4-1 图4-6,可以直观看出，当点数N越大时，FFT的优点更突出。,按时间抽取FFT蝶形运算特点,1、关于FFT运算的混序与顺序处理（位倒序处理） 由于输入序列按时间序位的奇偶抽取，故输入序列是混序的，为此需要先进行混序处理。 混序规律： x(n)按n位置进行码位（二进制）倒置规律输入，而非自然排序，即得到混序排列。所以称为位倒序处理。 位倒序实现： （1）DSP实现采用位倒序寻址 （2）通用计算机实现可以有两个方法：一是严格按照位倒序含义进行；二是倒进位的加N/2。,倒位序,例 计算 ， 。计算 点FFT。用时间抽取输入倒序算法，问倒序前寄存器的数 和倒序后 的数据值？,解：倒序前 倒序 倒序为 倒序后,DIT FFT中最主要的蝶形运算实现,（1）参与蝶形运算的两类结点（信号）间“距离”（码地址）与其所处的第几级蝶形有关；第m级的“结距离”为 (即原位计算迭代） （2）每级迭形结构为,蝶形运算两节点的第一个节点为k值，表示成L位二进制数，左移L m位，把右边空出的位置补零，结果为r的二进制数。,（3） 的确定： 第m级的r取值：,DIT算法的其他形式流图,输入倒位序输出自然序 输入自然序输出倒位序 输入输出均自然序 相同几何形状 输入倒位序输出自然序 输入自然序输出倒位序,参考P154-155,时间抽取、 输入自然顺序、 输出倒位序的FFT流图,例 用FFT算法处理一幅NN点的二维图像，如用每秒可做10万次复数乘法的计算机，当N=1024时，问需要多少时间（不考虑加法运算时间）？ 解 当N=1024点时，FFT算法处理一幅二维图像所需复数乘法约为 次，仅为直接计算DFT所需时间的10万分之一。 即原需要3000小时，现在只需要2 分钟。,4.4 按频率抽取（DIF）的FFT算法,与DIT-FFT算法类似分解，但是抽取的是X(k)。即分解X(k)成奇数与偶数序号的两个序列。 设： N = 2L，L 为整数。将X(k)按k的奇偶分组前，先将输入x(n)按n的顺序分成前后两半：,（Decimation In Frequency),一、算法原理,下面讨论,按k的奇偶将X(k)分成两部分：,显然：,令：,用蝶型结构图表示为：,N/2仍为偶数，进一步分解：N/2 N/4,按照以上思路继续分解，即一个N/2的DFT分解成两个N/4点DFT，直到只计算2点的DFT，这就是DIF-FFT算法。,2个1点的DFT蝶形流图,进一步简化为蝶形流图：,二、按频率抽取FFT蝶形运算特点,1）原位计算,L级蝶形运算，每级N/2个蝶形，每个蝶形结构：,m表示第m级迭代，k，j表示数据所在的行数,2）蝶形运算,对N=2L点FFT，输入自然序，输出倒位序， 两节点距离：2L-m=N / 2m,第m级运算：,蝶形运算两节点的第一个节点为k值，表示成L位二进制数，左移m-1位，把右边空出的位置补零，结果为r的二进制数。,存储单元,输入序列x(n) : N个存储单元,系数 ：N / 2个存储单元,三、DIT与DIF的异同,基本蝶形不同,DIT: 先复乘后加减,DIF: 先减后复乘,运算量相同,都可原位运算,DIT和DIF的基本蝶形互为转置,4.5 IDFT的FFT算法 （FFT应用一）,一、从定义比较分析,与DFT的比较： 1）、旋转因子WN-kn 的不同； 2）、结果还要乘 1/N。,二、实现算法直接使用FFT程序的算法,直接调用FFT子程序计算IFFT的方法：,4.6 线性调频Z变换（Chirp-Z变换）算法 （FFT应用二）,单位圆与非单位圆采样 （a） 沿单位圆采样; (b) 沿AB弧采样,螺线采样,zk=AW-k k=0, 1, , M-1,Chirp-Z变换的线性系统表示,由于系统的单位脉冲响应 可以想象为频率随时间(n)呈线性增长的复指数序列。在雷达系统中,这种信号称为线性调频信号（Chirp Signal），因此，这里的变换称为线性调频Z变换。,一、基本算法思路,4.7 线性卷积的FFT算法 （FFT应用三）,若L点x(n)，M点h(n)， 则直接计算其线性卷积y(n),需运算量：,若系统满足线性相位，即：,则需运算量：,FFT法：以圆周卷积代替线性卷积,N,总运算量： 次乘法,比较直接计算和FFT法计算的运算量,讨论：,1）当,2）当,x(n)长度很长时，将x(n)分为L长的若干小的片段，L与M可比拟。,1、重叠相加法,则：,输出：,其中：,可以用圆周卷积计算：,选 ，上面圆周卷积可用FFT计算。,N,由于yi(n)长度为N，而xi(n)长度L ，必有M-1 点重叠， yi(n)应相加才能构成最后y(n)的。,重叠相加法图形,和上面的讨论一样， 用FFT法实现重叠相加法的步骤如下: 计算N点FFT， H(k)=DFTh(n)； 计算N点FFT，Xi(k)=DFTxi(n)； 相乘，Yi(k)=Xi(k)H(k)； 计算N点IFFT，yi(n)=IDFTYi(k)； 将各段yi(n)（包括重叠部分）相加， 。 重叠相加的名称是由于各输出段的重叠部分相加而得名的。,例 已知序列xn=n+2,0n12, hn=1,2,1试利用重叠相加法计算线性卷积, 取L=5 。,yn=2, 7, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 41, 14,解: 重叠相加法,x1n=2, 3, 4, 5, 6,x2n=7, 8, 9, 10, 11,x3n=12,13, 14,y1n=2, 7, 12, 16, 20, 17, 6,y2n= 7, 22, 32, 36, 40, 32, 11,y3n=12, 37, 52, 41, 14,2、重叠保存法,此方法与上述方法稍有不同。 先将x(n)分段，每段L=N-M+1个点，这是相同的。 不同之处是，序列中补零处不补零，而在每一段的前边补上前一段保留下来的（M-1）个输入序列值， 组成L+M-1点序列xi(n) 。 如果L+M-12m， 则可在每段序列末端补零值点，补到长度为2m，这时如果用DFT实现h(n)和xi(n)圆周卷积，则其每段圆周卷积结果的前（M-1）个点的值不等于线性卷积值，必须舍去。,重叠保留法示意图,重叠保留法示意图,yk=2, 7, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 41, 14,x1k=0, 0, 2, 3, 4,x2k=3, 4, 5, 6 ,7,x3k=6 ,7 , 8, 9, 10,y1k= x1khk= 11, 4, 2, 7, 12,x4k=9, 10 , 11, 12,13,y2k= x2khk= 23, 17, 16, 20, 24,y3k= x3khk= 35, 29, 28, 32, 36,y4k= x4khk= 47, 41, 40, 44, 48,x5k=12,13, 14, 0, 0,y5k= x5khk= 12, 37, 52, 41, 14,解: 重叠保留法,例 已知序列xn=n+2,0n12, hn=1,2,1试利用重叠保留法计算线性卷积, 取L=5 。,语音信号消噪过程 信号淹没在啸叫噪声中； (b) 信号与噪声的功率谱； (c) 去噪后的功率谱； (d) 重构原语音信号,FFT应用举例,第五章 数字滤波器的基本结构,主要内容,理解数字滤波器结构的表示方法 掌握IIR滤波器的基本结构 掌握FIR滤波器的直接型、级联型、线性相位结构，理解频率抽样型结构 了解数字滤波器的格型结构,4.1 数字滤波器结构特点及表示,1、数字滤波器的表示：差分方程和系统函数,单位延时,基本运算单元,方框图,流图,加法器,常数乘法器,2、结构表示：方框图和信流图,3、实现方式：软件与硬件 4、软件方式：通用计算机或专用计算机 5、核心算法：乘加器 6、典型结构 无限长单位冲激响应（IIR）滤波器 有限长单位冲激响应（FIR）滤波器,5.2 IIR滤波器的基本结构,一、IIR滤波器的特点 1、电位冲激响应h(n)是无限长的（定义的由来） 2、系统函数H(z)在有限z平面上 有极点存在； 3、结构上存在着输出到输入的反馈，也就是结构上的递归型的。,二、有限阶IIR的表达式：（其中至少有一个 ak0）,三、IIR滤波器四种结构,1、直接 I 型,结构特点： 直接实现 第一个网络实现零点 第二个网络实现极点 N+M个时延单元,2、直接II型:典范型,结构特点： Max(N、M) 个时延单元。,直接型的共同缺点：,系数ak，bk 对滤波器的性能控制作用不明显,极点对系数的变化过于灵敏，易出现不稳定或较大误差,运算的累积误差较大,3、级联型(Cascade Form),将系统函数按零极点因式分解:,结构：将分解为一阶及二阶系统的串联，每级子系统都用典范型实现。,特点：方便调整极点和零点；但分解不唯一;实际中需要优化。,4、并联型(Paralle Form),将因式分解的H(z)展成部分分式：,组合成实系数二阶多项式：,特点: 方便调整极点，不便于调整零点；部分分式展开计算量大。,结构：将H(z)分解为一阶及二阶系统的并联(部分分式展开)，每级子系统都用典范型实现。,IIR滤波器结构表示举例,例：用典范型和一阶级联型、并联型实现方程：,解：正准型、一阶级联和并联的系统函数表示：,图示如下：,转置定理,对于一个信流图，如果将原网络中所有支路方向加以倒转，且将输入 x(n) 和输出有 y(n) 相互交换，则其系统函数 H(z) 仍不改变。,直接II型的转置:,5.3 FIR 数字滤波器结构,不存在极点(z=0除外)，系统函数在 处收敛。 系统单位冲击响应在有限个 n 值处不为零。 结构上主要是非递归结构，没有输出到输入的反馈。,一、FIR的特点：,二、FIR结构,1、横截型 (又称为直接型或卷积型，直接完成差分方程）,特点: N个延迟单元；不方便调整零点。,将H(z)分解为二阶实系数因式的乘积。,2、级联型结构：,特点: 便于调整零点.,3、频率采样型结构：,1） 理论型：,由,以及频率采样表达的内插公式得：,其中： 为梳状滤波器； (谐振器)其极点正好与零点对消。,关于梳状滤波器说明,梳状滤波器传输函数:,梳状滤波幅频特性:,梳状滤波相频特性:,频率抽样型结构的优缺点: 便于控制滤波器频率响应，因为滤波器在处的频率响应值。 需要复数乘法运算; 理论上谐振器的极点正好与零点对消，但实际上的有限字长效应，使之不能对消，系统将不稳定。,理论型,频率采样型结构图示,2）实际型 ( 解决量化误差引入的不稳定 ),第一步:采样点修正为:,将零极点移至半径为r的圆上,第二步:内插公式为:,实际型,4、快速卷积结构,结构图示为:,设:,有:,5、线性相位FIR滤波器的结构,FIR滤波器单位抽样响应h(n)为实数，,且满足：,偶对称：,或奇对称：,即对称中心在 (N-1) / 2处,则这种FIR滤波器具有严格线性相位。,N为奇数时,h(n)偶对称，取“+”,h(n)奇对称，取“-”，且,N为偶数时,第六章 IIR滤波器的设计,主要内容,理解数字滤波器的基本概念 了解最小相位延时系统 理解全通系统的特点及应用 掌握冲激响应不变法 掌握双线性变换法 掌握Butterworth、Chebyshev低通滤波器的特点 了解利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计过程 了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的方法,6.1 引言,数字滤波器：,是指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。,高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能,优点：,1、滤波器的基本概念,（1） 滤波器的功能 滤波器的功能是对输入信号进行滤波以增强所需信号部分，抑制不要的部分。,a） 时域说明 b） 频域说明,（2） 四种基本的滤波器,四种基本滤波器为低通（LP）、高通（HP）、带通（BP）和带阻滤波器（BRF）：,（3） 四种基本滤波器的数字表示,低通 高通 带通 带阻,2、LP到其他滤波器的变换,由LP实现的HP,LP实现的BP,LP实现的BRF,3、 滤波器的性能指标,带宽：当幅度降低到0.707时的宽度称为滤波器的带宽（3dB带宽）,通带、阻带与过渡带：信号允许通过的频带为通带，完全不允许通过的频带为阻带，通带与阻带之间为过渡带。,滚降与滚降率：滤波器幅频特性在过渡带的衰减和衰减速度称为滚降与滚降率。,阻带衰减：输入信号在阻带的衰减量,带内平坦度：通带和阻带内的平坦程度,4、数字滤波器的设计步骤,数字滤波器的设计三个步骤: (1) 按要求确定滤波器的性能参数； (2) 用一个因果稳定的离散线性移不变系统的系统函数去逼近去逼近这一性能要求； (3) 用有限精度的运算实现；实现可以采用通用计算机，也可以采用DSP。,5、数字滤波器的技术要求,选频滤波器的频率响应：,为幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况,为相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况,理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近,通带最大衰减：,阻带最小衰减：,6、表征滤波器频率响应的特征参量,幅度平方响应,的极点既是共轭的，又是以单位圆成镜像对称的,H(z)的极点：单位圆内的极点,相位响应,相位响应：,群延迟响应,相位对角频率的导数的负值,若滤波器通带内 = 常数， 则为线性相位滤波器,7、IIR数字滤波器的设计方法,先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器,用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求：,即为求滤波器的各系数,计算机辅助设计法,s平面逼近：模拟滤波器,z平面逼近：数字滤波器,6.2 最小与最大相位延时系统、最小与最大相位超前系统,LSI系统的系统函数：,频率响应：,模：,相角：,当,位于单位圆内的零/极矢量角度变化为2p,位于单位圆外的零/极矢量角度变化为 0,单位圆外的零点数为mo,单位圆内的极点数为pi,单位圆外的极点数为po,则：,全部极点在单位圆内：po = 0，pi = N,因果稳定系统,1）全部零点在单位圆内：,2）全部零点在单位圆外：,为最小相位延时系统,为最大相位延时系统,n 0时，h(n) = 0,相位延时系统,逆因果稳定系统,1）全部零点在单位圆内：,2）全部零点在单位圆外：,全部极点在单位圆外：po = N，pi = 0,为最大相位超前系统,为最小相位超前系统,相位超前系统,n 0时，h(n) = 0,最小相位延时系统的性质,1）在 相同的系统中，具有最小的相位滞后,2）最小相位延时系统的能量集中在n=0附近，而总能量相同,5）级联一个全通系统，可以将一最小相位系统转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统,4）在 相同的系统中， 唯一,3）最小相位序列的 最大：,6.3 全通系统,一阶全通系统：,极点：,零点：,零极点以单位圆为镜像对称,极点：,零点：,实系数二阶全通系统,两个零点（极点）共轭对称,极点：,零点：,零点与极点以单位圆为镜像对称,N 阶数字全通滤波器,极点： 的根,零点： 的根,全通系统的应用,1）任一因果稳定系统H(z)都可以表示成全通系统Hap(z)和最小相位系统Hmin(z)的级联,其中：H1(z)为最小相位延时系统， 为单位圆外的一对共轭零点,而幅度响应不变：,P231 图66,2）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器,把非稳定系统的单位圆外的极点映射到单位圆内,单位圆外极点：,3）作为相位均衡器，校正系统的非线性相位，而不改变系统的幅度特性,利用均方误差最小准则求均衡器Hap(z)的有关参数,6.4 用模拟滤波器设计IIR数字滤波器,设计思想：,s 平面 z 平面,模拟系统 数字系统,H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应， 即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆,因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) ， 即 s 平面的左半平面 Res 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| 1,设计方法：,- 冲激响应不变法,- 阶跃响应不变法,- 双线性变换法,6.5 冲激响应不变法,一、变换原理,数字滤波器的单位冲激响应h(n) 模仿模拟滤波器的单位冲激响应ha(t),T抽样周期,设,则：,从频率响应来看：,数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，周期为2p/T 只有当模拟滤波器的频率响应是带限的，且带限于折叠频率以内时，即,才能使数字滤波器的频响在折叠频率以内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真,实际系统不可能严格限带，都会混迭失真，在 |W|Ws/2处衰减越快，失真越小,当滤波器的设计指标以数字域频率wc给定时，不能通过提高抽样频率来改善混迭现象,二、模拟滤波器的数字化,系数相同：,极点：s 平面 z 平面,稳定性不变：s 平面 z 平面,当T 很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正,令：,则：,试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器,例：设模拟滤波器的系统函数为,解：据题意，得数字滤波器的系统函数：,设T = 1s，则,模拟滤波器的频率响应：,数字滤波器的频率响应：,优点：,缺点：,保持线性关系：w=WT 线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器,频率响应混迭 只适用于限带的低通、带通滤波器,h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应ha(t) 时域逼近良好,冲激响应不变法的优缺点,6.6 阶跃响应不变法,变换原理,数字滤波器的阶跃响应g(n) 模仿模拟滤波器的阶跃响应ga(t),T 抽样周期,阶跃响应不变法同样有频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小。,例：二阶Butterworth 归一化模拟滤波器（LPF）为：,设计对应3dB截止模拟频率为50Hz的二阶Butterworth数字滤波器。设数字系统采样频率为500Hz，并采用阶跃响应不变法来设计。,解：求模拟系统函数：,最后得 （用在z-1表示）,代入T=1/500，计算ZT得,6.7 双线性变换法,冲激响应不变法、阶跃响应不变法：时域模仿逼近缺点是产生频率响应的混叠失真 为了克服这一缺点，采用双线性变换法。 使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似,一、变换原理及特点,脉冲响应不变法的映射是多值映射,导致频率响应交叠。 改进思路：先将s域平面压缩到一个中介平面s1，然后再将s1映射到Z平面。,为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，引入系数 c,2）某一特定频率严格相对应：,1）低频处有较确切的对应关系：,特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位置,二、变换常数c的选择,三、逼近情况,1）,2）,四、优缺点,优点：,避免了频率响应的混迭现象,s 平面与 z 平面为单值变换,缺点：除了零频率附近，W与w之间严重非线性,2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变,分段常数型模拟滤波器经