2019-2020年高三数学10月四校联考试题 理（含解析）新人教A版.doc

2019-2020年高三数学10月四校联考试题 理（含解析）新人教A版本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能力载体.突出考查学生分析问题解决问题的能力以及运算能力，试题重点考查：不等式、复数、向量、三视图、导数，函数模型、圆锥曲线、立体几何、数列、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1. 复数z的共轭复数是（ ）A2i B2i C1i D1i【知识点】复数的基本概念与运算L4【答案解析】D z= =-1+i复数z= 的共轭复数是-1-I,故答案为：D【思路点拨】根据复数除法法则，分子分母同乘分母的共轭复数化简成基本形式，再根据共轭复数的定义求出所求即可【题文】2若，则下列结论正确的是（ ）A B C D【知识点】对数B7【答案解析】D a=log23log22=1，0=log31b=log32log33=1，c=log4log41=0，cba故选D【思路点拨】利用对数的单调性将a、b、c与0和1进行比较，从而可得a、b、c的大小关系【题文】3已知两个集合，则（ ）A B C D 【知识点】集合及其运算A1【答案解析】B 由A中的函数y=ln（-x2+x+2），得到-x2+x+20，即x2-x-20，整理得：（x-2）（x+1）0，即-1x2A=（-1，2），由B中的不等式变形得：（2x+1）（e-x）0，且e-x0，即（2x+1）（x-e）0，且xe，解得：x- 或xe，即B=（-，- （e，+），则AB=（-1，- 故选：B【思路点拨】求出A中函数的定义域确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可【题文】4已知命题，；命题，则下列命题中为真命题的是（ ）A. B. C. D.【知识点】命题及其关系A2【答案解析】C 因为x=-1时，2-13-1，所以命题p：xR，2x3x为假命题，则p为真命题令f（x）=x3+x2-1，因为f（0）=-10，f（1）=10所以函数f（x）=x3+x2-1在（0，1）上存在零点，即命题q：xR，x3=1-x2为真命题则pq为真命题故选C【思路点拨】举反例说明命题p为假命题，则p为真命题引入辅助函数f（x）=x3+x2-1，由函数零点的存在性定理得到该函数有零点，从而得到命题q为真命题，由复合命题的真假得到答案【题文】5. 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（ ）A. B. C. D. 【知识点】导数的应用B12【答案解析】A 该三次函数的导函数的图象为开口方向向下的抛物线，该抛物线在x轴下方的区间对应原函数的递减区间，该抛物线在x轴上方的区间对应原函数的递增区间，符合要求，正确；同理可分析正确；从其导函数图象来看，原函数在（-，0）单调递增，在（0，a）单调递减（a为图中虚线处的横坐标），图与题意不符，故错误；同理可分析错误；故选A【思路点拨】利用导数大于0可得其单调递增区间，导数小于0可得其单调递减区间，的正确性【题文】6若O为ABC所在平面内任一点，且满足，则ABC一定是（ ）A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D等腰直角三角形【知识点】平面向量的数量积及应用F3【答案解析】B (-)(+-2)=(-)(-)+(-)=(-)(+)=(+)=(-)(+)=|2-|2=0，|=|，ABC为等腰三角形故答案为：B【思路点拨】利用向量的运算法则将等式中的向量, , 用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状【题文】7定义在R上的偶函数满足，当x3，4时,，则 ( ) A B C D【知识点】函数的单调性奇偶性与周期性B3 B4【答案解析】A 由得到周期为2，当x3，4时,为增函数，且定义在R上的偶函数，则f(x)在0，1为减函数，因为sin1cos1,所以故选A.【思路点拨】先根据函数的周期性奇偶性确定单调性再求结果。【题文】8关于函数，有下列命题: 其表达式可写成； 直线图象的一条对称轴； 的图象可由的图象向右平移个单位得到； 存在，使恒成立.其中，真命题的序号是（ ）A B C D【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案解析】C f(x)=sin(2x-)=（sin2x-cos2x）f(x)=cos(2x+)=（cos2x-sin2x）与原函数不为同一个函数，错误x=-时，f（x）=sin2（-）-=sin（-）=-1，函数取得最小值，所以直线x=-是f(x)图象的一条对称轴正确将g（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到，得到图象对应的解析式是y=sin2（x-）=sin（2x-）=-cos2x，与f（x）不为同一个函数错误取=，f（x+）=f（x+）=sin2(x+)-=sin（2x+），f（x+3）=f（x+3）=sin2(x+)-=sin（2x+3-）=sin（2x+2+-）=sin（2x+），所以存在取=（0，），使f（x+）=f（x+3）恒成立 正确故选C【思路点拨】将两函数解析式化简整理，若表示同一个函数，则正确，否则错误若x=-时，f（x）取得最值，则正确否则错误根据左加右减原则，写出平移后图象对应的解析式，进行对照可以断定正误考虑先取特殊值，比如取= 等进行验证【题文】9我们常用以下方法求形如的函数的导数：先两边同取自然对数得：，再两边同时求导得到：，于是得到 ，运用此方法求得函数（）的极值情况是( )A. 极小值点为 B. 极大值点为 C. 极值点不存在 D. 既有极大值点，又有极小值点【知识点】导数的应用B12【答案解析】B 由题意知y= ( lnx+ 1)= ，（x0）令y0，得1-lnx00xe，xe, 所以极大值点为, 故选B.【思路点拨】根据定义，先求原函数的导数，令导数大于0，解不等式即可。【题文】10设函数的定义域为R，如果存在函数为常数），使得对于一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数. 已知对于任意，是函数的一个承托函数，记实数a的取值范围为集合M，则有（ ）A. B. C. D. 【知识点】导数的应用B12【答案解析】C 令F（x）= -ax，则F（x）=-ax0对于任意k（0，1）恒成立由题意，x0时，a，x0时，a下面考虑a，令h（x）=，则h（x）=由h（x）0得xk，由h（x）0得xk，所以h（x）在（0，k）上单调递减，在（k，+）上单调递增，所以当x=k时h（x）取得最小值h（k）=，ak（0，1），aex0时，h（x）0，h（x）在（-，0）上单调递减，a0，0aee-1M，eM故选C【思路点拨】函数g（x）=ax（a为常数）是函数f（x）的一个承托函数，即说明函数f（x）的图象恒在函数g（x）的上方（至多有一个交点），根据函数，再分离参数，确定函数的单调性，求最值，即可得到结论第卷（非选择题 共100分）二、填空题：（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上）（一）必做题（1114题）【题文】11在各项均为正数的等比数列中，若，则= 【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3【答案解析】 由log2a2+log2a8=1，得log2（a2a8）=1，a2a8=2数列an是等比数列，=a2a8=2所以=故答案为：。【思路点拨】由对数的运算性质结合已知得到log2（a2a8）=1，求出a2a8=2，再由等比数列的性质得答案. 【题文】12计算定积分_.【知识点】定积分与微积分基本定理B13【答案解析】C (x3-cosx)= -cos1+cos(-1)=故选：C【思路点拨】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差后的答案【题文】13. 已知函数，对任意的恒成立，则x的取值范围为_【知识点】函数的单调性奇偶性B3 B4【答案解析】 由求导数的f(x)为增函数且为奇函数，由题意得到mx-2-x在恒成立，所以，故答案为。【思路点拨】先求出单调性和奇函数再根据单调性求出x的范围。【题文】14.已知函数.则 （）= ；（）给出下列四个命题：函数是偶函数；存在,使得以点为顶点的三角形是等边三角形；存在,使得以点为顶点的三角形是等腰直角三角形；存在,使得以点为顶点的四边形是菱形其中，所有真命题的序号是 【知识点】函数的图像B8【答案解析】（）由题意知， ，当xQ时，f（x）=1Q，则f（f（x）=1，当x时，f（x）=0Q，则f（f（x）=1，综上得，f（f（x）=1；（）当xQ时，则-xQ，故f（-x）=1=f（x），当x时，则-x，故f（-x）=0=f（x），函数f（x）是偶函数，正确；不正确根据，做出函数的大致图象：假设存在等腰直角三角形ABC，则斜边AB只能在x轴上或在直线y=1上，且斜边上的高始终是1，不妨假设A，B在x轴上，如图故斜边AB=2，故点A、B的坐标不可能是无理数，否则O点不再是中点，故不存在另外，当AB在y=1上，C在x轴时，由于AB=2，则C的坐标应是有理数， 故假设不成立，即不存在符合题意的等腰直角三角形，错误；根据做出的图形知，取两个自变量是有理数，使得另外两个无理数差与两个有理数的差相等，即可画出平行四边形，且是对角线相互垂直，可以做出以点（xi，f（xi）（i=1，2，3，4）为顶点的四边形为菱形，正确故答案为：【思路点拨】（）对x分类：xQ和x ，再由解析式求出f（f（x）的值；（）对x分类：xQ和x，分别判断出f（-x）=f（x），再由偶函数的定义判断出正确；不正确由解析式做出大致图象：根据图象和等腰直角三角形的性质，进行判断即可；取两个自变量是有理数，使得另外两个无理数差与两个有理数的差相等，即可得出此四边形为平行四边形（二）选做题：第15、16题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分【题文】15（选修4-4坐标系与参数方程选讲）若两曲线的参数方程分别为（0）和(R)，则它们的交点坐标为 【知识点】选修4-4 参数与参数方程N3【答案解析】（1，）曲线参数方程（0）的直角坐标方程为+y2=1；曲线（tR）的普通方程为：y2=x；解方程组：得：它们的交点坐标为（1，）故答案为：（1，）【思路点拨】利用同角三角函数的基本关系及代入的方法，把参数方程化为普通方程，再利用消去参数t化曲线的参数方程为普通方程，最后解方程组求得两曲线的交点坐标即可【题文】16（选修4-1几何证明选讲）如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，圆心到的距离为，则圆的半径长为 【知识点】选修4-1 几何证明选讲N1【答案解析】2 PA为圆的切线，PBC为圆的割线，由线割线定理得：PA2=PBPC又PA=2，PC=4，PB=2，BC=2又圆心O到BC的距离为，R=2故答案为：2【思路点拨】根据已知中从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知PA=2，PC=4，我们由切割线定理及求出PB的长，进而求出弦BC的长，然后根据半径弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，即可求出答案三解答题：（本大题共6个小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【题文】17. （本小题满分12分）已知函数，其中，.（）求函数的最大值和最小正周期；（）设的内角的对边分别是，且，若，求的值.【知识点】三角函数的图象与性质解三角形C3 C8【答案解析】（I）最大值为0；最小正周期为.（），.（I）= 的最大值为0；最小正周期为. （），又，解得 又，由正弦定理-，由余弦定理，即-由解得：，. 【思路点拨】根据三角函数性质求出周其最值，根据正余弦定理求出边。【题文】18. （本小题满分12分）已知等差数列的前三项和为12，且 成公比不为1的等比数列.（）求 的通项公式；（）记，是否存在正整数，使得，对恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3【答案解析】（I）=2（）8（I）由题意可得： ,由，所以 成公比不为1的等比数列，故=2 （）=， 由，故，所以， 所以，故M的最小值为8. 【思路点拨】根据等差数列等比数列性质求出通项公式，利用等比数列求和求出最小值。【题文】NADMBEC19.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面，是的中点（）求证：/平面；（）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.【知识点】空间向量及运算G9【答案解析】（I）略（）（I）CM与BN交于F，连接EF由已知可得四边形BCNM是平行四边形，所以F是BN的中点因为E是AB的中点，所以ANEF 又EF平面MEC，AN平面MEC，所以AN平面MEC （II）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DEAB又四边形ADNM是矩形，面ADNM面ABCD，DN面ABCD，如图建立空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），E（，0，0），C（0，2，0），P（，-1，h），=（，-2，0），=（0，-1，h），设平面PEC的法向量为=（x，y，z）则，令y=h，=（2h，h，），又平面ADE的法向量=（0，0，1），cos，=，解得h=，在线段AM上是否存在点P，当h=时使二面角P-EC-D的大小为【思路点拨】（I）利用CM与BN交于F，连接EF证明ANEF，通过直线与平面平行的判定定理证明AN平面MEC；（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设x在线段AM上是否存在点P，使二面角P-EC-D的大小再通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，结合向量的数量积求出二面角P-EC-D的大小，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在【题文】20.（本小题满分12分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为（万元），当年产量不足80千件时，（万元）当年产量不小于80千件时，（万元）通过市场分析，每件商品售价定为500元，且该厂生产的商品能全部售完（）求出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（）求年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【知识点】函数模型及其应用B10【答案解析】（I）（II）（I）因为每件商品售价为0.05万元，则千件商品销售额为0.05万元，依题意得：当时，.当时，=. 所以 （II）当时，此时，当时，取得最大值万元. 当时， 当时，即时取得最大值1000万元. 所以，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元. 【思路点拨】利用等量关系列出解析式，讨论x的大小求出最大利润。【题文】21.（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为， 为椭圆的上顶点，且.（）求椭圆的标准方程；（）已知直线：与椭圆交于，两点，直线：（）与椭圆交于，两点，且，如图所示.(1)证明：；(2)求四边形ABCD的面积S的最大值.【知识点】椭圆及其几何性质H5【答案解析】（）（）2设椭圆G的标准方程为 (ab0)因为F1（-1，0），PF1O=45，所以b=c=1所以，a2=b2+c2=2 所以，椭圆G的标准方程为（）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）（）证明：由消去y得：(1+2k2)x2+4km1x+2-2=0则=8(2k2-+1)0，所以 |AB|=2.同理 |CD|=2因为|AB|=|CD|，所以 2=2因为 m1m2，所以m1+m2=0 （）解：由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则 d=因为 m1+m2=0，所以 d=,所以 S=|AB|d= 2=44.（或S=4=42）所以 当2k2+1=2时，四边形ABCD的面积S取得最大值为2【思路点拨】（）根据F1（-1，0），PF1O=45，可得b=c=1，从而a2=b2+c2=2，故可得椭圆G的标准方程；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）（）直线l1：y=kx+m1与椭圆G联立，利用韦达定理，可求AB，CD的长，利用|AB|=|CD|，可得结论；（）求出两平行线AB，CD间的距离为d，则 ，表示出四边形ABCD的面积S，利用基本不等式，即可求得四边形ABCD的面积S取得最大【题文】22.（本小题满分14分）设函数.（）当时，求曲线在点处的切线方程；并证明恒成立；（）当时，若对于任意的恒成立，求的取值范围；（III）求证：.【知识点】导数的应用B12【答案解析】（I）y=h(x)=x+1（II）（III）略（I）当a=0,b=0时，f(x)=ex曲线y=f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程为y-1=1(x-0),即：y=h(x)=x+1 证明：令 （ ）单调递增，又即恒成立（II）方法一：当时，等价于 （ ）令 当时，由（1）知单调递增，又 当时，单增又,存在，使，即在单减，在上单增又,时，不合题意,故 方法二：当时，等价于，即（ ） 当时， 当时， 令 ,则 令则 所以单调递减又,在单调递减由洛必达法则可得 （III）要证：证法一：由（II）令可知：令则, 又由（I）可知：,令,即,故证之证法二：令 单调递增又,单调递增又 令,故证之证法三：(1)当时，左边，右边,不等式成立（2）假设且时，不等式成立，即则当时左边= 由（II）知 令则 故当时，不等式也成立由（1）（2）可知原不等式恒成立【思路点拨】先根据导数的几何意义求导数求出方程，利用单调性求出最值求出参数a，根据求和证明结论。