资源描述
小结,一、各种位置直线的投影特性(三大类七种位置直线), 投影面平行线（一斜两平行）水平线、正平线、侧平线 在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。, 投影面垂直线（一点两垂直）铅垂线、正垂线、侧垂线 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。, 一般位置直线（三斜无实长）三个投影与各投影轴都倾斜。,二、直线上的点, 从属性：点的投影在直线的同名投影上。, 定比性：点分线段之比在投影中不变。 AB:CB=ac:cb=a”c”:c”b”,三、两直线的相对位置, 平行, 相交, 交叉,同面投影互相平行(注意投影面平行线)。,同面投影相交，交点是两直线的共有点，且符合点的投影特性。,同面投影可能相交，但“交点”不符合点的投影特性。所谓“交点”是两直线上一对重影点的投影。,四、相互垂直的两直线的投影特性, 两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。, 两直线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。, 两直线均为一般位置直线时，在三个投影面上的投影都不反映直角。,直角投影定理,即要在投影图中画垂直或判断垂直，必须有投影面平行线。,1.4 平面的投影,一、平面的表示法,不在同一直线上的三个点,两平行直线,两相交直线*,平面图形,1、用几何元素表示平面,直线及线外一点,2.迹线表示法 空间平面与投影面的交线叫平面的迹线。 平面P与H面的交线为水平迹线PH，与V面的交线为正面迹线PV，与W面的交线为侧面迹线PW。,a.一般位置平面的迹线表示法,b.特殊位置平面的迹线表示法,实形性,类似性,积聚性, 平面对一个投影面的投影特性,二、平面的投影,平面/投影面 投影反映实形面,平面投影面 投影积聚成直线,平面投影面 投影类似原平面, 各种位置平面的投影(三类七种情况),投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,铅垂面,投影特性： 1. abc积聚为一条线， 与OX、 OYH的夹角反映、角； 2 .abc、 abc为ABC的类似形；,1） 投影面垂直面的投影,正垂面,投影特性： 1. abc 积聚为一条线，与OX、 OZ的夹角反映、 角； 2.abc、abc为 ABC的类似形。,侧垂面,投影特性： 1、 abc积聚为一条线， 与OYW 、 OZ 的夹角反映、角； 2 、 abc、 abc为 ABC的类似形。,a,b,c,a,c,b,c,b,a,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性：,1.在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,2.另两个投影面上的投影有类似性。,是什么位置的平面？,投影特征：一斜两类似,水平面,投影特性： 1.abc/OX、 abc/OYW，分别积聚为直线; 2 .水平投影abc反映 ABC实形。,2） 投影面平行面的投影,正平面,投影特性： 1.abc/OX 、 abc /OZ，分别积聚为直线； 2 .正面投影abc反映 ABC实形。,投影特性： 1.abc/OYY、 abc /OZ，分别积聚为直线； 2.侧平面投影abc 反映 ABC实形。,侧平面,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,1.在它所平行的投影面上的投影反映实形。,2.另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,投影特征：两线一实形,一般位置平面,投影特性 1. abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形； 2.不反映、 的真实角度。,3） 一般位置平面的投影（三类似）,例：用有积聚性的迹线表示下列平面：过直线AB的正垂面P；过点C的正平面Q；过直线DE的水平面R。,a,b,a,b,投影面平行面:两线一实形 投影面垂直面:一斜两类似,平面上取任意直线,三、平面上的直线和点,a,b,c,b,c,a,d,n,m,例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。,解法一,解法二,根据定理二,根据定理一,有无数解。,例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。,n,m,n,m,唯一解！, 平面上取点,若点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。,即：点在线上，则点在面上。,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,面上取点的方法：,首先面上取线,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线(细实线)求解,例2 已知ABC给定一平面,试判断点D是否属于该平面。,e,e,点D不属于平面ABC,e,e,点D属于平面ABC,例3：作出三角形ABC平面内三角形DEF的水平投影。,d,e,求线先找两已知点， 求点先找已知线。,a,a,b,c,c,b,f,e,f,d,1,2,1,2,k,b,例4：AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。,解法一,解法二,找点B先求线DB，求线DB先找点K。,利用平行四边形对边平行,例5：判断点K是否在平面上（另判断四点是否在同一平面*）,点在面上,点不在面上(*),点不在面上,例6：已知平面ABCD的边BC/H面，完成其正面投影。,b,c,1,1,a,d,a,b,c,d,BC为水平线bc/OX,分析：根据ad想办法求bc,a,b,c,b,a,c,例7 已知ABC 给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面 的水平线。,m,n,n,m,正平线上的点Y坐标相同，水平线上的点Z坐标相同，交点K是既满足Y坐标又满足Z坐标的点。,k,k,k,1,2,1,k,例8：在ABC内确定K点，使K点距H面为18mm，距V面为15mm.,分别画出： 1.距H面18mm的水平线（Z相同=18）。 2.距V面15mm的正平线（Y相同=15）。 3.两条线的交点满足K点的条件。,2,例9：在平面ABC上取一点K，使点K在点A之下15mm（Z）、在点A之前20mm处（Y）。（思考题）,K在点A之下15mm的水平线上,K在点A之前20mm的正平线上,四、 圆的投影,圆的投影特性：,1、圆平面在所平行投影面上的投影反映实形；(实形性),2、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆的直径；(积聚性),3、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆的平行于这个投影面的直径AB的投影（ab）；短轴是与上述直径垂直的直径DE的投影(de)。(类似性)本节到此,椭圆的近似画法(四心法)：,A,B,C,D,E,F,1,2,3,4,椭圆的画法,一节到此,1.CF=CE=OA-OC,O,2.作AF的中垂线,与两轴交得1.2两点，取对称点3.4。,3.分别以1.2.3.4点为圆心，1A.3B.2C.4D为半径作弧，拼成近似椭圆。,四、相互垂直的两直线的投影特性, 两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。, 两直线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。, 两直线均为一般位置直线时，在三个投影面上的投影不一定反映直角。,直角投影定理,即要在投影图中画垂直或判断垂直，必须有投影面平行线。,小结,一、各种位置平面的投影特性, 一般位置平面（三类似）, 投影面垂直面（一斜两类似）, 投影面平行面（两线一实形）,三个投影为边数相等的类似多边形。,在其垂直的投影面上的投影积聚成直线。 另外两个投影为类似多边形。,在其平行的投影面上的投影反映实形。 另外两个投影积聚为直线。,二、平面上的点与直线(P27-30),1.5 直线与平面及两平面的相对位置,相对位置包括平行、相交（垂直）。,一、平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行, 直线与平面平行,即：将线面/ ，转化为线线/, 直线与平面平行,1. 当直线与特殊位置平面相平行时，直线的投影平行于平面的具有积聚性的同面投影，如图。,2.当直线与平面都为特殊情况且平行时，直线与平面的积聚性投影在同面投影上。,特殊情况：,例1：过A点作平面平行于线段BC。,作图：ad/bc， ad/bc 故，BC/平面DAF,分析：线线/，则线面/；过A点做直线AD/BC。,可过A点任意作直线AF,n,a,c,b,m,a,b,c,m,n,有无数解,分析:过M点作一条/平面内的任意直线的直线,即得.,例2：过M点作直线MN平行于平面ABC。,正平线,c,b,a,m,a,b,c,m,唯一解,分析:在平面ABC内作一条正平线,MN/此正平线,即得.,例3：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。, 若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。, 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,2. 两平面平行,平行,举例,例 判断下列两平面是否平行,不平行, 直线与平面相交(实物),直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点，且交点是直线与平面可见与不可见的分界点。,要讨论的问题：, 求直线与平面的交点。, 判别两者之间的相互遮挡的可见性。,我们只讨论直线与平面中至少有一个元素处于特殊位置的情况（直线特殊或者平面特殊）。,二、相交问题(重点与难点),（1）.直线与平面相交（平面为特殊位置）,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m,1.空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。, 求交点, 判别可见性（V面）,由水平投影可知，KN段在平面ABC前，故正面投影上kn为可见。再根据:交点是可见与不可见的分界点，求得k m 上一段不可见。,还可通过重影点判别可见性。,1(2),2.作图,例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性,（2） 直线为特殊位置,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c, 直线为特殊位置,1.空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。, 求交点, 判别可见性（V面）用重影点判断,点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故k 2为不可见。,1(2),2.作图,用面上取点法,两平面相交(实物),两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点，交线是两平面可见与不可见的分界线。,要讨论的问题：, 求两平面的交线,方法： 确定两平面的两个共有点。 确定一个共有点及交线的方向。,只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况（即两种情况：一个平面处于特殊，两个平面都处于特殊）。, 判别两平面之间的相互遮挡的可见性。,（1）两平面都为特殊平面(书),可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),1.空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线。, 求交线, 判别可见性（H面）,2.作图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,例1：求两平面的交线MN，并判别可见性。,（2）. 其中一平面为特殊平面,F,B,A,C,E,H,a,b,c,M,N,m,n,P,b,c,f,h,a,e,a,b,c,e,f,h,1.空间及投影分析,平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与efh的交点m 、 b c与efh的交点n,即为两平面的两个共有点的正面投影，故mn是MN的正面投影。, 求交线, 判别可见性(H面),mnb在efh上面，故水平投影mnb可见，其他可见性可根据投影特点得出。,2.作图,（2）. 其中一平面为特殊平面（求交线MN）,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N点的水平投影n位于def的外面，说明点N位于DEF所确定的平面内，但不位于DEF这个图形内。 所以ABC和DEF的交线应为MK。,互交,三、垂直问题,1.直线与平面,与铅垂面垂直的直线为水平线,H面; 与正垂面垂直的直线是正平线,V面.,与铅垂线垂直的平面是水平面, V;与正垂线垂直的平面是正平面, H.,1）平面特殊 投影面垂直面的直线是投影面平行线，并在平面积聚性投影上反映直角；即,2）直线特殊 投影面垂直线的平面是投影面平行面，并在平面积聚性投影上反映直角；即,作点A到平面CDEF的距离？（EFD呢？）,2.平面与平面垂直,只介绍两个投影面垂直面相垂直： 它们的交线为投影面的垂直线，且在积聚性的投影反映直角;,下面举例,垂直,垂直,不垂直,e d,(e),1,1,举例,此点是AB和MN的重影点,例 求直线与平面的交点,并判别可见性.,V,W,本节到此,小结：直线与平面及两平面的相对位置, 直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。当直线与特殊位置平面相平行时，直线的投影平行于平面的具有积聚性的同面投影。, 两平面平行 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,一、平行问题（P38）,二、相交问题, 求直线与平面, 平面特殊，利用交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可投在直线的另一个投影上；可见性直接判断。(P47), 直线特殊，利用交点的一个投影与直线的积聚性投影重合，另一个投影可利用平面上取点的方法求解；可见性用重影点判断。(P49), 两平面相交, 一平面特殊，可利用特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共有点，求出交线；可见性可直接判断。(P54), 两平面特殊，交线为投影面的垂直线，可见性可直接判断(P52)。,三、垂直问题,1）.直线与投影面垂直面：与铅垂面相垂直的直线是水平线，与正垂面相垂直的是正平线，并在平面积聚的投影面上反映直角。,1. 直线与平面垂直,2）.投影面垂直线与平面：与铅垂线垂直的是水平面，与正垂线垂直的是正平面，并在平面积聚的投影面上反映直角。,垂直 不垂直,2.两平面垂直,1）两个投影面垂直面相垂直：它们的交线为投影面的垂直线，且在两积聚性的投影反映直角。,完,1,1,1,举例,此点是CD和MN的重影点,举例,一、各种位置平面的投影特性, 一般位置平面（三类似）, 投影面垂直面（一斜两类似）, 投影面平行面（两线一实形）,三个投影为边数相等的类似多边形。,在其垂直的投影面上的投影积聚成直线。 另外两个投影类似。,在其平行的投影面上的投影反映实形。 另外两个投影积聚为直线。,小 结,二、平面上的点与直线(P27-30),直线与特殊位置平面相交,由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交点可直接求出。,判断直线的可见性,特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。,一般位置平面与特殊位置平面相交,求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。,判断平面的可见性,
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