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2019-2020年高二下学期期末考试数学理试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡内）1.在复平面内，复数对应的点位于A第一象限 B第二象限 C.第三象限 D第四象限2.现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加数学课外活动小组，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，共有不同的选法A756种 B56种 C28种 D255种3.在极坐标中，与圆相切的一条直线方程为A B C D4.若变量与之间的相关系数，则变量与之间 A.不具有线性相关关系 B. 具有线性相关关系 C.它们的线性相关关系还需要进一步确定 D.不确定5.下列求导数运算正确的是 A. B.C. D. 6. 由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为A. B.4 C. D.67.“指数函数是增函数，是指数函数，所以是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的是A推理完全正确 B.大前提不正确 C小前提不正确 D推理形式不正确8.直线 ，（为参数)上与点的距离等于的点的坐标是A. B.或 C. D.或9.袋中有大小相同的4个红球，6个白球，每次从中摸取一球，每个球被取到的可能性相同，现不放回地取3个球，则在前两次取出的是白球的前提下，第三次取出红球的概率为A B C D10.已知是奇函数的导函数，当时， 则使得成立的的取值范围是A B C D二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案涂在答题卡上）11.展开式中的常数项是 12.已知某电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布，那么该电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为 . ; 13.已知函数,则在点处的线方程为 .14.有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若表示取到次品的件数，则 15.用长的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，则该长方体的最大体积是_16.“整数对”按如下规律排成一列: , ,则第个数对是 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）（）证明： .证明：欲证，只需证，即证，上式显然成立，故原等式成立 5分（）已知圆的方程是，则经过圆上一点的切线方程为，类比上述性质，试写出椭圆类似的性质解：圆的性质中，经过圆上一点的切线方程就是将圆的方程中的一个与分别用的横坐标与纵坐标替换故可得椭圆类似的性质为：过椭圆一点的切线方程为. 10分18.（本小题满分10分）已知函数在处取得极值. （）求实数的值；（）过点作曲线的切线,求此切线方程.解：（） 1分 ，即解得， 4分此时在两边（附近）符号相反，所以处函数取得极值，同理，在处函数取得极值. 5分（）设切点坐标为.则切线方程为 7分化简，得 ，即，9分 所求的切线方程为：. 10分19.（本小题满分12分）已知一个袋子中有3个白球和3个红球，这些球除颜色外完全相同.（）每次从袋中取出一个球，取出后不放回，直到取到一个红球为止，求取球次数的分布列和数学期望；（）每次从袋中取出一个球，取出后放回接着再取一个球，这样取3次，求取出红球次数的数学期望.解：（）的所有可能值为1，2,3,4. 2分，. 6分故的分布列为234. 8分（）取出后放回，取3次球，可看做3次独立重复试验，所以，所以. 12分20.（本小题满分13分）已知函数.（）当时，函数恰有3个零点，求实数的取值范围；（）若对任意，有恒成立，求的取值范围.解：解：（） 1分令 2分当变化时，的取值情况如下：00增极大值减极小值增， ， 5分所以，实数的取值范围是. 6分（）,令 7分（1）当时，在上为增函数，不合题意； 8分（2）当时，在上是减函数，在上为增函数，得； 10分（3）当时，在上是减函数，在上为增函数，不合题意. 12分综上，. 13分21.（本小题满分12分） 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率依次为，且各轮问题能否正确回答互不影响. （）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；（）求该选手至多进入第三轮考核的概率.解：（）记“选手能正确回答第轮的问题”的事件记为，则， 2分所以选手进入第四轮才被淘汰的概率:. 6分（）该选手至多进入第三轮考核的概率 8分 10分. 12分22.（本小题满分13分）已知函数，其中，为自然对数的底数（）求在上的最小值；（）试探究能否存在区间，使得和在区间上具有相同的单调性？若能存在，说明区间的特点，并指出和在区间上的单调性；若不能存在，请说明理由（）的定义域为，且 令，得 2分若，即时，在上为增函数，； 3分若，即时，在上为减函数，； 4分若，即时，由于时，；时，所以 5分综上可知 6分（）的定义域为，且 时，在上单调递减 8分令，得 （1）时，在上，单调递增，由于在上单调递减，所以不能存在区间，使得和在区间上具有相同的单调性； 10分（2）若时，在上，单调递减；在上，单调递增由于在上单调递减，存在区间，使得和在区间上均为减函数 12分 综上，当时，不能存在区间，使得和在区间上具有相同的单调性；当时，存在区间，使得和在区间上均为减函数 13分
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