2019-2020年高三（上）期中数学试卷.doc

2019-2020年高三（上）期中数学试卷第一部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1（5分）已知复数z满足z（1i）=2，其中i为虚数单位，则z=1+i考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：复数方程两边同乘1i的共轭复数，然后化简即可解答：解：由z（1i）=2，可得z（1i）（1+i）=2（1+i），所以2z=2（1+i），z=1+i故答案为：1+i点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型2（5分）（xx上海）已知点A（1，5）和=（2，3），若=3，则点B的坐标为（5，4）考点：平面向量的坐标运算专题：计算题分析：由的坐标求出的坐标，再由点A的坐标和向量的坐标表示即：终点的坐标减去起点的坐标，求出终点B的坐标解答：解：由题意知，=3=（6，9），又因点A的坐标是（1，5），则点B的坐标为（61，95）=（5，4）故答案为：（5，4）点评：本题考查了向量的坐标运算，即根据运算公式和题意求出所求点的坐标3（5分）已知等比数列an满足a1a7=3a3a4，则数列an的公比q=3考点：等比数列的通项公式专题：计算题分析：由a1a7=3a3a4，结合等比数列的性质可得a5=3a4，从而可求公比解答：解：a1a7=3a3a4，a3a5=3a3a4a5=3a4q=3故答案为：3点评：本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的通项公式的简单应用，属于基础试题4（5分）若cos（2）=，且（，0），则sin（）=考点：同角三角函数基本关系的运用专题：计算题分析：由题意求出cos的值，利用诱导公式化简sin（），结合同角三角函数的基本关系式，求出它的值即可解答：解：cos（2）=cos=，又（，0），故sin（）=sin=故答案为：点评：本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式，诱导公式的应用，考查计算能力，常考题型5（5分）已知两个平面，直线l，直线m，有下面四个命题：lm； lm； lm；lm其中正确的命题是、考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系专题：证明题分析：本题应逐个判断：需用熟知的定理即线线垂直，面面垂直来说明，可举出反例来即可解答：解：l，l，又直线m，故有lm，即正确；l，l，或l，此时l与m可能平行，相交或异面，即错误；l，lm，又m，此时与可能相交可能平行，故错误；l，lm，m，又m，故有，即正确故答案为：点评：本题考查直线的平行于垂直关系，熟练运用性质定理是解决问题的关键，属基础题6（5分）设x，y满足，则z=x+y的最小值为2考点：简单线性规划的应用专题：计算题；数形结合分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=x+y中，求出z=x+y的最小值解答：解：满足约束条件的平面区域如图示：由图得当过点B（2，0）时，z=x+y有最小值2故答案为：2点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解7（5分）（xx盐城三模）已知函数，则的值为考点：二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦专题：计算题分析：利用公式tanx=、sin2=2sincos、cos2=2cos21即可化简求值解答：解：因为f（x）=，所以f（）=点评：本题考查同角三角函数的基本关系及正余弦的倍角公式8（5分）已知命题p：|5x2|3，命题q：，则p是q的充分不必要条件（ 在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”、“充要”选择并进行填空）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法专题：计算题分析：根据绝对值不等式的性质及一元二次方程的解法分别求出命题p和q的范围，再根据充分必要条件的定义进行求解；解答：解：命题p：|5x2|3，解得x|x1，命题q：，可得x2+4x50，解得x|5x1，x|x1x|5x1，p是q的充分不必要条件，故答案为：充分不必要；点评：考查不等式解法及充要条件的判断方法，注意：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；9（5分）ABC中，则=5考点：平面向量数量积的运算专题：计算题分析：由向量的数量积可得，=|cos（B）=9可求的BC与cosB的关系，然后结合余弦定理即可求解BC解答：解：由向量的数量积可得，=|cos（B）=9cosB=9|BC|cosB=3由余弦定理可得，cosB=|BC|=5故答案为：5点评：本题主要考查了向量的数量积的定义及余弦定理在求解三角形中的应用，属于知识的简单应用10（5分）已知关于x的不等式axb0的解集是（1，+），则关于x的不等式的解集是（1，2）考点：其他不等式的解法专题：计算题；转化思想分析：关于x的不等式axb0的解集是（1，+），可得 =1，且a0，由此对于x的不等式求解即可解答：解：由题意关于x的不等式axb0的解集是（1，+），可得=1，且a0，关于x的不等式，可变为（x2）（x+1）0，即得（x2）（x+1）0，1x2 不等式的解集：（1，2）故答案为：（1，2）点评：本题考查一次不等式的解法，求解问题的关键是根据不等式axb0的解集是（1，+），解出参数a，b所满足的条件，求解分式不等式不等式考查转化思想11（5分）已知等比数列an的首项是1，公比为2，等差数列bn的首项是1，公差为1，把bn中的各项按照如下规则依次插入到an的每相邻两项之间，构成新数列cn：a1，b1，a2，b2，b3，a3，b4，b5，b6，a4，即在an和an+1两项之间依次插入bn中n个项，则cxx=1951考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式专题：计算题分析：由题意可得，bn=1+（n1）1=n，当n=62时，=xx即此时共有xx项，且第xx项为262，而cxx=b1951可求解答：解：由题意可得，bn=1+（n1）1=n由题意可得，在数列an中插入的项为，20，1，21，2，3，22，4，5，6，232n时，共有项为1+2+n+（n+1）=当n=62时，=xx即此时共有xx项，且第xx项为262cxx=b1951=1951故答案为：1951点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用，解题的关键是要准确判断所求项在已知数列中所处的项的位置12（5分）ABC内接于以O为圆心半径为1的圆，且，则ABC的面积S=考点：向量在几何中的应用分析：利用向量的平行四边形法则作出为，据已知条件知与为相反向量得到OD=5，据勾股定理易得OAOB，将三角形分成三个三角形，利用三角形的面积公式求出各个三角形的面积解答：解：如图，则易得OAOB，且，所以故答案为点评：本题考查向量的运算法则：平行四边形法则、勾股定理、三角形的面积公式13（5分）已知等差数列an的首项为1，公差为2，若a1a2a2a3+a3a4a4a5+对nN*恒成立，则实数t的取值范围是（，12考点：数列的求和专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由a1a2a2a3+a3a4a4a5+a2na2n+1=a2（a1a3）+a4（a3a5）+a2n（a2n1a2n+1）=4（a2+a4+a2n），结合等差数列的性质及求和公式可得关于n的不等式，解不等式可求对nN*恒成立，转化为求解函数的最值即可解答：解：a1a2a2a3+a3a4a4a5+a2na2n+1=a2（a1a3）+a4（a3a5）+a2n（a2n1a2n+1）=4（a2+a4+a2n）=，所以8n2+4ntn2，所以对nN*恒成立，t12，故答案为（，12点评：本题主要考查了等差数列的性质及求和 公式的应用及恒成立与最值求解的相互转化关系的应用14（5分）设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是考点：基本不等式专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用分析：该题是考查利用基本不等式求最值问题，但直接运用基本不等式无从下手，可考虑运用换元思想，把要求最值的分母变为单项式，然后利用“1”的代换技巧转化为能利用基本不等式求最值得问题解答：解：设x+2=s，y+1=t，则s+t=x+y+3=4，所以=因为所以故答案为点评：本题考查了基本不等式，考查了换元法和数学转化思想，训练了整体代换技巧，解答此题的关键是运用换元后使分式的分母由多项式变为了单项式，展开后使问题变得明朗化二、解答题：（本大题共6道题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（14分）已知，B=x|x22x+1m20，m0，（1）若m=2，求AB；（2）若AB=B，求实数m的取值范围考点：一元二次不等式的解法；集合关系中的参数取值问题专题：不等式的解法及应用分析：（1）把m=2代入可解得集合A、B，求交集即可；（2）把AB=B转化为AB，构建不等式组求解集可得m的取值范围解答：解：（1）由得，解得2x6，A=x|2x6（3分）由m=2知x22x+1m20化为（x3）（x+1）0，解得1x3，B=x|1x3（6分）AB=x|2x3（7分）（2）AB=B，AB，（8分）又m0，不等式x22x+1m20的解集为1mx1+m，（11分）解得，m5，实数m的取值范围是5，+）（14分）点评：本题为不等式的解法，涉及集合的运算和转化的思想，属基础题16（14分）ABC中，AC=3，三个内角A，B，C成等差数列（1）若，求AB；（2）求的最大值考点：等差数列的性质；正弦定理；余弦定理专题：等差数列与等比数列；解三角形分析：（1）由A，B，C成等差数列易得，进而可得，由正弦定理可得答案；（2）由余弦定理可得32=a2+c2ac，结合基本不等式可得结论解答：解：（1）A，B，C成等差数列，2B=A+C，又A+B+C=，（2分）又，（4分）由正弦定理得：，所以；（7分）（2）设角A，B，C的对边为a，b，c，由余弦定理得：b2=a2+c22accosB，即32=a2+c2ac，（9分）又a2+c22ac，当且仅当a=c时取到等号，所以9=a2+c2acac（11分）所以，所以的最大值是（14分）点评：本题为三角形与基本不等式的结合，涉及等差数列的定义和向量的数量积，属中档题17（15分）如图，四边形ABCD为正方形，在四边形ADPQ中，PDQA又QA平面ABCD，（1）证明：PQ平面DCQ；（2）CP上是否存在一点R，使QR平面ABCD，若存在，请求出R的位置，若不存在，请说明理由考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质专题：空间位置关系与距离分析：（1）要证明线面垂直PQ平面DCQ，根据其判定定理，需要证明PQ垂直于平面DCQ内的两条相交直线，由已知可证明CDPQ，只要再证明PQDQ即可（2）只要分别取PC、CD的中点，再利用三角形的中位线和平行四边形的判定与性质即可得到结论解答：解：（1）法一：QA平面ABCD，QACD，由四边形ABCD为正方形知DCAD，又QA、AD为平面PDAQ内两条相交直线，CD平面PDAQ，CDPQ在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，PQ2+DQ2=PD2由勾股定理得逆定理得：PQQD又CD、QD为平面ADCB内两条相交直线，PQ平面DCQ法二：QA平面ABCD，QA平面PDAQ，平面PDAQ平面ABCD，交线为AD又四边形ABCD为正方形，DCAD，DC平面PDAQ，可得PQDC在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQQD又CD、QD为平面ADCB内两条相交直线，PQ平面DCQ（2）存在CP中点R，使QR平面ABCD证：取CD中点T，连接QR，RT，AT，由三角形的中位线定理得：RTDP，且RT=DP，又AQDP，且AQ=DP，从而AQRT，且AQ=RT，四边形AQRT为平行四边形，所以ATQRQR平面ABCD，AT平面ABCD，QR平面ABCD即存在CP中点R，使QR平面ABCD点评：掌握线面、面面平行和垂直的判定与性质定理是解题的关键18（15分）某啤酒厂为适应市场需要，2011年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生产量为16000吨，葡萄酒生产量1000吨该厂计划从xx年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，试问：（1）哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？（2）从2011年起（包括2011年），经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的？（生产总量是指各年年产量之和）考点：函数模型的选择与应用专题：应用题；函数的性质及应用分析：（1）利用该厂计划从xx年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，可得该厂第n年啤酒和葡萄酒年生产量，进而可得啤酒与葡萄酒的年生产量之和，利用基本不等式，可求最值；（2）利用葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的，建立不等式，即可求得结论解答：解：设从2011年起，该厂第n年啤酒和葡萄酒年生产量分别为an吨和bn吨，经过n年后啤酒和葡萄酒各年生产量的总量分别为An吨和Bn吨（1）设第n年啤酒和葡萄酒生产的年生产量为Dn吨，依题意，=，=5002n，（nN*），（4分）则Dn=an+bn=+5002n=，当且仅当，即n=3时取等号，故xx年啤酒和葡萄酒生产的年生产量最低，为8000吨（7分）（2）依题意，得Bn2An，1000（2n1），2n10，2n64=26，n6，从第6年起，葡萄酒各年生产的总量不低于啤酒各年生产总量与葡萄酒各年生产总量之和的（15分）点评：本题考查数列知识的运用，考查利用数学知识解决实际问题，考查数列的通项与求和，属于中档题19（16分）已知函数，且f（1）=1，f（2）=4（1）求a、b的值；（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；（3）当x1，2时，不等式恒成立，求实数m的取值范围考点：函数恒成立问题；函数最值的应用专题：计算题；函数的性质及应用分析：（1）由f（1）=1，f（2）=4，代入可方程，解方程即可求解a，b得关于a，b的（2）由（1）可知，利用两点间的距离个公式代入，结合x的范围可求x+1=t0，然后结合基本不等式式即可求解（3）问题即为对x1，2恒成立，即对x1，2恒成立，则0m1或m2法一：问题化为对x1，2恒成立，mxmx2mx+m对x1，2恒成立，从而可转化为求解函数的最值，利用函数的单调性即可求解法二：问题即为对x1，2恒成立，即对x1，2恒成立，0m1或m2问题转化为x|xm|m对x1，2恒成立，令g（x）=x|xm|，结合函数的性质可求解答：解：（1）由f（1）=1，f（2）=4得解得：（3分）（2）由（1），所以，令x+1=t，t0，则=因为x1，所以t0，所以，当，所以，（8分）即AP的最小值是，此时，点P的坐标是（9分）（3）问题即为对x1，2恒成立，也就是对x1，2恒成立，（10分）要使问题有意义，0m1或m2法一：在0m1或m2下，问题化为对x1，2恒成立，即对x1，2恒成立，mxmx2mx+m对x1，2恒成立，当x=1时，或m2，当x1时，且对x（1，2恒成立，对于对x（1，2恒成立，等价于，令t=x+1，x（1，2，则x=t1，t（2，3，t（2，3递增，结合0m1或m2，m2对于对x（1，2恒成立，等价于令t=x1，x（1，2，则x=t+1，t（0，1，t（0，1递减，m4，0m1或2m4，综上：2m4（16分）法二：问题即为对x1，2恒成立，也就是对x1，2恒成立，（10分）要使问题有意义，0m1或m2故问题转化为x|xm|m对x1，2恒成立，令g（x）=x|xm|若0m1时，由于x1，2，故g（x）=x（xm）=x2mx，g（x）在x1，2时单调递增，依题意g（2）m，舍去；若m2，由于x1，2，故，考虑到，再分两种情形：（），即2m4，g（x）的最大值是，依题意，即m4，2m4；（），即m4，g（x）在x1，2时单调递增，故g（2）m，2（m2）m，m4，舍去综上可得，2m4（16分）点评：本题主要考查了利用待定系数法求解函数的解析式，及基本不等式在求解函数的 值域中的应用，函数的恒成立问题与函数最值求解中的综合应用20（16分）（xx昌平区二模）设数列an，对任意nN*都有（kn+b）（a1+an）+p=2（a1+a2+an），（其中k、b、p是常数）（1）当k=0，b=3，p=4时，求a1+a2+a3+an；（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列an的通项公式；（3）若数列an中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”当k=1，b=0，p=0时，设Sn是数列an的前n项和，a2a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”an，使得对任意nN*，都有Sn0，且若存在，求数列an的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由考点：数列与不等式的综合；数列递推式专题：综合题；压轴题；等差数列与等比数列分析：（1）当k=0，b=3，p=4时，3（a1+an）4=2（a1+a2+an），再写一式，两式相减，可得数列an是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求a1+a2+a3+an；（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+an）=2（a1+a2+an），再写一式，两式相减，可得数列an是等差数列，从而可求数列an的通项公式；（3）确定数列an的通项，利用an是“封闭数列”，得a1是偶数，从而可得，再利用，验证，可求数列an的首项a1的所有取值解答：解：（1）当k=0，b=3，p=4时，3（a1+an）4=2（a1+a2+an），用n+1去代n得，3（a1+an+1）4=2（a1+a2+an+an+1），得，3（an+1an）=2an+1，an+1=3an，（2分）在中令n=1得，a1=1，则an0，数列an是以首项为1，公比为3的等比数列，a1+a2+a3+an=（4分）（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+an）=2（a1+a2+an），用n+1去代n得，（n+1）（a1+an+1）=2（a1+a2+an+an+1），得，（n1）an+1nan+a1=0，（6分）用n+1去代n得，nan+2（n+1）an+1+a1=0，得，nan+22nan+1+nan=0，即an+2an+1=an+1an，（8分）数列an是等差数列a3=3，a9=15，公差，an=2n3（10分）（3）由（2）知数列an是等差数列，a2a1=2，an=a1+2（n1）又an是“封闭数列”，得：对任意m，nN*，必存在pN*使a1+2（n1）+a1+2（m1）=a1+2（p1），得a1=2（pmn+1），故a1是偶数，（12分）又由已知，故一方面，当时，Sn=n（n+a11）0，对任意nN*，都有另一方面，当a1=2时，Sn=n（n+1），则，取n=2，则，不合题意（14分）当a1=4时，Sn=n（n+3），则，当a16时，Sn=n（n+a11）n（n+3），又，a1=4或a1=6或a1=8或a1=10（16分）点评：本题考查数列的通项与求和，考查等差数列、等比数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于难题第二部分（加试部分）三、（共4小题，满分40分）21（10分）已知圆的极坐标方程为：，将此方程化为直角坐标方程，并求圆心的极坐标考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化专题：选作题分析：先将方程：展开并化为2=2cos2sin，再利用公式x=cos，y=sin即可化为普通方程解答：解：由，得=2cos2sin，2=2cos2sin，x2+y22x+2y=0，即（x1）2+（y+1）2=2圆心直角坐标是（1，1），圆心的极坐标为点评：本题考查了极坐标方程化为普通方程，掌握互化公式及化简方法是解题的关键22（10分）如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，已知AB=3，AD=4，AA1=2，M是棱A1D1的中点，求直线AM与平面BB1D1D所成角的正弦值考点：用空间向量求直线与平面的夹角专题：空间角分析：先建立空间坐标系，分别求出向量与平面BB1D1D的法向量的坐标，再利用公式直线AM与平面BB1D1D所成的角是，则sin=即可求出解答：解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1为坐标轴，建立Oxyz坐标系，则，设平面BDD1B1的一个法向量为=（x，y，z）由，可得z=0，令x=3，则y=4，可得平面BB1D1D的一个法向量=（3，4，0），设直线AM与平面BB1D1D所成的角是，则sin=故直线AM与平面BB1D1D所成角的正弦值是点评：正确利用公式直线AM与平面BB1D1D所成的角，则sin=是解题的关键23（10分）袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机地抽取4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分（1）求得分X不大于6的概率；（2）求得分X的数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；排列、组合及简单计数问题专题：概率与统计分析：（1）取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，所以得分x=5，6，8，因为从袋中随机地抽取4个球，总共有种取法，然后根据概率公式进行求解；（2）根据题意求得分X的数学期望，x可以取5，6，7，8，分别求出相对应的概率，然后列出分布列，然后利用数学期望公式进行求解；解答：解：（1），（4分）（2）得分X的所有可能值为：5，6，7，8，得分X的分布列为X5678PEX=（10分）点评：此题主要考查离散型随机变量的期望与公式，这是高考必考的热点问题，比较简单，是一到中档题；24（10分）设函数f（x）=xsinx，数列an满足an+1=f（an）（1）若a1=2，试比较a2与a3的大小；（2）若0a11，求证：0an1对任意nN*恒成立考点：数学归纳法；数列与函数的综合专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）直接利用函数f（x）=xsinx，数列an满足an+1=f（an），可得a3a20，从而可得结论；（2）证题的关键是n=k+1时，结论成立，利用函数是（0，1）上的单调递增函数即可解答：（1）解：a1=2时，a2=f（2）=2sin2（0，2），所以sina20，所以a3a2=sina20，所以a2a3（4分）（2）证明：n=1时，结论成立；设n=k时，0ak1，则当n=k+1时，ak+1ak=sinak0，即ak+1ak1，（6分）当x（0，1）时，f（x）=1cosx0，即f（x）是（0，1）上的单调递增函数，所以ak+1=f（ak）f（0）=0，即0ak+11即n=k+1时，结论成立，综上可得，当0a11时，0an1对任意nN*恒成立，（10分）点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，掌握数学归纳法的证题步骤是关键