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13.4课题学习,最短路径问题,复习回顾,如图，从A点到B点有三条线路，哪条最短？,依据：两点之间，线段最短。,复习回顾,如图，点A是直线 l 外一点，点A到直线的所有线路中，最短的是？,依据：垂线段最短。,复习回顾,如图，点A，点B是直线l两侧的点，请在直线l上找一点C,使AC+BC最短。,新知探究,问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？,新知探究,精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马”。你能将这个问题抽象为数学问题吗？,新知探究,追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？,将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线,新知探究,追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？,如图，在直线l上找一点C，使AC+BC最短。,新知探究,问题转化 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？,新知探究,作法： （1）作点B 关于直线l 的对称 点B； （2）连接AB，与直线l 相交 于点C 则点C 即为所求,问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？,新知探究,追问3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？,新知探究,若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小,追问4 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C（与点C 不重合），证明AC +BC AC +BC？这里的“C”的作用是什么？,运用新知,练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径,新课推进,问题2 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）,新课推进,追问1 如图假定任选位置造桥，连接和，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？,追问2 利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？如何解决？,新课推进,A1,M,N,解：如图，平移A到A1，使A1等于河宽，连接A1交河岸于作桥，此时路径最短.,理由；另任作桥，连接，.,由平移性质可知，.,AM+MN+BN转化为，而 转化为.,在中，由线段公理知A1N1+BN1A1B,因此 AM+MN+BN,归纳小结,在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。,
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