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第9节 函数模型及应用,.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义 .了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用,整合主干知识,几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型,(2)三种函数模型的性质,递增,递增,y轴,x轴,1(2015南昌质检)往外埠投寄平信，每封信不超过20 g，付邮费0.80元，超过20 g而不超过40 g，付邮费1.60元，依此类推，每增加20 g需增加邮费0.80元(信的质量在100 g以内)如果某人所寄一封信的质量为72.5 g，则他应付邮费( ) A3.20元 B2.90元 C2.80元 D2.40元 解析：由题意得20372.5204，则应付邮费0.8043.20(元)故选A. 答案：A,2某种细胞，每15分钟分裂一次(12)这种细胞由1个分裂成4 096个需经过( ) A12小时 B4小时 C3小时 D2小时 解析：2124 096，分裂了12次 答案：C,3某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为yalog3(x1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到( ) A200只 B300只 C400只 D500只 解析：由已知得100alog3(21)，得a100， 则当x8时，y100log3(81)200(只)故选A. 答案：A,4给出下列命题： 函数y2x的函数值在(0，)上一定比yx2的函数值大； 在(0，)上，随着x的增大，yax(a1)的增长速度会超过并远远大于yx(0)的增长速度； “指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻； 幂函数增长比直线增长更快；,指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中 其中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号) 解析：错误当x(0,2)和(4，)时，2xx2，当x(2,4)时，x22x. 正确由两者的图象易知 错误增长越来越快的指数型函数是yabxc(a0，b1),错误幂函数yxn(01)的增长速度比直线yx(x1)的增长速度慢 正确根据指数函数yax(a1)函数值增长特点知正确 答案：,答案：2 500,聚集热点题型,二次函数模型,(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 思路点拨 (1)根据函数模型，建立函数解析式(2)求函数最值,名师讲坛二次函数是常用的函数模型， 建立二次函数模型可以求出函数的值域或最 值解决实际中的优化问题时，一定要分 析自变量的取值范围利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得,变式训练 1(2015衡水模拟)某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元),分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式； 已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产 ()若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ ()问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ 解：设A，B两种产品分别投资x万元，x万元，x0，所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元,典例赏析2 已知某物体的温度(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是m2t21t(t0，并且m0) (1)如果m2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围,指数函数模型,名师讲坛此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型yN(1p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型ya(1x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解,分段函数模型,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿 (1)当x200,300时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？ (2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 思路点拨题目中月处理成本与月处理量的关系为分段函数关系，项目获利和月处理量的关系也是分段函数关系,名师讲坛本题的难点是函数模型是一个分段函数，由于月处理量在不同范围内，处理的成本对应的函数解析式也不同，故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值，然后将这些区间内的最值进行比较确定最值,(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该公司在这一产品的产销过程中所获利润最大？,备课札记 _,提升学科素养,分类讨论思想在函数实际问题中的应用,国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元 (1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？,审题视角以人数为自变量建立函数模型，并求解这个函数在什么情况下达到最大值,因为S900x15 000在区间(0,30上为单调增函数， 故当x30时，S取最大值12 000元， 又S10(x60)221 000在区间(30,75上当x60时，取得最大值21 000. 故当x60时，旅行社可获得最大利润,方法点睛很多实际问题中用一个函数关系式不能够完全表达其变化规律，这就需要使用分段函数进行表达，然后在不同的段上研究问题的发展变化规律，再把各段上的发展变化规律进行通盘考虑，得到实际问题的整体变化规律，这是分类与讨论思想在函数实际应用题中的应用,(2015太原模拟)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)在甲提供的资料中有：这种消费品的进价为每件14元；该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；每月需各种开支2 000元 (1)当商品的销售价格为每件多少元时，月利润余额最大？并求最大余额； (2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？,1一个防范实际问题的定义域 要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域 2一个步骤解决实际应用问题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；,(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问 题还原为实际问题的意义 以上过程用框图表示如下：,
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