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3 简谐运动的回复力和能量,填一填,练一练,1.简谐运动的回复力(见课本第10页) (1)回复力: (2)简谐运动的动力学特征:如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比,并且总是指向平衡位置,质点的运动就是简谐运动。,填一填,练一练,2.简谐运动的能量(见课本第11页) (1)振动系统的状态与能量的关系: 一般指振动系统的机械能,振动的过程就是动能和势能互相转化的过程。 在最大位移处,势能最大,动能为零; 在平衡位置处,动能最大,势能最小; 在简谐运动中,振动系统的机械能守恒,因此简谐运动是一种理想化模型。 (2)决定能量大小的因素: 振动系统的机械能跟振幅有关,振幅越大,机械能就越大,振动越强。对于一个确定的简谐运动来说它是等幅振动。,填一填,练一练,弹簧振子在做简谐运动的过程中,下列说法正确的是 ( ) A.加速度的方向总是与位移的方向相同,而与速度方向相反 B.在靠近平衡位置运动时,速度方向与位移方向相反,且大小都减小 C.从平衡位置处到最大位移处它的动能逐渐减小 D.从最大位移处到平衡位置处它的机械能逐渐减小 解析:由牛顿第二定律知 ,a与x成正比,x减小时,a的大小也减小,a与x的方向总相反,A错;在靠近平衡位置运动时,位移减小,速度增大,则B错;从平衡位置处到最大位移处的运动是振子远离平衡位置的运动,速度减小,动能减小,C对;简谐运动过程中机械能守恒,故D错。 答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一对回复力和加速度的理解 问题导引 如图为水平弹簧振子的模型(杆光滑): (1)振子在运动过程中所受的合力有什么特点? (2)振子所受的合力产生了什么效果?,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,名师精讲 1.回复力是根据力的效果命名的,它可以是一个力,也可以是多个力的合力,还可以由某个力的分力提供,其表达式都可写成F=-kx。例如:如图甲所示,水平方向上弹簧振子,弹力充当回复力;如图乙所示,竖直方向上弹簧振子弹力和重力的合力充当回复力;如图丙所示,A随B一起振动,A的回复力是静摩擦力。,探究一,探究二,探究三,探究四,2.“负号”表示回复力的方向与位移方向始终相反。 3.表达式反映出了回复力F与位移量之间的正比关系,位移越大,回复力越大;位移增大为原来的几倍,回复力也增大为原来的几倍。 4.因x=Asin(t+),故回复力F=-kx=-kAsin(t+),可见回复力随时间按正弦规律变化。 5.式中“k”虽然是系数,但有单位,其单位是由F和x的单位决定的,即为N/m。 6.简谐运动中,x变化,回复力F随之改变,可见 也是随x在改变,所以简谐运动是一个变加速运动。其位移跟加速度的关系为 ,加速度大小跟位移大小成正比,方向相反。,探究一,探究二,探究三,探究四,典例剖析 【例题1】 如图所示,质量为m1的物体A放置在质量为m2的物体B上,B与弹簧相连,它们一起在光滑水平面上做简谐运动,振动过程中A、B之间无相对运动,设弹簧劲度系数为k,当物体离开平衡位置的位移为x时,A、B间摩擦力的大小等于( ),探究一,探究二,探究三,探究四,解析:A、B相对静止,一起在弹簧作用下做简谐运动,当位移是x时,其回复力为kx,但kx并不是A物体的回复力,也不是B物体的回复力,是系统的。 A物体随B一起做简谐运动的回复力就是B对A的摩擦力,从这里可以看出,静摩擦力也可以提供回复力。A物体的加速度就是B物体的加速度,也是整体的加速度。 当物体离开平衡位置的位移为x时,回复力(即弹簧弹力)的大小为kx,以整体为研究对象,此时A与B具有相同的加速度,根据牛顿第二定律kx=(m1+m2)a,得 以A为研究对象,使其产生加速度的力即为B对A的静摩擦力F,由牛顿第二定律可得 答案:D,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,探究二简谐运动的判断依据 问题导引 如图所示,劲度系数为k的弹簧上端固定在天花板的P点,下端挂一质量为m的物块,物块静止后,再向下拉长弹簧,然后放手,弹簧上下振动,试说明物块的运动是简谐运动。,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,名师精讲 1.运动学方法 找出质点的位移与时间的关系,若遵循正弦函数的规律,即它的振动图象(x-t图象)是一条正弦曲线,就可以判定此振动为简谐运动,通常很少应用这个方法。,探究一,探究二,探究三,探究四,2.动力学方法 (1)判断振动是否为简谐运动的动力学方法模型: (2)模型突破:写出回复力和位移的关系式,若满足F=-kx(或a=- x),就可以判定此振动为简谐运动。,探究一,探究二,探究三,探究四,典例剖析 【例题2】 导学号38190013一质量为m,侧面积为S的正方体木块,放在水面上静止(平衡),如图所示。现用力向下将其压入水中一段深度后(未全部浸没)撤掉外力,木块在水面上下振动,试判断木块的振动是否为简谐运动。 点拨:确定研究对象分析受力情况找出回复力写成F=-kx的形式,探究一,探究二,探究三,探究四,解析: 以木块为研究对象,设水密度为,静止时木块浸入水中x深,当木块被压入水中x后所受力如图所示,则F回=mg-F浮 又F浮=gS(x+x) 由、两式,得F回=mg-gS(x+x)=mg-gSx-gSx 因为mg=gSx,所以F回=-gSx 即F回=-kx(k=gS) 所以木块的振动为简谐运动。 答案:木块的振动是简谐运动,探究一,探究二,探究三,探究四,变式训练2 如图所示,在光滑水平面上,用两根劲度系数分别为k1与k2的轻弹簧系住一个质量为m的小球,开始时,两弹簧均处于原长,然后使小球向左偏离x后放手,可以看到小球在水平面上做往复运动,试问:小球是否做简谐运动?,探究一,探究二,探究三,探究四,解析:以小球为研究对象进行受力分析,小球在竖直方向处于受力平衡状态,水平方向受到两根弹簧的弹力作用。设小球位于平衡位置左方某处时,偏离平衡位置的位移为x。左方弹簧受压,对小球的弹力大小为F1=k1x,方向向右。右方弹簧被拉,对小球的弹力大小为F2=k2x,方向向右。小球所受的回复力等于两个弹力的合力,其大小为F=F1+F2=(k1+k2)x,方向向右。令k=k1+k2,上式可写成:F=kx。由于小球所受回复力的方向与位移x的方向相反,考虑方向后,上式可表示为F=-kx。所以小球将在两根弹簧的作用下,在水平面内做简谐运动。 答案:见解析,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,探究三简谐运动中各个物理量的变化规律 问题导引 如图所示,O点为振子的平衡位置,A、A分别是振子运动的最左端和最右端。 (1)振子在振动过程中通过O点时速度最大还是最小? (2)振子在振动过程中由AA点时加速度如何变化?,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,名师精讲 1.根据水平弹簧振子图,可分析各个物理量的变化关系如下,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,通过上表不难看出:位移、回复力、加速度三者同步变化,与速度的变化相反。通过上表能看出两个转折点:平衡位置O点是位移方向、加速度方向和回复力方向变化的转折点;最大位移处的A点和B点是速度方向变化的转折点。通过上表还可以比较出两个过程,即向平衡位置O靠近的过程(AO及BO)与远离平衡位置O的过程(OB及OA)的不同特点:靠近O点时速度变大,远离O点时位移、加速度和回复力变大。 2.各个物理量对应关系不同 位置不同,位移不同,加速度、回复力不同,但是速度、动能、势能可能相同,也可能不同。,探究一,探究二,探究三,探究四,典例剖析 【例题3】 把一个小球套在光滑细杆上,球与轻弹簧相连组成弹簧振子,小球沿杆在水平方向做简谐运动,它围绕平衡位置O在A、B间振动,如图所示,下列结论正确的是( ) A.小球在O位置时,动能最大,加速度最小 B.小球在A、B位置时,动能最大,加速度最大 C.小球从A经O到B的过程中,回复力一直做正功 D.小球从B到O的过程中,振子振动的能量不断增加,探究一,探究二,探究三,探究四,解析:小球在平衡位置O时,弹簧处于原长,弹性势能为零,动能最大,位移为零,加速度为零,A项正确;在最大位移A、B处,动能为零,加速度最大,B项错误;由AO回复力做正功,由OB,回复力做负功,C项错误;由BO动能增加,弹性势能减小,总能量不变,D项错误。 答案:A,探究一,探究二,探究三,探究四,变式训练3 如图所示,由轻质弹簧下面悬挂一物块组成一个竖直方向振动的弹簧振子,弹簧的上端固定于天花板,当物块处于静止状态时,取它的重力势能为零,现将物块向下拉一小段距离后放手,此后振子在平衡位置附近上下做简谐运动,不计空气阻力,则( ) A.振子速度最大时,振动系统的势能为零 B.振子速度最大时,物块的重力势能与弹簧的弹性势能相等 C.振子经平衡位置时,振动系统的势能最小 D.振子在振动过程中,振动系统的机械能不守恒,探究一,探究二,探究三,探究四,解析:当振子在平衡位置时的速度最大,此时的重力势能为零,但是弹簧的弹性势能不为零,故振动系统的势能不为零;选项A错误;在平衡位置时,物块的重力势能与弹簧的弹性势能不相等,选项B错误;因为只有重力和弹簧弹力做功,则振子的动能、重力势能及弹性势能守恒,故在平衡位置动能最大时,振动系统的势能最小,选项C正确,D错误。 答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,探究四简谐运动的三大特征 问题导引 如图所示,物体在A、B之间做简谐运动,O点为平衡位置,C、D两点关于O点对称。 (1)物体经过C、D两点时的位移有什么特点? (2)物体经过C、D两点时的速度、加速度有什么特点?,探究一,探究二,探究三,探究四,名师精讲 1.瞬时性 做简谐运动的物体在不同时刻运动到不同的位置,对应不同的位移,由F=-kx可知回复力不同。由牛顿第二定律得 ,可知加速度a也不相同,也就是说a、F、x具有瞬时对应性。 2.对称性 对称性是简谐运动的重要特征之一。所谓对称性是做简谐运动的物体在相对于平衡位置对称的位置上具有对称性,即回复力、位移、加速度都等值反向,速率、动能与势能都分别相等,振动物体通过平衡位置两侧的两段对称路径上的时间相等,物体通过平衡位置一侧的一段路径的往返时间也相等。,探究一,探究二,探究三,探究四,3.周期性 简谐运动是一种往复的周期性运动,按其周期性可作如下判断: (1)若t2-t1=nT,则t1、t2两时刻振动物体在同一位置,运动情况完全相同。 (2)若t2-t1=nT+ 则t1、t2两时刻描述运动的物理量(x、F、a、v)大小均相等、方向相反(或均为零)。,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,【例题5】 质量为m1和m2两物块用轻弹簧相连,将它们竖立在水平面上,如图所示。现在用竖直向下的压力压m1,使它们处于静止状态。突然撤去压力,当m1上升到最高点时,m2对地压力恰好为零。则系统静止时竖直向下压力大小等于多少?(提示:撤去力后m1上下做简谐运动),探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,变式训练4 导学号38190014一个做简谐运动的质点,先后以同样的速度通过相距10 cm的A、B两点,历时0.5 s。过B点后再经过t=0.5 s质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点,则质点振动的周期是( ) A.0.5 s B.1.0 s C.2.0 s D.4.0 s,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,1 2 3 4 5,1.关于简谐运动的回复力,下列说法正确的是( ) A.可以是恒力 B.可以是方向不变而大小变化的力 C.可以是大小不变而方向改变的力 D.一定是变力 解析:回复力特指使振动物体回到平衡位置的力,对简谐运动而言,其大小必与位移大小成正比,方向与位移方向相反,故回复力一定为变力。选项D正确。 答案:D,1 2 3 4 5,2. 质点沿x轴做简谐运动,平衡位置为坐标原点O,如图所示,质点由a经O向b运动,质点经过a点和b点时速度相同,且tab=0.2 s;质点由b点再次回到a点用的最短时间tba=0.4 s;则该质点做简谐运动的频率为 ( ) A.1 Hz B.1.25 Hz C.2 Hz D.2.5 Hz,1 2 3 4 5,3.一水平放置的弹簧振子的振动图象如图所示,由图可知 ( ) A.在t1时刻,振子的动能最大,所受的弹力最大 B.在t2时刻,振子的动能最大,所受的弹力最小 C.在t3时刻,振子的动能最大,所受的弹力最小 D.在t4时刻,振子的动能最大,所受的弹力最大 解析:由题图知t1和t3时刻,振子分别处于正向最大位移和负向最大位移处,速度为零,动能为零;弹簧形变最大,振子所受弹力最大,可见选项A、C均错误。由题图知t2和t4时刻,振子处于平衡位置,速度最大,动能最大;弹簧无形变,振子所受弹力最小,可见选项B正确,选项D错误。 答案:B,1 2 3 4 5,4.如图所示,一弹簧振子在A,B间做简谐运动,平衡位置为O,已知振子的质量为m0。 (1)简谐运动的能量取决于 ,物体振动时 动能和 能相互转化,总机械能 。 (2)振子在振动过程中,下列说法中正确的是( ) A.振子在平衡位置,动能最大,势能最小 B.振子在最大位移处,势能最大,动能最小 C.振子在向平衡位置运动时,由于振子振幅减小,故总机械能减小 D.在任意时刻,动能与势能之和保持不变 (3)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到m0的上面,且m和m0无相对滑动而一起运动,下列说法正确的是( ) A.振幅不变 B.振幅减小 C.最大动能不变 D.最大动能减小,1 2 3 4 5,解析:(1)简谐运动的能量取决于振幅,物体振动时动能和弹性势能相互转化,总机械能守恒。 (2)振子在平衡位置两侧往复运动,在最大位移处速度为零,动能为零,此时弹簧的形变最大,势能最大,所以选项B正确;在任意时刻只有弹簧的弹力做功,所以机械能守恒,选项D正确;到平衡位置处速度达到最大,动能最大,势能最小,所以选项A正确;振幅的大小与振子的位置无关,所以选项C错误。 (3)振子运动到B点时速度恰为零,此时放上m,系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能,由于简谐运动中机械能守恒,所以振幅保持不变,因此选项A正确,B错误。由于机械能守恒,最大动能不变,所以选项C正确,D错误。 答案:(1)振幅 弹性势 守恒 (2)ABD (3)AC,1 2 3 4 5,5.导学号38190015(选做题)劲度系数为k的轻弹簧上端固定一质量为m的小球,向下压小球后从静止释放,小球开始做简谐运动。该过程小球的最大加速度是2.8g(g为重力加速度)。求: (1)简谐运动的振幅大小A; (2)当小球运动到最低点时,小球对弹簧的弹力F的大小和方向; (3)若弹簧原长为l,则振动过程中弹簧的最大长度l是多少?,1 2 3 4 5,
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