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3.2 均值不等式,证明：,1指出定理适用范围：,2强调取“=”的条件：,重要不等式：,如果a, bR+，那么,（当且仅当a=b,时，式中等号成立）,证明：,即：,当且仅当a=b时,均值不等式：,注意1适用的范围：a, b 为非负数.,2语言表述：两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数。,几何直观解释：,令正数a，b为两条线段的长，用几何作图的方法，作出长度为 和 的两条线段，然后比较这两条线段的长。,具体作图如下：,（1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b,（2）以AB为直径作半圆O；,（3）过D点作CDAB于D，交半圆于点C,（4）连接AC，BC，CA，则,当ab时，OCCD，即,当a=b时，OC=CD，即,看做正数a，b的等比中项，,那么上面不等式可以叙述为：,两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。,例1.已知x0, y0, xy=24, 求4x+6y的最小值，并说明此时x,y的值,练习1.已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值,当且仅当,例2、已知ab0，求证：,并推导出式中等号成立的条件。,练习3、已知,，求函数,的最大值.,思考：已知,，求函数,的值域.,2,-2,例4已知函数 ， 求函数的最小值,课后延伸： 已知x0,y0,且x+y=1,求 的最小值,练习：已知x,y为正数,且2x+y=2求 最小值,提示：“1”的妙用,下面几道题的解答可能有错，如果错了，那么错在哪里？,已知函数 ，求函数的最小值和此时x的取值,运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个条件,已知函数 ， 求函数的最小值,用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件,用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.,运用均值不等式求最值的条件:一正二定三相等,
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