资源描述
1.1回归分析的基本思想及其初步应用（二） 随机误差与线性回归模型,一.复习回顾,1、线性回归模型：y=bx+a+e （其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差）。,1）确定变量； 2）作散点图，判断相关关系； 3）设回归方程；4）求回归方程；5）根据回归方程作出预报.,2.线性回归分析的基本步骤：,3、线性相关关系强弱的判断：相关系数r 1)相关系数r,2) 相关系数r的性质: （1）|r|1 （2）正相关；负相关 （3）|r|越接近于1，x与y相关程度越强； |r|越接近于0，x与y相关程度越弱,例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。,案例1：女大学生的身高与体重,解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：,2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。,3、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。,思考：有些时候，样本数据中难免混有错误数据，通过何 种方法把它剔除？,1.残差分析与残差图的定义：,然后，我们可以通过残差 来判断模型 拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的 分析工作称为残差分析。,我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差， 横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等， 这样作出的图形称为残差图。,数据点和它在回归直线上相应位置的差异 是随机误差 的效应，称 为残差。,注意：（1）残差分析步骤：,1）计算每组数据的残差，即样本值减预测值,2）画残差图。纵坐标为残差，横坐标为自变量。,3）分析残差图,4）找异常值,（2）残差图的制作： 坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择. 横轴为编号：可以考察残差与编号次序之间的关系，常用于调查数据错误. 横轴为解释变量：可以考察残差与解释变量的关系，常用于研究模型是否 有改进的余地.,下表列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。,残差图,注意：残差图的作用： 1)发现原始数据中的可疑数据，问题数据 2)判断模型的适用性，若模型选择的正确，残差图中的点应该比较均匀地落在 以横轴为中心的水平的带状区域中 带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高， 说明选用的模型较合适。,2.用相关指数R2来刻画回归的效果：,注意：1） 取值范围在 0 , 1 之间，即0 R2 1 2)在线性回归模型中，相关指数R2表示解析变量x对预报变量y变化的贡献率。 代表自变量刻画预报变量的能力。 R2反映回归直线的拟合程度，是度量模型拟合效果的一种指标。 3）R2的值越大，说明残差平方和越小，模型拟合效果越好 R2的值越小，说明残差平方和越大，模型拟合效果越好 4） R2 1，说明回归方程拟合的越好,表示解析变量x和预报变量y的线性相 关性越强。 R20，说明回归方程拟合的越差 5）如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过 比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。 6）判定系数等于相关系数的平方，即R2(r)2,注：本例中R2=0.64，表示解析变量x对预报变量y约贡献了64%，即，可以叙述为 “身高解析了64%的体重变化”，而随机误差贡献了剩余的36%。 所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。,练习：关于x与y有如下数据：,为了对x、y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：y=6.5x+17.5，y=7x+17，试比较哪一个模型拟合的效果更好.,一.用身高预报体重时，需要注意下列问题：,这些问题也使用于其他问题。,涉及到统计的一些思想： 模型适用的总体； 模型的时间性； 样本的取值范围对模型的影响； 模型预报结果的正确理解。,小结,二.建立回归模型的基本步骤为：,1.确定变量,2.制作散点图，观察是否相关,3.确定回归方程的类型(线性回归、指数回归、对数回归等),4.利用公式确定回归参数,5.利用残差分析回归是否合理或模型是否合适,三.回归分析的一般方法： 1）.利用散点图观察两个变量是否线性相关 2）.利用残差来判断模型拟合的效果(残差分析) 利用残差图来分析数据，对可疑数据(残差较大的数据)进行重新调查，有错误就更正，然后重新利用回归模型拟合，如果没有错误，则需要找其他原因。,例1 在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：,求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。,解：,例1 在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：,求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。,解：列出残差表为,0.994,因而，拟合效果较好。,0,0.3,-0.4,-0.1,0.2,4.6,2.6,-0.4,-2.4,-4.4,练习 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用 y（万元），有如下的统计资料。,若由资料知,y对x呈线性相关关系。试求： （1）线性回归方程 的回归系数 ； （2）求残差平方和； （3）求相关系数 ； （4）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？,解：,（1）由已知数据制成表格。,所以有,小结,回归分析基本思想及其初步应用,基本思想,实际应用,回归分析,相关性方法分析,回归优劣分析,总偏差平方和,残差平方和,回归平方和,
展开阅读全文