资源描述
成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,北师大版 选修1-1,导数应用,第四章,章末归纳总结,第四章,1函数yf(x)在区间(a，b)上的单调性与其导数的正负的关系： 如果f(x)0，那么函数在这个区间内单调递增；如果f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的充分不必要条件，如果出现个别点使得f(x)0，不会影响函数f(x)在包含这些特殊点的某个区间内的单调性所以在已知函数的单调性，求参数的取值范围时，要注意等号是否可以取到，也就是导数值为零的点需要单独验证，以免出错,注意：当一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，这些单调区间一般不能用“”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开 3(1)一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较陡峭(向上或向下)；反之，函数的图像就平缓一些 (2)f(x0)的几何意义为曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率在区间(a，b)上，如果f(x)0，则切线倾斜角为锐角，曲线呈向上增加状态，即函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f(x)0，则切线倾斜角为钝角，曲线呈向下减少状态，即函数f(x)在区间(a，b)上单调递减,4(1)根据极值的定义可知，在可导函数中，若x0为极值点，则必有f(x0)0(此结论常用来求参数)，但f(x0)0时，x0不一定为极值点，还要满足在此点附近左右两侧函数的单调性相反，单调性一致时，不能作为极值点如函数f(x)x3可导，且在x0处满足f(0)0，但x0却不是极值点 (2)求函数yf(x)在区间a，b上的最值时，将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,(3)如果函数yf(x)的图像是区间a，b上一条连续不断的曲线，且在(a，b)上可导，则 f(x)在a，b上必有最值点 若函数yf(x)在区间(a，b)内只有一个导数值为0的点，且在这一点处取得极值，则该点一定是函数的最值点 (4)有关函数零点个数的问题，可以根据函数的单调性、极值和最值，利用数形结合的思想方法，借助函数图像判断函数零点的个数,5(1)已知f(x)在区间D上单调，求f(x)中参数的取值范围的方法为分离参数法通常将f(x)0(或f(x)0)的参数分离，转化为求函数的最值问题，从而求出参数的取值范围 (2)对于证明f(x)(或)m恒成立的问题，可以转化为证明相应函数yf(x)的最小值(或最大值)大于等于(或小于等于)m的问题,利用导数研究函数的单调性,(2)由(1)知f(x)x33x29x1， 则f(x)3x26x93(x3)(x1) 令f(x)0，解得x11，x23. 当x(，1)时，f(x)0，故f(x)在(，1)上为增函数； 当x(1,3)时，f(x)0，故f(x)在(3，)上为增函数 由此可见，函数f(x)的单调递增区间为(，1)和(3，)；单调递减区间为(1,3).,利用导数研究函数的极值和最值,1.应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求方程f (x)0的根； (3)检验f (x)0的根的两侧f (x)的符号 若左正、右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负、右正，则f(x)在此根处取得极小值 否则，此根不是f(x)的极值点,2求函数f(x)在闭区间a，b上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求f(x)在(a，b)内的极值； (2)将(1)中求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值 特别地，当f(x)在a，b上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(，),解析 (1)因为f (x)3x(xa)，所以有： 当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)，单调递减区间为(0，a)； 当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(，a)，(0，)，单调递减区间为(a,0)； 当a0时，f (x)3x20，所以函数f(x)在区间(，)上递增；,求参数的取值范围问题,已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法，一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法，利用导数法更为简捷在解决问题的过程中主要处理好等号的问题，因为f (x)0(或f (x)0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是：f (x)0或(f (x)0)，且使f (x)0的点仅有有限个利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：,导数的实际应用,1.利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法： (1)分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系yf(x)，根据实际问题确定yf(x)的定义域 (2)求方程f (x)0的所有实数根 (3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值,2利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题： (1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去 (2)在实际问题中，由f (x)0常常仅得到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值,答案 B 解析 f(x)的定义域为(0，)，f(x)lnx1， 由f(x0)2，得lnx012，解得x0e.,2函数f(x)2x33x212x5在0,3上的最大值和最小值分别是( ) A5，15 B5，4 C4，15 D5，16 答案 A 解析 由f(x)6x26x126(x1)(x2)0得x1或x2.因为f(0)5，f(2)15，f(3)4， 所以f(2)f(3)f(0)， 所以f(x)maxf(0)5，f(x)minf(2)15.,5函数yax31在(，)上是减函数，则a的取值范围是_ 答案 (，0) 解析 y3ax20恒成立， a0. 当a0时，y1不是减函数， a0. 故a的取值范围是(，0),7已知f(x)ax3bx22xc，在x2时有极大值6，在x1时有极小值 (1)求a、b、c的值； (2)求出f(x)在区间3,3上的最大值和最小值,
展开阅读全文