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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教版 必修2,直线与方程,第三章,章末归纳总结,第三章,专题一 直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度 (1)倾斜角的范围是0，180) (2)倾斜角与斜率的对应关系 90时，ktan； 90时，斜率不存在,已知直线l过点P(1,1)且与以A(1,0)、B(3，4)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围 探究 利用数形结合思想，观察直线的变化情况，根据斜率公式及范围求解，要特别注意当直线与x轴垂直时的情形,解析 如图所示，直线PA的斜率,规律总结：借助数形结合思想既可以定性地分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量地求解倾斜角与斜率的取值范围，此外在特殊位置处应利用分类讨论的思想方法,专题二 直线方程的五种形式的应用问题 已知ABC中，A(1,3)，AB、AC边上中线方程为x2y10和y10，求ABC各边所在的直线方程 探究 本题利用中线的特点(即AB的中点D在AB边的中线上)可解出各顶点的坐标，然后利用两点式可求出各边的方程 解析 设AB、AC边的中线分别为CD、BE，其中D、E为中点， 点B在中线y10上， 设点B的坐标为(xB,1),专题三 两条直线的位置关系 (1)已知直线的斜截式方程：l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则l1l2k1k2，且b1b2； l1l2k1k21； l1与l2相交k1k2.,(2)已知直线的一般式方程： l1：A1xB1yC10， l2：A2xB2yC20， 则：l1l2A1B2A2B1且A1C2A2C1； l1l2A1A2B1B20； l1与l2相交A1B2A2B1. (3)与直线l：AxByC0平行的直线系方程可设为AxByC10；与其垂直的直线方程可设为BxAyC20.,已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，分别求满足下列条件的a，b的值 (1)直线l1过点(3，1)，并且直线l1与直线l2垂直； (2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等 探究 对于(1)，由题意列出关于a，b的方程组求解；对于(2)，先得出关于a，b的关系，再由原点到l1，l2的距离相等求解,专题五 对称问题 (1)在对称问题中，点关于直线的对称是最基本的也是最重要的对称，解决此类问题要抓住两点：一是以已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上；二是已知点与对称点的连线与对称轴垂直 几种特殊对称： 关于原点对称：P(x，y)P(x，y)； 关于x轴对称：P(x，y)P(x，y)； 关于y轴对称：P(x，y)P(x，y)； 关于直线yx对称：P(x，y)P(y，x)； 关于直线yx对称：P(x，y)P(y，x),(2)与对称有关的最值问题 在直线l上找一点P到两定点A，B的距离之和最小，则点P必在线段AB上，所以要将l同侧的点利用对称转化为异侧的点 在直线l上找一点P到两点A，B的距离之差最大，则点P必定在线段AB(或BA)的延长线上，所以要将l异侧的点利用的对称转化为同侧的点 可以简单记“异侧和最小，同侧差最大”,已知点A(3,1)，在直线xy0和y0上分别有M和N使AMN的周长最短，求点M，N的坐标 探究 分别作出点A关于直线xy0和y0的对称点，利用两点之间线段最短来确定AMN的周长最短 解析 如图所示，点A关于直线xy0的对称点为A1(1,3)，点A关于直线y0的对称点为A2(3，1)，,专题六 直线系方程 (1)平行直线系：ykxb(k为常数，b为常数)，表示一组斜率为k的平行直线 (2)共点直线系：yy0k(xx0)(定点(x0，y0)，k为常数)，表示一束过定点(x0，y0)的直线(不包括直线xx0) (3)过直线l1，l2交点的直线系：设l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)表示一束过l1，l2交点的直线(不包括l2),求通过两条直线x3y100和3xy0的交点，且距原点距离为1的直线方程,专题七 分类讨论的思想 在解题过程中，遇到某一步被研究的对象包含多种可能的情形时，把被研究的对象划分成几个能用不同形式去解决的小问题，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想 利用分类讨论的思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点问题之一，这是因为：其一，分类讨论的问题都覆盖较多的知识点，有利于对学生知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力及分类讨论思想与技巧，因此有利于对能力的考查；其三，分类讨论问题常与实际问题相结合,已知直线l经过点P(3,1)，且被两平行直线l1：xy10和l2：xy60截得的线段的长为5，求直线l的方程,剖析 直线的点斜式方程是以直线斜率存在为前提的，当直线斜率不存在时，不能建立和使用直线的点斜式方程在错解中，设直线l的方程为yk(x3)1，已经默认了直线l的斜率存在，从而漏去了直线l斜率不存在的情况，而本题中过P点且斜率不存在的直线恰好符合题意，所以错解丢掉了一个解,正解 正解1：若直线l的斜率存在，由前面解法，知所求直线l的方程为y1. 若直线l的斜率不存在，则直线方程为x3，此时与l1和l2的交点分别为A(3，4)和B(3，9)，截得的线段AB的长|AB|49|5，符合题意 综上所述，直线l的方程为y1或x3.,点评 由上面分析可知，求过一定点，且被两已知平行直线截得线段长为定长a的直线，当a小于两平行直线之间的距离d时无解；当ad时有唯一解；当ad时有且只有两个解此题按以上思路分析，先求出夹角后再求直线l的斜率或倾斜角，从方法上看较为简便，即解法2较为简便,专题八 数形结合的思想方法 数学结合的思想是一种重要的思想方法，数形结合的应用大致分为两类：第一类“以数解形”就是有些图形太过于复杂或过于简单，直接观察不易求解，这时需要给图形赋值；第二类“以形助数”借助图形的直观性阐明数之间的关系,探究 本题考查数形结合的思想方法，不难发现，经过配方，可以把函数的右边看成是一个动点到两个定点的距离之和，再利用对称知识求出函数的最小值,点评 本题若直接求解，会比较繁琐，因此把问题转化为两点的距离问题，体现了从“数”到“形”的转化,专题九 转化与化归思想 数学问题的解答离不开转化与化归利用它把代数问题几何化，几何问题代数化，将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题，可使复杂的数学问题直观化，简单化，具体化，从而使问题快速得到解决,探究 利用已知条件将Sxy转化为关于x的二次函数，进而利用二次函数求最值,规律总结：(1)利用二次函数的图象和性质求最值作出二次函数的简图，结合性质求二次函数的最值，即以形助数 (2)利用配方法求函数的最值，转化为二次函数在某个区间上的最值问题,
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