资源描述
阶段复习课 第二课,【答案速填】 (ab0) |PF1|-|PF2|=2a,(2a0,b0) y2=2px(p0) x2=2py(p0),类型 一 圆锥曲线的定义及应用 “回归定义”解题的三点应用 应用一:在求轨迹方程时,若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的定义,写出所求的轨迹方程; 应用二:涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决; 应用三:在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决.,【典例1】(2013合肥高二检测)双曲线16x2-9y2=144的左、 右两焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且|PF1|PF2|=64, 求PF1F2的面积. 【解析】双曲线方程16x2-9y2=144化简为 即a2=9,b2=16,c2=25, 解得a=3,c=5,F1(-5,0),F2(5,0). 设|PF1|=m,|PF2|=n, 由双曲线的定义知|m-n|=2a=6,又已知mn=64,在PF1F2中,由余弦定理知cosF1PF2= = = F1PF2=60, = |PF1|PF2|sinF1PF2 = mnsin60=16 , PF1F2的面积为16 .,类型 二 圆锥曲线的方程 求方程的常用方法待定系数法 (1) (2)待定系数法的基本步骤: 定位置 设方程 求参数 得方程,(3)几点说明. 当焦点位置不确定时,要分情况讨论,也可以设为一般形式: 椭圆方程为Ax2+By2=1(A0,B0,AB);双曲线方程为Ax2+By2=1(AB0,b0)共渐近线的双曲线方 程可设为 (0);已知所求双曲线为等轴双曲线, 其方程可设为x2-y2=(0).,【典例2】已知双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点,它的一条渐近 线方程为x- y=0,求双曲线的方程. 【解析】方法一:椭圆x2+4y2=64, 即 其焦点是(4 ,0). 设双曲线方程为 (a0,b0), 其渐近线方程是y= x. 又双曲线的一条渐近线方程为x- y=0, 又由a2+b2=c2=48,解得a2=36,b2=12. 所求双曲线方程为 方法二:由于双曲线的一条渐近线方程为x- y=0, 则另一条渐近线方程为x+ y=0. 结合已知可设双曲线方程为x2-3y2=(0), 即,由椭圆方程 知 c2=a2-b2=64-16=48. 双曲线与椭圆共焦点, 则+ =48,=36. 故所求双曲线方程为,方法三:由双曲线与椭圆共焦点, 可设双曲线方程为 (1664). 双曲线的一条渐近线方程为x- y=0, 即y= x, =28, 故所求双曲线方程为,类型 三 圆锥曲线的性质及应用 1.圆锥曲线的主要性质 圆锥曲线的主要性质主要包括范围、对称性、焦点、顶点、长短轴(椭圆)、实虚轴(双曲线)、渐近线(双曲线)、离心率和准线(抛物线).,2.“三法”应对离心率,【典例3】设双曲线 (a0,b0)的右焦点为F, 直线l:x= (c为双曲线的半焦距)与两条渐近线交于P,Q两 点,如果PQF是直角三角形,则双曲线的离心率e= .,【解析】如图所示,设l与x轴交于M点. PQF是直角三角形,由双曲线的对称性可知,|PF|=|QF|,PFQF,|MF|=|PM|.,解方程组 结合图形可得 |PM|= 又|MF|=|OF|-|OM|=c- ab=c2-a2=b2,a=b. 故 答案:,类型 四 直线与圆锥曲线 1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何的角度看,直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类:无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点.其中,直线与圆锥曲线仅有一个公共点,对于椭圆,表示直线与其相切;对于双曲线,表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行;对于抛物线,表示与其相切或直线与其对称轴平行.,(2)从代数的角度看,可通过将表示直线的方程与曲线的方程组成方程组,消元后利用所得方程的根的情况来判断. 2.相交弦长 设弦AB端点的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k, 则弦长|AB|= 求弦长时,一般先设 出两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),其中的四个参数x1,y1,x2,y2 一般无需求出,而是应用根与系数的关系来解决.,3.三法应对“中点弦”,【典例4】(2013大庆高二检测)椭圆 (ab0) 的一个顶点为A(0,2),离心率 (1)求椭圆的方程. (2)直线l与椭圆相交于不同的两点M,N且P(2,1)为MN中点, 求直线l的方程.,【解析】(1)由已知得 又因为a2=b2+c2,解得 所以椭圆的方程为,(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),把M,N代入椭圆方程得: 4x12+12y12=48 4x22+12y22=48 -得:4(x1+x2)(x1-x2)+12(y1+y2)(y1-y2)=0. 又因为P(2,1)为MN的中点,上式化为2+3 =0, 所以kMN=- ,即kl=- , 所以直线l的方程为y-1=- (x-2),即2x+3y-7=0.,圆锥曲线中的最值 最值问题的常见解法 圆锥曲线的参数范围和最值问题属同一类问题,解法是统一的,主要有几何法与代数法,其中包括数形结合法、函数法、变量代换法、不等式(组)法、三角换元法等,主要考查观察、分析、综合、构造、创新等方面的综合思维能力.,【典例】(2013山西师大附中高二检测)设椭圆C: (ab0)的离心率e= ,右焦点到直线 的距离为 O为坐标原点. (1)求椭圆C的方程. (2)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明点O到直线AB的距离为定值,并求弦AB的最小值.,【解析】(1)由 得 即a=2c,b= c. 由右焦点到直线 的距离为 得: 解得a=2,b= 所以椭圆C的方程为,(2)当AB的斜率不存在时,可令直线AB的方程为x=t, OAOB,A(t,t)或(t,-t). 代入 并解得t= 此时O到直线AB的距离为 |AB|=|2t|= 当AB的斜率存在时, 设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线AB的方程为y=kx+m, 与椭圆 联立消去y得 3x2+4(k2x2+2kmx+m2)-12=0,x1+x2= x1x2= OAOB,x1x2+y1y2=0, x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0. 即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0, (k2+1) +m2=0, 整理得7m2=12(k2+1), 所以O到直线AB的距离 综上,O到直线AB的距离为定值.,OAOB,OA2+OB2=AB22OAOB, 当且仅当OA=OB时取“=”. 由dAB=OAOB得dAB=OAOB AB2d= 所以由上可知弦AB的长度的最小值是,轨迹问题 求轨迹问题的六种常用方法 (1)直接法:根据形成轨迹的几何条件和图形性质,直接写出所求动点坐标满足的关系,即题中有明显等量关系的或者可以用平面几何知识推出等量关系的,这时只要将这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程,由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤,也不需要特殊技巧,故称之为直接法.,(2)定义法:如果动点的轨迹满足已知曲线的定义,如圆、椭圆、双曲线、抛物线等,这时可以根据轨迹的定义直接写出轨迹方程. (3)待定系数法:根据条件可以确定曲线的类型,这时可以先设出其方程形式,再根据条件确定待定的系数,即根据题意建立方程或方程组,解方程或方程组即可.,(4)相关点法(代点法):如果所求动点是由另外一个动点的运动引起的,而另外一个动点又在一条已知曲线上运动,这时通常是设法用所求动点的坐标表示已知曲线上的动点的坐标,再将它代入已知曲线的方程即可. (5)参数法:如果难以直接找到动点坐标之间的关系,可以借助中间变量,即利用参数建立起动点坐标之间的关系,然后消去参数得到曲线的方程.这种方法的关键是如何选择恰当的参数和如何消去参数,解题的一般步骤为:引入参数建立参数方程消去参数(注意等价性),得到一个等价的普通方程.,(6)交轨法:如果要求两条动曲线交点的轨迹方程,这时一般是通过联立动曲线的方程构成方程组,通过解方程组得到交点的坐标(含变量参数),再消去参数求出所求交点的轨迹方程,这种方法经常与参数法并用.,【典例】已知两同心圆的半径分别为5和4,AB为小圆的直径,求以大圆的切线为准线且过A,B两点的抛物线的焦点的轨迹方程. 【解析】以AB所在直线为x轴,线段AB的中点为坐标原点,建立平面直角坐标系.设大圆的切线为l,抛物线的焦点为F,过点A,B,O分别作l的垂线,垂足分别为点A1,B1,O1,由抛物线定义得|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.,又由梯形中位线定理,得|AA1|+|BB1|=2|OO1|, |AF|+|BF|=2|OO1|=10. 点F的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为10的椭圆. 由2a=10,2c=8,得a=5,c=4. 轨迹方程为 又由于l与AB不能垂直, 其轨迹必须除去(5,0)两点,即y0. 因此,所求轨迹方程为 (y0).,分类讨论思想 分类讨论思想的认识及其应用 分类讨论思想,实际上是“化整为零,各个击破,再积零为整”的策略.分类讨论时应注意理解和掌握分类的原则、方法和技巧,做到确定对象的全体,明确分类的标准,不重不漏地讨论.,【典例】椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e= 已知点P(0, )到这个椭圆上点的最远距离为 ,求这个椭 圆方程,并求椭圆上到点P的距离为 的点的坐标. 【解析】设椭圆方程为 (ab0), e= c2= a2, 由a2=b2+c2得a=2b,故椭圆方程可化为 (b0), 设M(x,y)是椭圆上任意一点,则x2=4b2-4y2.,|PM|2=x2+(y- )2=4b2-4y2+y2-3y+ =-3y2-3y+ +4b2 =-3(y+ )2+3+4b2. -byb(讨论- 与-b,b间的关系), 若b ,则当y=- 时, b=1. 若0b ,则当y=-b时, |PM|max= |b+ |= ,b= 与b 矛盾.,综上所述b=1,故所求椭圆方程为 +y2=1. |PM|= 时,y=- ,x= . 椭圆上到P点的距离为 的点有两个,分别为,【跟踪训练】 1.(2013大理高二检测)椭圆 与双曲线 有相同的焦点,则a的值是( ) A. B.1或-2 C.1或 D.1 【解析】选D.由条件可知,两条曲线的焦点在x轴上且a0, 4-a2=a+2,即a2+a-2=0,解得a=1,-2(舍).,2.(2013安阳高二检测)以椭圆 的左焦点为焦点, 以坐标原点为顶点的抛物线方程为( ) A.y2=-4x B.y2=-2x C.y2=-8x D.y2=-x 【解析】选A.椭圆 中,a2-b2=1, 左焦点为(-1,0),故抛物线方程为y2=-4x.,3.已知双曲线 (mn0)的离心率为2,有一个焦点恰好 是抛物线y2=4x的焦点,则此双曲线的渐近线方程是( ) A. xy=0 B.x y=0 C.3xy=0 D.x3y=0 【解析】选A.由条件可知,双曲线的焦点在x轴上,由 得 所以双曲线的渐近线方程 为y= x,即 xy=0.,4.(2013陕西高考)双曲线 的离心率为 则 m等于 . 【解析】由 解得m=9. 答案：9,5.直线l:y=kx+1与曲线C: +y2=1交于M,N两点,当|MN|= 时,则直线l的方程为 . 【解析】由 消去y得(1+2k2)x2+4kx=0, 解得x1=0,x2= (x1、x2分别为M,N的横坐标), 由|MN|= |x1-x2|= | |= 解得k=1,代入y=kx+1得x+y-1=0或x-y+1=0, 综上所述,所求直线方程是x+y-1=0或x-y+1=0. 答案:x+y-1=0或x-y+1=0,6.(2013温州高二检测)设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆 (ab0)上的两点,满足 椭圆的 离心率e= ,短轴长为2,O为坐标原点. (1)求椭圆的方程. (2)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c)(c为半焦距), 求直线AB的斜率k的值.,【解析】(1)由已知,2b=2,b=1, c= a,代入a2=b2+c2,解得a=2,c= ,b=1. 椭圆方程为 +x2=1. (2)焦点F(0, ),直线AB的方程为y=kx+ ,代入 椭圆方程整理得,(k2+4)x2+2 kx-1=0,0且 y1y2=(kx1+ )(kx2+ ) =k2x1x2+ k(x1+x2)+3=k2( )+ k( )+3 = 解得k2=2,k= , 直线AB的斜率k为 .,
展开阅读全文