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1,微积分在几何上有两个基本问题,1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；,2.如何求曲线下方“曲边梯形”的面积。,直线,几条线段连成的折线,曲线？,知识回顾：,2,用 “以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程：,分割,以直代曲,作和,逼近,课题：定积分,3,求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法,(2)以直代曲:任取xixi-1, xi，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi), 宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似地去代替.,(4)逼近:所求曲边梯形的面积S为,(3) 作和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：,xi-1,xi,xi,(1)分割:在区间a,b上等间隔地插入n-1个点,将它等分成 n个小区间: 每个小区间宽度x,4,如果当n+时，Sn 就无限接近于某个常数，,这个常数为函数f(x)在区间a, b上的定积分，记作,从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四个步骤”: 分割-以直代曲-求和-逼近.,课题：定积分,5,定积分的定义:,一般地,设函数f(x)在区间a,b上有定义,将区间a,b等分成n个小区间,每个小区的长度为 ,在每个小区间上取一点,依次为x1,x2,.xi,.xn,作和 如果 无限趋近于0时,Sn无限趋近于常数S,那么称常数S为函数f(x)在区间a,b上的定积分,记作: .,课题：定积分,6,定积分的相关名称： 叫做积分号， f(x)dx 叫做被积表达式， f(x) 叫做被积函数, x 叫做积分变量， a 叫做积分下限， b 叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。,积分下限,积分上限,7,1.由曲线y=x2+1与直线x=1,x=3及x轴所围成的曲边梯形的面积,用定积分表示为_.,2. 中,积分上限是_,积分下限是_,积分区间是_,2,-2,-2,2,8,定积分的几何意义.,曲线 y = f (x) 直线 x = a， x = b， y = 0 所 围成的曲边梯形的面积,9,当函数 f (x) 0 ， xa, b 时 定积分 几何意义,就是位于 x 轴下方的曲边梯形面积的相反数.,10,当函数 f (x)在 xa, b 有正有负时, 定积分 几何意义,就是图中几个曲边图形面积的代数和,(x轴上方面积取正号,x轴下方面积取负号),11,用定积分表示下列阴影部分面积,S=_;,S=_;,S=_;,12,定积分的几何意义：,在区间a,b上曲线与x轴所围成图形面积的代数和(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积).,13,例：计算下列定积分.,求定积分，只要理解被积函数和定积分的意义，并作出图形，即可解决。,14,定积分的基本性质,性质1.,性质2.,15,定积分的基本性质,定积分关于积分区间具有可加性,性质3.,16,小结:,定积分的实质：特殊和式的逼近值,定积分的思想和方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取逼近,3.定积分的几何意义及简单应用,17,1.曲边梯形面积问题; 2.变力作功问题; 3.变速运动的距离问题.,我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分的定义,它们都归结为:分割、近似求和、取逼近值,问题情境:,18,注 ：定积分数值只与被积函数及积分区间 a, b 有关, 与积分变量记号无关,19,按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)0) ，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为,(2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间a, b内运动的距离s为,(3) 设物体在变力F=F(r)的方向上有位移，则F在位移区间a, b内所做的功W为,20,思考: 函数在区间a,b上的定积分 能否为负的?,定积分,定积分 =_.,
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