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等差数列的前n项和公式:,形式1:,形式2:,复习回顾,等差数列的前n项和,1.将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数，这个函数 有什么特点？,当d0时,Sn是常数项为零的二次函数,则 Sn=An2+Bn,令,探究一：等差数列前n项和的函数特征,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法1,由S3=S11得, d=2,当n=7时,Sn取最大值49.,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法2,由S3=S11得,d=20,当n=7时,Sn取最大值49.,则Sn的图象如图所示,又S3=S11,所以图象的对称轴为,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法3,由S3=S11得,d=2,当n=7时,Sn取最大值49., an=13+(n-1) (-2)=2n+15,由,得,a7+a8=0,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法4,由S3=S11得,当n=7时,Sn取最大值49.,a4+a5+a6+a11=0,而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8,又d=20,a70,a80,求等差数列前n项的最大(小)的方法,方法1:由 利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.,方法2:利用an的符号当a10,d0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an 0且an+1 0求得.,例：设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S130. (1)求公差d的取值范围; (2)指出数列Sn中数值最大的项,并说明理由.,解:(1)由已知得,求等差数列前n项的最大(小)的方法,(2) ,Sn图象的对称轴为,由(1)知,由上得,即,由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.,Sn有最大值.,等差数列an前n项和的性质,探究二：在等差数列an中,其前n项的和为Sn,则有Sk,S2kSk,S3kS2k, 是什么数列？,k2d,为等差数列,公差为,kd,kd,kd,kd,kd,kd,例：数列an为等差数列，前n项和为Sn，已知S2=2，S4=10，求S6,解：法一：S6-S4, S4-S2, S2成等差数列 所以S6 S4 =14，所以S6 =24,法二： 设Sn=An2+Bn,S2=4A+2B=2，S4=16A+4B=10 解得：,解：,探究三：等差数列数列 的前n项和为 则数列 有什么 特点.,所以 为等差数列.,例：等差数列数列 的前n项和为 ，,探究四：两等差数列前n项和与通项的关系,结论：若数列an与bn都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则,例:两等差数列an 、bn的前n项和分别是Sn和Tn,且,求 和 .,课堂小结,1、等差数列前n项和的函数特征，结合二次函数图象和性质求 的最值.,2.等差数列an前n项和的性质,（1）在等差数列an中,其前n项的和为Sn,则有Sk,S2kSk,S3kS2k, 为等差数列,（2）若数列an与bn都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则,（3）等差数列数列 的前n项和为 则数列 为等差数列,作业,P46 A组 5T, B组 2T,4T,例：已知数列an与bn都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,若,例1.设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( ) A.63 B.45 C.36 D.27,例2.在等差数列an中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=( ) A.85 B.145 C.110 D.90,B,A,3.等差数列an前n项和的性质的应用,例3.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为 .,110,等差数列an前n项和的性质的应用,例5.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为 .,例6.(09宁夏)等差数列an的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m= .,例7.设数列an的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+|a15|= .,5,10,153,等差数列an前n项和的性质的应用,(2) ,Sn图象的对称轴为,由(1)知,由上得,即,由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.,Sn有最大值.,练习1 已知等差数列25,21,19, 的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.,练习2: 求集合 的元素个数，并求这些元素的和.,练习3：已知在等差数列an中,a10=23, a25=-22 ,Sn为其前n项和.,（1）问该数列从第几项开始为负？ （2）求S10 （3）求使 Sn0的最小的正整数n. (4) 求|a1|+|a2|+|a3|+|a20|的值,
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