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第一章总结,一、极限的概念,1.各种极限过程的描述：,当xx0时：,当,时，,当 时：,当,时，,当 时：,当,时，,当 时：,当,时，,当 时：,当,时，,当 时：,当,时，,当 时：,存在自然数N，当nN时,2. 极限的几何解释,则直线 y = A是曲线 y = f(x) 的水平渐近线,若,二、极限的性质,1.唯一性 2.局部有界性 3.不等式性质（局部） 4.有界函数与无穷小的乘积性质 5.充要条件,三、 无穷小与无穷大,1.无穷小的定义 2.无穷大的定义 3.无穷小与无穷大的关系 4.无穷小的比较 5.等价无穷小的重要性质：,(1)的充要条件是=+o(),(2)等价无穷小的代换定理,6.重要的等价无穷小,当x0时，,三、极限存在准则、两个重要极限 1.夹逼准则 2.单调有界准则 3.,求极限的方法： （1）若f(x)为初等函数，x0在其定义区间内， 用（代入法） （2）若外层函数连续内层函数的极限存在， 则极限号可以穿过外层函数号。 （3）变量替换 （4）利用不为零的无穷小的倒数是无穷大 （5）利用有界函数和无穷小的积是无穷小,分别是m,n次多项式,(10) 若底数极限大于0，指数极限存在，,(7) 型的极限，分子、分母同除以最大项,(8) 型的极限: 约掉零因子、等价无穷小代换等,(9) 型的极限，化为第二个重要极限,则可以指数底数同时取极限,（11）利用极限存在准则求极限,练习题,则a=_，b=_,1.设,2.设,则a=_，b=_,2,一、填空题,二、计算下列极限,四、连续的概念,1.函数y = f (x)在点x0 连续,2.左右连续,3.连续的充要条件,五、间断点及其分类,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,研究函数的连续性问题： 1.确定定义域。 2.找出孤立点，必为间断点。 3.找出定义区间的边界点、分段函数的分界点， 由极限判断是否是间断点。 4. 指出函数的连续区间。,例1 设,，研究f(x)的连续性。,三、连续函数的性质、初等函数的连续性,1.连续函数的四则运算 2.反函数的连续性 3.复合函数的连续性 4.初等函数在其定义区间上连续 5.重要结论： 当时，“极限号”可以“穿过”外层“函数号”,四、闭区间上连续函数的性质,最值定理，有界性定理、零点定理、介值定理,(A) 连续点 （B）可去间断点 (C) 跳跃间断点 （D）无穷间断点,则x=1是f(x)的（ ）,2.设,则x=1是f(x)的（ ）,（A）连续点 （B）跳跃间断点 （C）无穷间断点 （D）振荡间断点,一、选择,3.极限,的结果是（ ）,(A) 0 (B) (C) (D) 不存在,4.极限,的结果是（ ）,(A) 无穷大 (B) 0 (C) (D) 不存在,也非无穷大,（A）可去 (B)跳跃 （C）无穷 （D）振荡,5.设,则x=1是f(x)的( )间断点,2.设f(x)处处连续,且f(2)=3,则,在区间_是连续的。,二、填空,在x=0点连续，则常数a=_,三、确定,的间断点，并判断类型。,四、设,研究f(x)的连续性。,五、设函数 f(x)在 连续，且0f(x)1,证明：方程f(x)=tanx在 内至少有一个实根,
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