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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教A版 必修1,基本初等函数(),第二章,章末归纳总结,第二章,指数与指数运算，对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要题型，也是高考的必考内容 指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂；其次若出现分式，则要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用,专题一 指数、对数的运算,指数函数与对数函数性质的对比 指数函数、对数函数是一对“姊妹”函数，它们的定义、图象、性质、运算既有区别又有联系 (1)指数函数yax(a0，a1)，对数函数ylogax(a0，a1，x0)的图象和性质都与a的取值有密切的联系a变化时，函数的图象和性质也随之改变,专题二 指、对数函数的典型问题及其求解策略,(2)指数函数yax(a0，a1)的图象恒过定点(0,1)，对数函数ylogax(a0，a1，x0)的图象恒过定点(1,0) (3)指数函数yax(a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1，x0)具有相同的单调性 (4)指数函数yax(a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1，x0)互为反函数，两函数图象关于直线yx对称,命题立意 (1)本题考查函数定义域，难度中等(2)本题考查了利用对数函数与分式函数，根式函数构成的复合函数求解定义域问题，对于这样的复合函数应分别考查其有意义下的范围外还要综合考查整体有意义，此处既要考虑对数函数真数大于零外还要考虑分母不为零的情况及根式内要大于零几种情况这是一个基本概念题，又是一道易错题，平时的学习过程中要加强这种题的训练，命题者命题思想是考查学生的综合处理问题的数学能力与数学品质,易错点拨 (1)注意对数函数的真数必须大于0，这在求定义域问题时很容易遗漏，同时，函数定义域要写成集合或者区间的形式(2)本题易忽视对根式内大于零或分母不为零的考查而导致错误,命题立意 (1)本题考查对数函数、指数函数的单调性与比较大小的方法，难度中等(2)本题考查了指数、对数函数的图象和性质，不等式的性质,易错点拨 (1)有关比较大小的问题，通常需要结合所给的数的特点，结合相关函数的性质，通过寻找合适的中间数，确定其大小关系(2)通常解决此类问题的关键是先化为统一类型的形式(比如都为同底的)，然后再根据函数的单调性比较，特殊情况还要和1或0比较,(2)a，b，c互不相等，不妨设abc. f(a)f(b)f(c)， 则由图象可知0a1,1b10,10c12.,函数部分有一类抽象函数问题，它给定函数f(x)的某些性质，要证明它的其他性质，或利用这些性质解一些不等式或方程这些题目的设计一般都有一个基本函数作为“模型”，若能分析猜测出这个模型函数，联想这个函数的其他性质来思考解题方法，那么这类问题就能简单获解,专题三 利用模型函数巧解题,例5 已知函数f(x)对任意实数x，y均有f(xy)f(x)f(y)，且当x0时有f(x)0，f(1)2，求f(x)在2,1上的值域 分析 根据题中条件显然可猜测f(x)的模型函数为f(x)kx(k0)，欲求函数f(x)的值域，关键是弄清它的单调性,解析 设x10， 当x0时有f(x)0，f(x2x1)0. 又对任意实数x，y均有f(xy)f(x)f(y)， 令xy0，则由f(0)f(0)f(0)得f(0)0； 再令yx，则f(xx)f(x)f(x)0， f(x)f(x)，即f(x)为奇函数 f(x2)f(x1)f(x2x1)0，f(x)为R上的增函数 又f(2)f(11)2f(1)4，f(1)f(1)2， 当x2,1时，f(x)4,2,1数形结合思想 数形结合思想的基本思路：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特征和规律，解决数的问题，或将图形信息转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的问题讨论 例6 当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，试求底数a的取值范围 分析 作出y(x1)2与ylogax在(1,2)上图象，利用数形结合思想进行求解,专题四 思想方法总结,规律总结 该不等式与二次函数和对数函数有关，无法直接求解，可作出两函数的图象，利用数形结合思想观察两函数的大小关系特别注意当对数函数的底数不确定时，要对a分a1和0a1两种情况讨论,2分类讨论思想 本章常见分类讨论思想的应用如下表：,分析 本题考查函数性质的综合应用，利用奇偶性和单调性分析，对a进行讨论，求出解集,3转化与化归思想 转化思想是在处理问题时，把那些待解决或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解答，转化与化归思想的原则：化繁为简，化难为易，化生为熟 例8 设aR，试讨论关于x的方程lg(x1)lg(3x)lg(ax)的实根个数,规律总结 将求方程解的问题转化为求对应函数图象交点问题，这种思想方法非常重要，尤其是方程等号两边为不同特征的函数时常用此法来解决,函数是描述客观世界变化规律的重要模型，运用函数思想解题，就是从研究变化趋势的角度打开思路，而方程思想则是动中求解，注意变化过程中不变的等量关系 函数与方程思想在本章中的应用具体体现在以下几个方面： (1)利用函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、图象等解决数学问题 (2)对含参问题的讨论可通过函数与方程的思想综合解决,专题四 函数与方程思想,例9 若，是方程2(lgx)22lgx30的两个实数解，求. 分析 可令tlgx，将其转化为一元二次方程根的问题 解析 令tlgx，则原方程变为2t22t30， 因为t1t21，即lglg1. 所以lg()1， 所以10. 解后反思 本题在换元后充分利用一元二次方程的思想方法求解，解题时要区分、t1t2的区别和联系,分析 利用等式f(x)f(x)恒成立确定a的值，利用单调性的定义证明函数f(x)是增函数,规律总结 要熟练掌握函数奇偶性的定义及单调性的证明步骤：设值、作差变形、定号、得结论，同时也必须有严密的推理逻辑，完整的解答过程,
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