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3.4 基本不等式：,第1课时 基本不等式,1.探索基本不等式的证明过程，并了解基本不等式的 代数、几何背景；(重点） 2.基本不等式的简单应用.,国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主办，首届大会于1897年在瑞士苏黎士举行，1900年巴黎大会之后每四年举行一次，它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议.2002年8月20日在北京召开第24届国际数学家大会，由中国最高国家科技奖得主、著名数学家吴文俊任大会主席.这是第一次在发展中国家举办的规模最大的数学会议. 有同学知道这一届国际数学家大会的会标吗？,2002年国际数学家大会会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客,探究基本不等式,1.你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？,则正方形ABCD的面积 是_， 这4个直角三角形的面积 之和是_，,设AE=a,BE=b,a2+b2,2ab,当且仅当a=b时，等号成立，,一般地，对于任意实数a，b，我们有,当且仅当a=b时，等号成立.,3.你能给出它的证明吗？,特别地，,我们用,、,分别代替,可得,4.你能用不等式的性质直接推导吗？,通常我们把上式写作,证明：要证,只要证,要证，只要证,要证，只要证,显然, 是成立的.当且仅当a=b时, 中的等号成立.,基本不等式：,注意：（1）a,b均为正数； （2）当且仅当a=b时取等号.,均值不等式,如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD, 则CD=, 半径为.,CD小于或等于圆的半径.,用不等式表示为,上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，等号成立.,几何意义：半径不小于半弦.,可以叙述为: 两个正数的几何平均数不大于它们的算数平均数.,叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数.,基本不等式,例1 当 时， 的最小值为 ，此时 .,2,1,基本不等式在求最值中的应用,分析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 面积确定，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m. 即求（x+y）的最小值.,例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？,解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，,则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.,等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.,因此，这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40 m.,结论1 两个正数积为定值，则和有最小值.,当xy的值是常数 时，当且仅当x=y时， x+y有最小值,分析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 周长确定，则2（x+y）=36，篱笆的面积为xy m2. 即求xy的最大值.,例2 (2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？,解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，,则 2(x + y)= 36, x+ y=18，,矩形菜园的面积为xy m2 .,当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立.,因此，这个矩形的长、宽都为9 m时， 菜园的面积最大，最大面积是81 m2 .,结论2 两个正数和为定值，则积有最大值.,当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时， xy有最大值,注意：各项皆为正数； 和为定值或积为定值； 注意等号成立的条件.,一“正”， 二“定”， 三“等”.,最值定理,结论1 两个正数积为定值，则和有最小值.,结论2 两个正数和为定值，则积有最大值.,例3 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为 4 800 m3,深为3 m.如果池底每平方米的造价为150元, 池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?,分析：水池呈长方体形，高为3 m, 底面的长与宽没有确定. 如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低.,由容积为4 800 m3 ，可得3xy=4 800,因此xy=1 600. 由基本不等式与不等式的性质，可得,解：设底面的长为xm，宽为ym, 水池总造价为z元，根据题意，有,所以，将水池的底面设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297 600元.,1.在下列函数中，最小值为2的是（ ） A. B. C. D.,C,10,3.已知 且 则 的最大 值为_.,解：,1.两个重要的不等式 （1） （2）基本不等式,2.不等式的简单应用：主要是求最值， 把握 “六字方针” 即 “一正，二定，三等”.,在艰苦奋斗的环境中锻炼出来的文人，总比生长在温暖逸乐的环境中的人要坚强伟大。 郁达夫,
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