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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教A版 选修1-1 1-2,导数及其应用,第三章,3.3 导数在研究函数中的应用,第三章,3.3.2 函数的极值与导数,结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性,重点：利用导数的知识求函数的极值 难点：函数的极值与导数的关系,新知导学,函数的极值与导数的关系,1如图是函数yf(x)的图象，在xa邻近的左侧f(x)单调递_，f (x)_0，右侧f(x)单调递_，f (x) _0，在xa邻近的函数值都比f(a)小，且f (a)_0.在xb邻近情形恰好相反，图形上与a类似的点还有_，(e，f(e)，与b类似的点还有_ 我们把点a叫做函数f(x)的极_值点，f(a)是函数的一个极_值；把点b叫做函数f(x)的极_值点，f(b)是函数的一个极_值,增,减,(c，f(c),(d，f(d),大,大,小,小,2一般地，已知函数yf(x)及其定义域内一点x0，对于包含x0在内的开区间内的所有点x，如果都有_，则称函数f(x)在点x0处取得_，并把x0称为函数f(x)的一个_；如果都有_，则称函数f(x)在点x0处取得_，并把x0称为函数f(x)的一个_极大值与极小值统称为_，极大值点与极小值点统称为_,f(x)f(x0),极大值,极大值点,f(x)f(x0),极小值,极小值点,极值,极值点,3理解极值概念时需注意的几点 (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧_的点而言的 (2)极值点是函数_的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点 (3)若f(x)在定义域a，b内有极值，那么f(x)在a，b内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数_极值,附近,定义域内,没有,(4)极大值与极小值没有必然的大小关系一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极_值(如图),大,牛刀小试 1函数yx31的极大值是( ) A1 B0 C2 D不存在 答案 D 解析 y3x20在R上恒成立， 函数yx31在R上是单调增函数， 函数yx31无极值,2下列说法正确的是( ) A函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B函数在闭区间上的极大值一定比极小值小 C函数f(x)|x|只有一个极小值 D函数yf(x)在区间(a，b)上一定存在极值 答案 C 解析 函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系，单调函数在区间(a，b)上没有极值，故A，B，D错误，C正确，函数f(x)|x|只有一个极小值为0.,答案 A,4函数y2x315x236x24的极大值为_，极小值为_. 答案 4 3 解析 y6x230x36，即y6(x2)(x3)， 令y0，得x2或x3，经判断知极大值为f(2)4，极小值为f(3)3.,求函数y3x3x1的极值 分析 首先对函数求导，然后求方程y0的根，再 检查y在方程根左右的值的符号如果左正右负，那么y在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么y在这个根处取得极小值,利用导数求函数的极值,方法规律总结 1.当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是否为极大(小)值的方法是： (1)如果在x0附近的左侧f (x)0，右侧f (x)0，那么f(x0)是极小值； (3)如果f (x)在点x0的左、右两侧符号不变，则f(x0)不是函数f(x)的极值,设函数f(x)x3ax29x的导函数为f (x)，且f (2)15. (1)求函数f(x)的图象在x0处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值 解析 (1)f (x)3x22ax9， f (2)15，124a915，a3. f(x)x33x29x， f (x)3x26x9， f(0)0，f (0)9， 函数在x0处的切线方程为y9x.,已知函数f(x)x33ax22bx在点x1处的极小值为1，试确定a、b的值，并求f(x)的单调区间 分析 f(x)在x1处的极小值为1包含以下的含义：一是f(1)1，二是f (1)0.,已知函数极值求参数,设函数f(x)(xa)2lnx，aR.若xe为yf(x)的极值点，求实数a.,右图是函数yf(x)的导函数yf (x)的图象，对此图象，有如下结论： 在区间(2,1)内f(x)是增函数； 在区间(1,3)内f(x)是减函数； x2时，f(x)取到极大值； 在x3时，f(x)取到极小值 其中正确的是_(将你认为正确的序号填在横线上),图象信息问题,分析 给出了yf (x)的图象，应观察图象找出使f (x)0与f (x)0的x的取值范围，并区分f (x)的符号由正到负和由负到正，再做判断 答案 ,函数f(x)的定义域为R，导函数f (x)的图象如图所示，则函数f(x)( ) A无极大值点、有四个极小值点 B有一个极大值点、两个极小值点 C有两个极大值点、两个极小值点 D有四个极大值点、无极小值点 答案 C,解析 设f (x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4， 当x0，f(x)为增函数， 当x1xx2时，f (x)0，f(x)为减函数， 则xx1为极大值点， 同理，xx3为极大值点，xx2，xx4为极小值点,解题思路探究 第一步，审题审结论明确解题方向，求函数f(x)的单调区间与极值，需求f (x)，然后按单调性和极值与导数的关系求解；,分类讨论思想在含参数的函数极值中的应用,审条件，发掘解题信息，f(x)是三次函数，f (x)是二次函数，由二次方程的根探求极值点和单调区间；f(x)解析式中含参数，应分类讨论 第二步，建联系，找解题途径 先求f (x)，解方程f (x)0找分界点，再按a的符号讨论单调性求极值 第三步，规范解答,注意极大值点与极小值点的区别 已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，求常数a、b的值,辨析 根据极值定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，上述解法未验证x1时函数两侧的单调性，导致错误 正解 (在上述解法之后继续)当a1，b3时，f (x)3x26x33(x1)20， 所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去； 当a2，b9时，f (x)3x212x93(x1)(x3) 当x3，1时，f(x)为减函数； 当x1，)时，f(x)为增函数， 所以f(x)在x1时取得极小值因此a2，b9.,
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