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第三节 数系的扩充与复数的引入,知识点一 复数的概念,1.复数的概念,形如abi(a，bR)的数叫复数，其中a，b分别是它的_和_.若_，则abi为实数；若_，则abi为虚数；若_，则abi为纯虚数.,实部,虚部,b0,b0,a0，b0,2.复数相等：abicdi_(a，b，c，dR). 3.共轭复数：abi与cdi共轭_(a，b，c，dR).,ac，bd,ac，bd0,4.复数的模,5.复数的几何表示,复数zabi 复平面内的点_ 平面向量_.,Z(a，b),知识点二 复数的运算,1.复数的运算,(1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 加法：z1z2(abi)(cdi)_； 减法：z1z2(abi)(cdi) _； 乘法：z1z2(abi)(cdi) _；,(ac)(bd)i,(ac)(bd)i,(acbd)(adbc)i,2.复数的代数运算,(1)复数代数形式的四则运算在新教材高考中，尽管难度不大，却是热点内容，我们必须熟练地掌握其运算法则. (2)对于复数的乘方，我们可以转化为复数的乘法来计算，也可以利用二项式定理来计算，注意二项式定理、乘法公式同样适用于复数.,z1(z2z3),(z2z1),【名师助学】,1.本部分知识可以归纳为：,(1)一条规律：任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小. (2)四种运算：加法；减法；乘法；除法. (3)两条性质：i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，inin1in2in30(各式中nN).,2.对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判别式不再成立.因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解. 3.利用复数相等abicdi列方程时，注意a，b，c，dR的前提条件.,方法1 复数的概念及几何意义,复数相关概念与运算的技巧 (1)解决与复数的基本概念和性质有关的问题时，应注意复数和实数的区别与联系，把复数问题实数化是解决复数问题的关键. (2)复数相等问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解. (3)复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，但可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i的幂的性质、运算法则来优化运算过程.,解析,答案 A,点评 应注意理解和掌握复数的基本概念，特别是实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数、两复数相等及复数的模等.,方法2 复数的运算,方法3 解决复数问题的实数化思想,复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质.应用复数的实数化策略可解决求复系数方程的实数解、求复平面上动点的轨迹等问题.,【例3】 已知x，y为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求x，y.,审题视角(1)x，y为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题. 解 设xabi(a，bR)，则yabi，xy2a，xya2b2，代入原式，得(2a)23(a2b2)i46i，,点评 (1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法. (2)本题求解的关键是先把x，y用复数的形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法. (3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.,
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